Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 PRIMER TURNO TEMA 1 03-05-2023

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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
03/05/2023 TEMA 1 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Hallar los valores de 𝒙 ∈ ℝ, tal que 
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
≥ 𝟎. Siendo 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 𝒚 𝒈(𝒙) = √𝒙 
 
Para que 0
)(
)(

xg
xf
 puede darse 2 situaciones: 
a. 0)( xf y 0)( xg 
b. 0)( xf y 0)( xg 
En el primer caso, 
02  x y 0x 
 0x y 0x 
Luego, 
1S 
En el segundo caso, 
02  x y 0x 
 0x y no existe valor real tal que 0x 
Entonces, 
2S 
Luego, 
 21 SSS 
En definitiva, no existe valor real de x para que 0
)(
)(

xg
xf
 
 
 
 
 
 
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2. Hallar, si existen, las asíntotas vertical y horizontal de 𝒈(𝒙) =
𝟑−𝟒𝒙𝟐
𝟐𝒙+𝟏
 . 
Para realizar un estudio de las asíntotas de una función es fundamental determinar el dominio de la 
misma. En el caso de la función 𝒈 , al ser un cociente, debemos analizar para qué valores se anula el 
denominador: 
𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝒙 = −
𝟏
𝟐
 
Por lo tanto: 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = ℝ − {−
𝟏
𝟐
} 
Las asíntotas verticales pueden ser las rectas correspondientes a los valores excluidos del dominio, por 
lo tanto debemos analizar si 𝒙 = −
𝟏
𝟐
 es asíntota vertical. Esto implica evaluar el límite de la función 
cuando 𝒙 se aproxima a dicho valor. 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→−
𝟏
𝟐
𝒈(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−
𝟏
𝟐
 
𝟑 − 𝟒𝒙𝟐
𝟐𝒙 + 𝟏
 
Cuando 𝒙 → −
𝟏
𝟐
 el numerador se aproxima a 𝟐 y el denominador se aproxima a 𝟎. Al ser el denominador 
un número cada vez más cercano a 𝟎, el cociente será un número infinitamente grande en valor absoluto. 
Por lo tanto: 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→−
𝟏
𝟐
 
𝟑 − 𝟒𝒙𝟐
𝟐𝒙 + 𝟏
= ∞ 
Según la definición de asíntota vertical, la recta 𝒙 = −
𝟏
𝟐
 es Asíntota Vertical. 
Para determinar si la función tiene asíntota horizontal debemos evaluar el límite de la función cuando 
la variable x toma valores infinitamente grandes en valor absoluto. Esto significa que debemos calcular el 
siguiente límite: 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
 
𝟑 − 𝟒𝒙𝟐
𝟐𝒙 + 𝟏
 
Al evaluar numerador y denominador nos encontramos que ambos tienden a ∞ , por lo tanto se presenta 
una indeterminación que debemos resolver; para ello dividimos numerador y denominador por 𝒙 : 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
 
𝟑 − 𝟒𝒙𝟐
𝟐𝒙 + 𝟏
 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
 
𝟑 − 𝟒𝒙𝟐
𝒙
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙
 = 𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
 
𝟑
𝒙 − 𝟒𝒙
𝟐 +
𝟏
𝒙
 
En esta expresión 
𝟑
𝒙
 y 
𝟏
𝒙
 se aproximan a 𝟎 , por lo tanto el numerador tiende a ∞ y el denominador se 
aproxima a 𝟐 . Entonces: 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→∞
 
𝟑 − 𝟒𝒙𝟐
𝟐𝒙 + 𝟏
= ∞ 
Para que exista asíntota horizontal el valor del límite debe ser un número real, por lo tanto la función 𝒈(𝒙) 
no tiene asíntota horizontal. 
En este ejercicio trabajamos con la definición de Asíntota Vertical y Asíntota Horizontal. 
 
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3. Determinar 𝒉, de modo que el resto de la división de 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝒉 por 𝑸(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 sea 0. 
 
Necesitamos C(x) tal que 2𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥 + ℎ = (𝑥 + 2) ∗ 𝐶(𝑥) 
Si evaluamos en 𝑥 = −2, obtenemos que 32 + 12 + 2 + ℎ = 0, por lo que ℎ = −46 
 
 
 
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4. Hallar 𝒇−𝟏(𝒙) , 𝒌 ∈ ℝ; si 𝒇(𝒙) =
𝒙−𝟓
𝒌−𝒙
 y se cumple: 𝒇−𝟏(−𝒌) = 𝒌 + 𝟐 
Para la realización de este ejercicio, recomendamos ver apuntes de: Función inversa 
Para hallar la función inversa de 𝑓(𝑥), como nos dan de dato que 𝑓−1(−𝑘) = 𝑘 + 2 , basta con encontrar la 
imagen de 𝑓(𝑥), ya que la misma será el dominio de 𝑓−1(𝑥). 
Al despejar la “𝑥” de la función 𝑓, y realizando un cambio de variables (intercambiamos a cada “y” por “x” y la “x” 
por “y”), lograremos encontrar dicha función inversa: 
𝑦 =
𝑥 − 5
𝑘 − 𝑥
 
𝑦 . (𝑘 − 𝑥) =
𝑥−5
𝑘−𝑥
 . (𝑘 − 𝑥) multiplicamos miembro a miembro por (𝑘 − 𝑥), con 𝑥 ≠ 𝑘 
𝑦 . (𝑘 − 𝑥) = 𝑥 − 5 
𝑦𝑘 − 𝑦𝑥 = 𝑥 − 5 
−𝑦𝑥 − 𝑥 = −𝑦𝑘 − 5 
𝑥 . (−𝑦 − 1) = −𝑦𝑘 − 5 
𝑥 =
−𝑦𝑘 − 5
−𝑦 − 1
 
𝑥 =
𝑦𝑘 + 5
𝑦 + 1
 
Realizando el cambio de variables que mencionamos anteriormente, nos quedará: 
𝑦 =
𝑘𝑥 + 5
𝑥 + 1
 
Es decir que, la función inversa es: 
𝑓−1(𝑥) =
𝑘𝑥+5
𝑥+1
 (Con 𝑥 ≠ −1) 
Sabemos que 𝑓−1(−𝑘) = 𝑘 + 2, si reemplazamos -k en la función inversa hallada obtendremos: 
𝑓−1(−𝑘) =
𝑘(−𝑘) + 5
−𝑘 + 1
 
𝑓−1(−𝑘) =
−𝑘2 + 5
−𝑘 + 1
 
Como 𝑓−1(−𝑘) = 𝑘 + 2 y a su vez, 𝑓−1(−𝑘) =
−𝑘2+5
−𝑘+1
. Podemos igualar ambas expresiones: 
−𝑘2 + 5
−𝑘 + 1
= 𝑘 + 2 
Despejando, obtendremos: 
−𝑘2+5
−𝑘+1
 . (−𝑘 + 1) = (𝑘 + 2) . (−𝑘 + 1) , con 𝑘 ≠ 1 
−𝑘2 + 5 = (𝑘 + 2) . (−𝑘 + 1) 
−𝑘2 + 5 = −𝑘2 + 𝑘 − 2𝑘 + 2 
5 − 2 = −𝑘 
3 = −𝑘 
𝑘 = −3 
Finalmente, reemplazamos el valor de k hallado en 𝑓−1(𝑥), obtendremos: 
𝑓−1(𝑥) =
−3𝑥 + 5
𝑥 + 1