Líneas de espera- Modelo MM1

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Modelos de cola o línea de espera 
 
 
 
 
 
 
Los elementos básicos de un modelo de espera depende de: 
 
a. Distribución de llegadas 
b. Distribución del tiempo de servicio 
c. Diseño de la instalación de servicio 
d. Disciplina de servicio 
e. Tamaño de la línea de espera 
f. Fuente de llegadas 
 
Notación de Kendall 
 
Es una notación que resume las características principales de las líneas de espera en 
paralelo: 
(𝑎 𝑏 𝑐): (𝑑 𝑒 𝑓) 
 
a: distribución de llegadas 
b: distribución del tiempo de servicio (o de salidas) 
c: número de servidores en paralelo (c = 1, 2,…,inf.) 
d: disciplina de servicio ( FCFS, LCFS, SIRO) 
e: número máximo admitido en el sistema 
f: tamaño de la fuente de llegada 
 
Procedimiento: 
 
a) Definir el modelo y la notación de Kendall 
 
b) Calcular los parámetros característicos en base a la notación de Kendall 
 
 
 
𝐿𝑠 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
 
𝐿𝑞 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠)𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑎 
 
𝑊𝑠 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑎𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
 
𝑊𝑞 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑎 
 
 
 
Ejemplo: En el mostrador de una joyería los clientes llegan con una velocidad 
promedio de 8 por hora durante un día. Un vendedor está asignado al departamento y 
puede atender un cliente con una velocidad promedio de 5 minutos. Las llegadas y el 
servicio responden a una distribución Poisson. 
a. ¿Cuántos clientes esperaría Ud. ver si entrara al mostrador de la joyería? 
b. ¿Cuánto tiempo tardaría un cliente en obtener servicio y cuánto tiempo 
permanecería en promedio en la joyería? 
c. ¿Cuánto tiempo trabaja, en promedio el vendedor? 
 
 
Notación de Kendall: (M , M , 1) : ( PEPS ,  ,  ) 
 
Tasa de arribos: 𝜆 = 8 
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑟
 
Tasa de servicio: 𝜇 =
1 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
.
60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
1 ℎ𝑜𝑟𝑎
= 12 
𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑟
 
Factor de utilización del sistema: 
 
𝜌 =
𝜆
𝑠𝜇
=
8
1.12
= 0.6 ≤ 1 
 
(si no cumple se deberían agregar canales) 
 
a) Número esperado de clientes en la joyería 
𝐿𝑠 =
𝜌
1 − 𝜌
=
0,66
1 − 0.66
= 2 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
b) Tiempo promedio en la cola 
 
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
=
𝜌
𝜇(1 − 𝜌)
=
2/3
12(1 −
2
3)
= 0.1666 ℎ𝑟 
 
𝑊𝑞 ≅ 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
Tiempo promedio en la joyería 
𝑊𝑠 =
𝐿𝑠
𝜆
=
1
𝜇(1 − 𝜌)
= 0.25 ℎ𝑟 
 
𝑊𝑠 ≅ 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
 
c)Tiempo promedio en que trabaja el vendedor 
𝑝𝑜 = (1 − 𝜌)𝜌
0 = (1 − 2/3) =
1
3
= 0.3333 
La probabilidad de que el vendedor esté ocupado 
 
p(n ≥ 1) = 1 − p0 = 1 − 0.333 = 0.67 
 
Si la jornada laboral es de 8 horas: 
0.67 ∗ 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 5 ℎ𝑠 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑑í𝑎 
 
 
Verificación en el programa WIN QSB-Queuing Analysis: 
 
 
 
 
Clase 1