Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 CUARTO TURNO TEMA 15 05-05-2023

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
05/05/2023 TEMA 15 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Hallar los valores reales de 𝒙 tal que verifiquen 
𝒙−𝟐
𝒙−𝟏
≥ −𝒙, y escribir el conjunto solución como intervalo 
o unión de intervalos. 
 
Sea 
𝑥 − 2
𝑥 − 1
≥ −𝑥 
En primer lugar, reescribimos la inecuación en forma equivalente sumando x miembro a miembro. 
𝑥 − 2
𝑥 − 1
+ 𝑥 ≥ 0 
Y operamos: 
𝑥 − 2 + 𝑥(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
≥ 0 
𝑥 − 2 + 𝑥2 − 𝑥
𝑥 − 1
≥ 0 
𝑥2 − 2
𝑥 − 1
≥ 0 
De este modo, podemos comparar la inecuación con cero. 
Como no podemos dividir por cero, la solución serán números reales distintos de 1. 
Para que un cociente sea mayor o igual que cero, numerador y denominador deben tener el mismo signo. 
Planteamos: 
(𝑥2 − 2 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≥ 0) ∨ (𝑥2 − 2 ≤ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≤ 0) 
Solución 1: 
𝑥2 − 2 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≥ 0 
𝑥2 ≥ 2 ∧ 𝑥 > 1 
|𝑥| ≥ √2 ∧ 𝑥 > 1 
Usamos la propiedad 𝑆𝑖 𝑏 > 0: |𝑎| ≥ 𝑏 ⟺ 𝑎 ≤ −𝑏 ∨ 𝑎 ≥ 𝑏 
Por la propiedad enunciada: 
(𝑥 ≥ √2 ∨ 𝑥 ≤ −√2) ∧ 𝑥 > 1 
Por lo tanto: 
𝑆1 = [√2; +∞) 
Solución 2: 
𝑥2 − 2 ≤ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≤ 0 
𝑥2 ≤ 2 ∧ 𝑥 < 1 
|𝑥| ≤ √2 ∧ 𝑥 < 1 
 
Usamos la propiedad: 𝑆𝑖 𝑏 > 0: |𝑎| ≤ 𝑏 ⟺ −𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 
Por la propiedad enunciada: 
−√2 ≤ 𝑥 ≤ √2 ∧ 𝑥 < 1 
APELLIDO: 
CALIFICACIÓN: NOMBRE: 
DNI (registrado en SIU Guaraní): 
E-MAIL: DOCENTE (nombre y apellido): 
TEL: 
AULA: 
 
Por lo tanto: 
𝑆2 = [−√2; 1) 
Luego, 
𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 
𝑆 = [−√2; 1) ∪ [√2; +∞) 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 1° PARCIAL 
 
APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 15 
Hoja 2 de 4 
 
2. Hallar la solución de la ecuación racional 
𝟏
𝒙+𝟏
= 𝟏 −
𝒙+𝟑
𝒙𝟐−𝟏
 
 
1
𝑥 + 1
= 1 −
𝑥 + 3
𝑥2 − 1
 
 
𝑥 + 3
𝑥2 − 1
+
1
𝑥 + 1
= 1 
𝑥 + 3
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
1
𝑥 + 1
= 1 
𝑥 + 3
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
+
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= 1 
 
𝑥 + 3 + 𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
= 1 
2𝑥 + 2 = 𝑥2 − 1 
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 
 
Cuyas raíces son 𝑥 = −1 y 𝑥 = 3. Sin embargo, 𝑥 = −1 no es solución de la ecuación original, pues estaríamos 
dividiendo por 0. Por el contrario, si reemplazamos por 𝑥 = 3, la ecuación original se verifica, por lo que esa es la 
única respuesta. 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 1° PARCIAL 
 
APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 15 
Hoja 3 de 4 
 
 
3. Hallar 𝒇−𝟏(𝒙) , 𝒃 ∈ ℝ; sabiendo que 𝒇(𝒙) = −
𝟏
𝟐
𝒙 − 𝒃 y que 𝒇(𝟒𝒃) = 𝒇−𝟏(𝟐 − 𝒃) 
Para la realización de este ejercicio, recomendamos ver apuntes de: Función inversa 
Para hallar la función inversa de 𝑓(𝑥), como nos dan de dato que 𝑓(4𝑏) = 𝑓−1(2 − 𝑏), basta con encontrar la imagen de 
𝑓(𝑥), ya que la misma será el dominio de 𝑓−1(𝑥). 
Al despejar la “𝑥” de la función 𝑓, y realizando un cambio de variables (intercambiamos a cada “y” por “x” y la “x” por “y”), 
lograremos encontrar dicha función inversa: 
𝑦 = −
1
2
𝑥 − 𝑏 
𝑦 + 𝑏 = −
1
2
𝑥 
−2 . (𝑦 + 𝑏) = 𝑥 
−2𝑦 − 2𝑏 = 𝑥 
Realizando el cambio de variables que mencionamos anteriormente, nos quedará: 
𝑦 = −2𝑥 − 2𝑏 
Es decir que, la función inversa es: 
𝑓−1(𝑥) = −2𝑥 − 2𝑏 
Como sabemos que 𝑓−1(2 − 𝑏) = 𝑓(4𝑏), si evaluamos en cada miembro de la igualdad y luego despejamos, podremos 
obtener b y por lo tanto la función inversa pedida: 
𝑓−1(2 − 𝑏) = −2. (2 − 𝑏) − 2𝑏 
𝑓−1(2 − 𝑏) = −4 + 2𝑏 − 2𝑏 
𝑓−1(2 − 𝑏) = −4 
 
𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥 − 𝑏 
𝑓(4𝑏) = −
1
2
(4𝑏) − 𝑏 
𝑓(4𝑏) = −2𝑏 − 𝑏 
𝑓(4𝑏) = −3𝑏 
Es decir que: 
𝑓−1(2 − 𝑏) = 𝑓(4𝑏), entonces −4 = −3𝑏 
𝑏 =
4
3
 
Reemplazando en 𝑓−1(𝑥) = −2𝑥 − 2𝑏, resultará: 
 
𝑓−1(𝑥) = −2𝑥 − 2.
4
3
 
𝑓−1(𝑥) = −2𝑥 −
8
3
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 1° PARCIAL 
 
APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 15 
Hoja 4 de 4 
 
 
4. Dado el siguiente gráfico que representa a la función f , obtener: 
 a. )(
1
xflím
x 
 
 b.
 
)(
1
xflím
x  
 c. )(
1
xflím
x
 
 d. )1(f
 
 
 
 
A partir de lo estudiado en la unidad “Estudio de funciones”, límite de funciones, observando atentamente el gráfico de la 
función podemos escribir: 
a. 2)(
1


xflím
x 
Cuando nos aproximamos a 1 por la derecha (x toma valores mayores y próximos a 2), la función se “acerca” a 2. 
b.
 


)(
1
xflím
x 
Cuando nos aproximamos a 1 por la izquierda (x toma valores menores y próximos a 1), la función va tomando valores 
negativos cada vez más grandes, en valor absoluto. 
Debe recordarse que no interesa el valor que toma la función en el punto en el que se calcula el límite (puede no estar 
definida en el mismo) 
c. No existe )(
1
xflím
x
 pues 2)(
1


xflím
x 
y 

)(
2
xflím
x
 (no coinciden los límites laterales) 
 
Efectivamente, los valores que toma la función se aproximan a 2 cuando x se acerca a 1 por derecha. Asimismo, la función 
va tomando valores inferiores a cualquier valor prefijado cuando x tiende a 2 por izquierda. 
d. La función no está definida en x=1 (téngase en cuenta la forma en que se indica si el punto pertenece o no a la gráfica de 
la función)