Clase 2 Modelo de Colas resuelto mediante CM

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Modelo de Colas resuelto mediante 
Cadenas de Markov de parámetro continuo 
 
 
En caso de no contar con un modelo desarrollado, se plantea el modelo mediante los 
proceso de nacimiento y muerte, evolucionando el sistema a través de cada estado. 
La probabilidades de cada estado se calculan a partir del desarrollo de Cadenas de 
Markov de parámetro continuo. 
Una vez obtenidas las probabilidades, se obtiene las medidas de desempeño: L; Lq; W 
y Wq 
Se puede calcular parámetros de interés como: 
H: Grado de ocupación de cada canal: porcentaje de tiempo que el servidor esta 
trabajando o esta ocupado (sin trabajar), cuando existen estados bloqueados 
 
Procedimiento 
1) Identificar el modelo(Modelo de Markov-proceso de nacimiento y muerte) 
2) Definir estados, calcular tasas y armar grafo 
3) Armar matriz de transición, resolver el sistema: 
p.A = B 
 
4 )Calcular medidas de desempeño y parámetros de interés 
Ejemplo: Un banco que funciona en la zona céntrica de la ciudad dispone de dos cajas para 
atención del público. Ambas cajas atienden el mismo tipo de tramite (pago de servicios 
públicos), pero se sabe que una de ellas, (caja A) goza de la preferencia del público ya que 
dispone de un sistema de registro directo mediante terminales, que hace suponer al 
público una mayor celeridad de atención. Si bien para el banco esta modalidad es más rápida 
dado que evita posteriores vuelcos de información no lo es para los clientes, contrariamente a 
lo que ellos suponen. 
Se ha determinado que el arribo de los clientes responde a una distribución Poisson con 
media 150 clientes/hora y se puede asegurar que, cuando los clientes llegan al banco y 
observan 2 clientes en la cola desisten de realizar el trámite en esta y se orientan a hacerlo 
en otro banco. Por razones de espacio los clientes solo pueden formar una única 
cola(considerar cola finita de 2 lugares). Se dispone además de la siguiente información: 
-CAJA A- Servicio exponencial (Tiempo medio de servicio Ts =1 minutos/cliente) 
-CAJA B- Servicio exponencial (Tiempo medio de servicio Ts = 0.75 minutos /cliente) 
 
Se pide calcular e interpretar los resultados del: 
a. Número medio de clientes atendidos 
b. Número medio de clientes en el sistema 
c. Tiempo medio de espera en la cola 
d. Tiempo medio de permanencia en el sistema 
e. Grado de ocupación de cada caja. 
 
Modelo de dos canales en paralelo de distinta velocidad y cola finita de dos posiciones. 
 
Modelo de dos canales en paralelo de distinta velocidad y cola finita de dos posiciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠(𝑁°𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 1 𝑐𝑜𝑙𝑎; 𝑁°𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 2 𝑐𝑜𝑙𝑎; 𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟 𝐴; 𝑁° 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑑𝑜𝑟 𝐵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto procedemos a construir la matriz de transición D, recordando que se cumple que 𝑑𝑖𝑖 =
− ∑ 𝑑𝑖𝑗 
 
 
1 2 
A 
B 
𝑡𝐴 = 1
𝑚𝑖𝑛
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
→ 𝜇𝐴 = 1
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚𝑖𝑛
= 60
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑟
 
𝑡𝐵 = 0,75
𝑚𝑖𝑛
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
→ 𝜇𝐵 =
4
3
𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑚𝑖𝑛
= 80
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑟
 
 𝜆 = 150
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑟
 
 
0,0,0,0 
0,0,1,0 
0,0,1,1 0,1,1,1 1,1,1,1 
0,0,0,1 𝜆 
𝜆 
𝜆 
𝜆 𝜆 𝜇𝐴 
𝜇𝐴 + 𝜇𝐵 
 
𝜇𝐵 
𝜇𝐵 𝜇𝐴 
𝜇𝐴 + 𝜇𝐵 
 
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Debido a que es la cola
de preferencia, si no abria
preferencia seria A/2
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Es atendido en A y se va
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Otro cliente que ve que A 
esta ocupado y se va a B
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Se va y volvemos
a sit anterior
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Si A atiende mas rapido 
solo atendemos en B
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Llega otro cliente luego
de esta sit, osea va al
cajero A
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Otro cliente que se
posiciona en un lugar
de la cola
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Si se cansa y se va sin
ser atendido
ENZO CORTE
Máquina de escribir
Cliente que se posiciona en
el otro lugar
 
 
 
 0,0,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1 0,0,1,1 0,1,1,1 1,1,1,1 
 
0,0,0,0    0 0 0 0 
 
0,0,1,0      0 0 
 
0,0,0,1      0 
 
0,0,1,1 D=      0 
 
0,1,1,1 0 0    
 
1,1,1,1 0 0 0 0  
 
 
Por lo tanto, ahora con la matriz D podemos obtener las probabilidades en el régimen permanente. Para 
ello debemos hacer: 
PA = B 
P=BA-1 
 
Donde 
P= p1 p2 p3 p4 p5 p6 
 
 
 
   0 0 0 1 
     0 1 
 
     1 
A=
     1 
 0 0    
 0 0 0 0  
 
B= 0 0 0 0 0 1 
 
 
Resolviendo: 
 
𝑝1 = 0,090 → (0,0,0,0) 
𝑝2 = 0,147 → (0,0,1,0) 
𝑝3 = 0,057 → (0,0,0,1) 
𝑝4 = 0,219 → (0,0,1,1) 
𝑝5 = 0,235 → (0,1,1,1) 
𝑝6 = 0,252 → (1,1,1,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Número medio de clientes atendidos 
 
𝑁𝑐𝑙𝑖.𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑 = (𝑝2 + 𝑝3). 1 + (𝑝4+𝑝5 + 𝑝6). 2 = (0,147 + 0,057). 1 + (0,219 + 0,235 + 0,252). 2 
𝑁𝑐𝑙𝑖.𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑 = 1,616 
 
b) Número medio de clientes en el sistema 
 
𝑁𝑠 = 0. 𝑝1 + 1(𝑝2 + 𝑝3) + 2𝑝4 + 3𝑝5 + 4𝑝6 
 
𝑁𝑠 = (0,147 + 0,057) + 2.0,219 + 3.0,235 + 4.0,252 
𝑁𝑠 = 2.355 
 
c) Tiempo medio de espera en la cola 
 
𝑁𝑐 = 1. 𝑝5 + 2. 𝑝6 = 1.0.235 + 2.0.252 = 0.739 
 
𝑊𝑐 =
𝑁𝑐
𝜆′
=
𝑁𝑐
𝜆(1 − 𝑝6)
=
0,739
2,5. (1 − 0,252)
= 0,395 𝑚𝑖𝑛 
 
 
 
 
 
d) Tiempo medio de permanencia en el sistema 
 
 
𝑊𝑠 =
𝑁𝑠
𝜆′
=
𝑁𝑠
𝜆(1 − 𝑝6)
=
2,355
2,5. (1 − 0,252)
= 1,26 𝑚𝑖𝑛 
 
 
 
e) Grado de ocupación de cada caja 
 
Caja A 
 
 
𝐻𝐴 = (𝑝2 + 𝑝4 + 𝑝5 + 𝑝6). 100 % 
 
𝐻𝐴 = (0,147 + 0,219 + 0,235 + 0,252). 100 % 
 
𝐻𝐴 = 85,30 % 
 
Caja B 
 
𝐻𝐵 = (𝑝3 + 𝑝4 + 𝑝5 + 𝑝6). 100 % 
 
𝐻𝐵 = (0,057 + 0,219 + 0,235 + 0,252). 100 % 
 
𝐻𝐵 = 76,30 %