Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 TERCER TURNO TEMA 9 05-05-2023

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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
05/05/2023 TEMA 9 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Encontrar el/los valores de 𝒌 ∈ ℝ si la cuarta parte de la distancia entre los puntos 𝑨 = (−𝒌; 𝟔) y 
𝑩 = (𝟏; 𝒌) es 1,25. 
 
Empleamos la fórmula de distancia entre dos puntos: 
 
𝑑 𝐴𝐵 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 
 
Consideramos la cuarta parte y luego despejamos: 
 
𝑑 𝐴𝐵: 4 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 ∶ 4 
1,25 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 ∶ 4 
1,25 . 4 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 
52 = (1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 
25 = 1 + 2𝑘 + 𝑘2 + 𝑘2 − 12𝑘 + 36 
0 = 2𝑘2 − 10𝑘 + 12 
𝑘 = 2 ; 𝑘 = 3 
 
 
Para resolver este ejercicio resignificamos el concepto de distancia entre dos puntos. Este concepto se encuentra en 
el apunte teórico “Distancia entre puntos” correspondiente a la unidad Números reales y plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Hoja 2 de 4 
 
 
2. Calcular 𝒎 y 𝒏, de modo que 𝑷(𝒙) = 𝒎𝒙𝟒 + 𝒏𝒙𝟑 + 𝟏 admita la raíz 𝒙 = 𝟏 de multiplicidad doble. 
 
Para que x=1 sea de multiplicidad doble, 𝑃(𝑥) debe poder dividirse 2 veces por 𝑥 − 1. Si dividimos una vez 
podemos expresar a P(x) como: 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑚𝑥3 + (𝑛 + 𝑚)𝑥2 + (𝑛 + 𝑚)𝑥 + 𝑛 + 𝑚) + 1 + 𝑛 + 𝑚. Como 
debe tener resto 0, entonces: 1 + 𝑚 + 𝑛 = 0 
Si volvemos a dividir por 𝑥 − 1, resulta: 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑚𝑥2 + (2𝑚 + 𝑛)𝑥 + 3𝑚 + 2𝑛) + 4𝑚 + 3𝑛. Como 
también queremos resto 0, resulta que 4𝑚 + 3𝑛 = 0. 
 
Entonces nos quedan las condiciones: 
1 + 𝑚 + 𝑛 = 0 
4𝑚 + 3𝑛 = 0 
 
Despejando de la primera y reemplazando en la segunda, queda: 
4𝑚 + 3(−𝑚 − 1) = 0 
4𝑚 − 3𝑚 − 3 = 0 
𝑚 = 3 
Y así 𝑛 = −4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Hoja 3 de 4 
 
 
3. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente −𝟐 y corta a la recta 𝒚 =
𝟏
𝟐
 𝒙 + 𝟏 en el punto de abscisa 
𝒙 = 𝟎. 
 
Se sabe que para hallar la ecuación de una recta es necesario conocer su pendiente y su ordenada al 
origen. Dicha recta, se expresa mediante 𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏, donde "𝑎" es la pendiente y "𝑏" la ordenada al 
origen. 
 
Como en el ejercicio nos dan de dato que la pendiente es −2, eso significa que 𝑎 = −2. 
 
Al reemplazar en la ecuación, nos quedará que: 
 
𝑦 = −2𝑥 + 𝑏 
 
Por otro lado, las rectas 𝑦 =
1
2
 𝑥 + 1 y la recta pedida, tienen como punto común, el punto en el cual se 
cortan. Es decir que, si se cortan en 𝑥 = 0, al sustituir en 𝑦 =
1
2
 𝑥 + 1, lograremos encontrar la 
coordenada "𝑦" del punto: 
 
𝑦 =
1
2
 . 0 + 1 
𝑦 = 1 
 
Por lo tanto, ambas rectas se cortan en el punto 𝑃 = (0; 1) 
 
Luego, reemplazando 𝑃 = (0; 1) en 𝑦 = −2𝑥 + 𝑏, podremos encontrar el valor de ′′𝑏′′ : 
 
1 = −2. 0 + 𝑏 
1 = 𝑏 
 
Finalmente, la ecuación de la recta pedida será: 
𝑦 = −2𝑥 + 1 
 
 
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Hoja 4 de 4 
 
4. Hallar el valor de 𝒄 ∈ ℝ para que la función 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒄 se interseque en un único punto con la 
función 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑 
 
Para hallar los puntos en de intersección de las funciones debemos plantear: 
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
Luego, reemplazamos por las fórmulas de las funciones dadas en el enunciado y resulta que: 
−𝑥2 + 𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑥 + 3 
Despejamos y obtenemos que: 
2𝑥2 + 3 − 𝑐 = 0 
Aplicamos la fórmula resolvente: 
𝑥1,2 =
0 ± √02 − 4.2. (3 − 𝑐)
4
 
Como las funciones deben intersecarse en un punto, la ecuación debe tener una única solución por lo 
que −4.2. (3 − 𝑐) debe ser cero, es decir: 
−4.2. (3 − 𝑐) = 0 
Por lo tanto, para que este producto sea nulo 3 − 𝑐 debe ser cero, entonces: 
3 − 𝑐 = 0 ↔ 𝑐 = 3 
Al resolver el ejercicio utilizamos los conceptos de función cuadrática y de ecuaciones cuadráticas.