Respuestas - PRIMER PARCIAL MATEMATICA 51 SEGUNDO TURNO TEMA 7 05-05-2023

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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 
1° PARCIAL 
 
 
 
05/05/2023 TEMA 7 
 Hoja 1 de 4 
 
 
 
Tabla de uso exclusivo para el docente 
 1 2 3 4 
 
Puntaje de cada 
ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 
Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. 
No se aceptarán respuestas en lápiz. 
 
1. Dadas las funciones 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒚 𝒈(𝒙) = 
−𝟓𝒙+𝟒
𝟑𝒙−𝟏
 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝒈 ∘ 𝒇. 
 
Para realizar la composición 𝑔 ∘ 𝑓 , reemplazamos, en la fórmula de 𝑔(𝑥), la variable 𝑥 por la expresión de 𝑓(𝑥): 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) =
−5(−3𝑥2 − 2𝑥) + 4
3(−3𝑥2 − 2𝑥) − 1
=
15𝑥2 + 10𝑥 + 4
−9𝑥2 − 6𝑥 − 1
 
Podés repasar el tema de Composición de Funciones en el apunte teórico de la Unidad 3 llamado Composición de Funciones 
y en los ejercicios del TP.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Determinar el conjunto de positividad de la función 𝒇(𝒙) = 𝒌. (𝒙 −
𝟏
𝟐
)𝟐. (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟐) si k es un número 
real negativo. 
Para resolver esta actividad se trabajarán los siguientes contenidos abordados durante el cuatrimestre: Números 
Reales- Ecuaciones e inecuaciones- intervalo- Funciones- Funciones cuadráticas- Funciones polinómicas -Estudio de una 
función. 
Se denomina conjunto de positividad de la función al conjunto de valores del dominio para los cuales la función es positiva. 
Utilizando la definición anterior, sabemos para determinar el conjunto de positividad de la función polinómica debemos 
buscar los valores mayores a cero. 
𝒌. (𝒙 −
𝟏
𝟐
)𝟐. (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟐) > 𝟎 
Si k es un número real negativo al estar multiplicando la expresión debemos tener en cuenta que la desigualdad cambia 
(propiedad de inecuaciones). 
 Por lo tanto: 
(𝒙 −
𝟏
𝟐
)𝟐. (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟐) < 𝟎: 𝒌 
Ahora bien, la expresión (𝑥 −
1
2
)2 da como resultado un valor positivo pues está siendo elevada a un exponente par, 
asimismo se debe tener en cuenta que su raíz es 
1
2
 y la misma afectará el modo de expresar la solución final. 
En consecuencia, se analizará la expresión: (𝒙 − 𝟏). (𝒙 + 𝟐) < 𝟎 
En una multiplicación de dos expresiones solo puede ser negativa (menor a cero) si ambas expresiones tienen diferente 
signo. 
Analicemos las opciones: 
 𝒙 − 𝟏 < 𝟎 ∧ 𝒙 + 𝟐 > 𝟎 ∨ 𝒙 − 𝟏 > 𝟎 ∧ 𝒙 + 𝟐 < 𝟎 
𝒙 < 𝟏 ∧ 𝒙 > −𝟐 ∨ 𝒙 > 𝟏 ∧ 𝒙 < −𝟐 
(−𝟐; 𝟏) 𝐔 { } 
Recordemos que de la expresión: 
(𝒙 −
𝟏
𝟐
)𝟐 → 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑟𝑎í𝑧 𝑎𝑙
1
2
; 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠: 
𝑪+ = (−𝟐;
𝟏
𝟐
) ∪ (
𝟏
𝟐
; 𝟏) 
 
 
 
 
 
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3. Dar la ecuación de la función cuadrática 𝒇(𝒙) con vértice en (−𝟏, 𝟐) y un cero valga 𝟏. 
Como nos dan de dato el vértice de la función, podemos usar la expresión canónica de la función (Tema: función 
cuadrática). 
𝑓(𝑥) = 𝑎 · (𝑥 + 1)2 + 2 
Donde 𝑎 es el coeficiente principal (𝑎 ≠ 0) 
Como tenemos el dato de un cero o raíz, entonces sabemos que cuando x vale 1, la función vale 0. 
𝑓(1) = 𝑎 · (1 + 1)2 + 2 
0 = 𝑎 · 22 + 2 
0 = 𝑎 · 4 + 2 
−2 = 𝑎 · 4 
−
2
4
= 𝑎 
−
1
2
= 𝑎 
Una vez que tenemos el valor de a, lo reemplazamos en la expresión canónica y realizamos las operaciones 
correspondientes para obtener la ecuación general de la función pedida. 
𝑓(𝑥) = −
1
2
· (𝑥 + 1)2 + 2 
𝑓(𝑥) = −
1
2
· (𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 2 
𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 − 𝑥 −
1
2
+ 2 
𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 − 𝑥 +
3
2
 
 
 
 
 
 
 
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4. Dados los conjuntos: 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ/𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 < 𝟔} y 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ/|𝒙 − 𝟒| > 𝟑}. Escribir como intervalo 
o unión de intervalos el conjunto 𝑨 ∩ 𝑩. 
 
Para hallar la intersección, debemos determinar los elementos comunes a ambos conjuntos: 
En primer lugar, analizamos el conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ/2𝑥2 − 𝑥 < 6} 
2𝑥2 − 𝑥 < 6 
2𝑥2 − 𝑥 − 6 < 0 
Para poder escribir como producto la expresión se deben hallar las raíces de 2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0. 
Aplicando la fórmula resolvente 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐
2.𝑎
 para 𝑎 = 2, 𝑏 = −1 𝑦 𝑐 = −6: 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 . 2 . (−6)
2.2
=
1 ± √49
4
 
Entonces: 
𝑥1 =
1 + 7
4
=
8
4
= 2 
𝑥2 =
1 − 7
4
=
−6
4
= −
3
2
 
Así: 2𝑥2 − 𝑥 − 6 = 2(𝑥 − 2) (𝑥 +
3
2
) 
Entonces: 
2(𝑥 − 2) (𝑥 +
3
2
) < 0 
Luego, para que el producto sea menor a cero, debe ser uno de los factores mayor que cero y el otro menor 
que cero (ya que el tercer factor es positivo: 2 > 0). 
Planteamos: 
(𝑥 − 2 < 0 ∧ 𝑥 +
3
2
> 0) ∨ (𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 +
3
2
< 0) 
Y resolvemos las inecuaciones que nos quedaron: 
Solución I: 
𝑥 − 2 < 0 ∧ 𝑥 +
3
2
> 0 
𝑥 < 2 ∧ 𝑥 > −
3
2
 
𝑆𝐼 = (−
3
2
; 2) 
Solución II: 
𝑥 − 2 > 0 ∧ 𝑥 +
3
2
< 0 
𝑥 > 2 ∧ 𝑥 < −
3
2
 
𝑆𝐼𝐼 = ∅ 
Hallamos el conjunto solución como unión de intervalos: 
𝑆 = 𝑆𝐼 ∪ 𝑆𝐼𝐼 
𝑨 = (−
𝟑
𝟐
; 𝟐) 
 
En segundo lugar, analizamos el conjunto 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ/|𝑥 − 4| > 3} 
Usamos la propiedad 𝑏 > 0: |𝑎| > 𝑏 ⟺ 𝑎 < −𝑏 ∨ 𝑎 > 𝑏 
Por la propiedad enunciada: 
𝑥 − 4 < −3 ∨ 𝑥 − 4 > 3 
 
Resolvemos las inecuaciones: 
𝑥 < −3 + 4 ∨ 𝑥 > 3 + 4 
𝑥 < 1 ∨ 𝑥 > 7 
Escribimos la condición como unión de intervalos: 
𝑩 = (−∞; 𝟏) ∪ (𝟕; +∞) 
Para terminar, la intersección de A y B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y de B. 
Representamos ambos conjuntos sobre la recta real: 
𝐴 = (−
3
2
; 2) 
 
 
𝐵 = (−∞; 1) ∪ (7; +∞) 
 
Del gráfico podemos observar que los elementos que están en 𝐴 ∩ 𝐵, son los que están simultáneamente 
en ambos conjuntos: 
 
𝐴 ∩ 𝐵 = (−
3
2
; 1)