INFORME FUNCIONES

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UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL 
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS 
ASIGNATURA: 
MATEMATICAS 
DOCENTE: 
ING. ERICK LAVID CEDEÑO 
ESTUDIANTE: 
MANTILLA MANZABA MAYELYN ESTHER 
CURSO: 
FCA-N-05-V-19 
PERIODO LECTIVO: 
2021-2022 
 
 
FUNCIONES DE VARIABLE REAL 
DEFINICIÓN 
f: X →Y 
x →y = f (x) 
A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se la conoce como variable 
dependiente. 
 
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL 
Se puede expresar el dominio de una función mediante la notación de intervalos, la notación de 
conjuntos, o con palabras, según sea lo más conveniente. 
 ▪ Si f (x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que se 
deben excluir del dominio aquellos valores de x que provocan esta situación. 
▪ Si f (x) contiene una raíz de índice par, esta existirá sólo si el radicando es positivo o cero. 
 
 
 
 
 
 
 
RANGO DE UNA FUNCION DE VARIABLE REAL 
Un procedimiento para obtener la imagen de una función y = f (x), es el siguiente: 
▪ Despejar algebraicamente la variable x en la función. 
▪ El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y, una vez despejada la 
variable x. 
 
 
 
 
Sean X y Y dos conjuntos no vacíos, subconjuntos de los números reales. Una función de 
variable real de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un 
único elemento de Y. Esto se representa simbólicamente por: 
Sea f una función de variable real f: X → Y. El conjunto X para el cual se encuentra definida, 
constituye el dominio de la función. Este conjunto se representa simbólicamente por dom f. 
Sea f una función de variable real f: X → Y, el conjunto de todas las imágenes de los 
elementos del dominio, constituye el rango de la función. Este conjunto se representa 
simbólicamente por rg f. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 
Si f es una función de A en B, entonces la gráfica 
de f es el conjunto de puntos o pares ordenados 
de A x B, tales que sus coordenadas (x, y) 
pertenecen a f. 
La convención a utilizar es que los elementos del 
conjunto A se representen sobre una recta real 
horizontal, y los del conjunto B sobre una recta 
real vertical. La intersección de estas rectas se 
conoce como el origen del sistema de graficación 
y sus coordenadas son (0, 0). 
 
-Teorema Criterio de la recta vertical 
Una curva en el plano cartesiano representa una función, si cualquier recta vertical interseca la 
gráfica, como máximo, en un punto. 
 
Utilizando este teorema, es sencillo verificar cuándo una gráfica representa una función y 
cuándo no lo es. En la figura b; de acuerdo al criterio anterior, la relación g no es una función de 
variable real. 
 
TIPOS DE FUNCIONES 
Función Inyectiva 
 
 
Reciben también el nombre 
de funciones “uno a uno”. 
 
 
Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su 
dominio x0 ≠ x1 ⇒ f(x0) ≠ f(x1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función Sobreyectiva 
 
La función f es inyectiva si 
cada elemento del conjunto 
final Y tiene un único 
elemento del conjunto inicial 
X al que le corresponde. Es 
decir, no pueden haber más 
de un valor de X que tenga la 
misma imagen Y. 
Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene 
al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una función puede ser sobreyectiva y no ser inyectiva. Para concluir que una 
función f: X → Y es sobreyectiva, se tendrá que conocer el conjunto de llegada 
 
 
Y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función Creciente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una función creciente f es una función tal que al aumentar la variable 
independiente x, aumenta la variable dependiente y. 
Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del 
dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≤ f(x2). 
 
Función Decreciente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función Par 
 
 
Una función decreciente f es una función tal que al aumentar la variable 
independiente x, disminuye la variable dependiente y. 
Es decir, la función f es decreciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del 
dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≥ f(x2). 
Cuando una función f tiene una simetría axial respecto del eje de ordenadas, 
eje Y, decimos que es una función par, y en ella se cumple para todo su 
dominio que: 
f(-x) = f(x) 
Función Impar 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función Periódica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando una función f presenta una simetría central respecto del origen de 
coordenadas, O, decimos que es una función impar, y en ella se cumple para 
todo su dominio que: 
f(-x) = – f(x) 
Una función periódica f es una función tal que las imágenes de los valores de 
x se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo se le llama 
período y se determina con la letra P. 
Es decir, conociendo la función en un período P, podemos construir toda su 
gráfica trasladando a izquierda y derecha por todo el dominio de la función. 
 
Función Acotada 
Una función está acotada si lo está a superior e inferiormente. 
k' ≤ f(x) ≤ k 
 
 
 
 
 
 
Función acotada superiormente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que 
para toda x es f(x) ≤ k. 
El número k se llama cota superior. 
Función acotada inferiormente 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES LINEALES 
Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen 
de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que 
para toda x es f(x) ≥ k′. 
El número k′ se llama cota inferior 
También se llaman funciones de proporcionalidad directa. La constante m es la 
razón de proporcionalidad. 
FUNCIONES CUADRÁTICAS. 
Las funciones cuadráticas (o funciones de segundo grado) son funciones 
polinómicas de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x 
elevado a 2 ( ): 
 
 
Su representación gráfica es una parábola vertical. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una función cuadrática puede tener dos raíces reales, una o ninguna. Las raíces 
de una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Es decir, son 
los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X. 
FUNCIONES POLINOMIALES 
Una función polinómica f es una función cuya expresión es un polinomio tal 
como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. 
Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio. 
FUNCIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO 
Las funciones polinómicas de primer grado o de grado 1 son aquellas que 
tienen un polinomio de grado 1 como expresión. Están compuestas por un 
escalar que multiplica a la variable independiente más una constante. Su mayor 
exponente es x elevado a 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Su representación gráfica es una recta de pendiente m. La m es la pendiente y 
la n la ordenada, o punto en donde corta la recta f al eje de ordenadas. 
FUNCIONES EXPONENCIALES. 
Una función exponencial es aquella en que la variable independiente x aparece 
en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es: 
 
Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. 
 
 
 
 
 
 
 
La función potencial exponencial es aquella en la que, tanto la base como el 
exponente son funciones. Dicho de otra manera, la variable independiente x se 
encuentra en la base y en el exponente. 
FUNCIONES LOGARÍTMICAS 
Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es, en su 
forma simple, de la forma: 
 
Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. 
 
 
 
 
 
 
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. 
TÉCNICAS DE GRAFICACIÓN 
• DESPLAZAMIENTO VERTICAL 
Los desplazamientosverticales son el resultado de agregar un término 
constante al valor de una función. Un término positivo genera un 
desplazamiento hacia arriba y uno negativo, hacia abajo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL 
Los desplazamientos horizontales son el resultado de agregar un término 
constante a la función dentro del paréntesis. Un término positivo genera un 
desplazamiento hacia la izquierda y uno negativo, hacia la derecha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
• REFLEXIONES 
La reflexión o volteo es la imagen de espejo de una figura. También se puede 
decir que es el volteo de puntos y gráficas alrededor de los ejes. 
Para graficar y=-f(x) refleje la gráfica de y=f(x) en el eje x. (Reflexión vertical) 
Para graficar y=f(-x), refleje la gráfica de y=f(x) en el eje y. (Reflexión 
horizontal) 
 
 
 
 
 
 
 
• COMPRESIONES 
Son transformaciones que cambian el largo o el ancho de la gráfica de una 
función. La forma general de la gráfica de una función se expande o comprime 
verticalmente u horizontalmente. Las expansiones y compresiones son 
consideradas transformaciones no rígidas. 
Si z a > 1, expansión vertical a la gráfica de y=f(x) por un factor de a. 
Si 0 < a < 1, compresión vertical a la gráfica de y= f(x) por un factor de a 
 
 
 
 
• ALARGAMIENTOS 
 
• ALARGAMIENTOS 
Puedes expandir o contraer una función en el eje y multiplicándola por un número k mayor que 
uno o entre cero y uno respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• ASÍNTOTAS DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 
Se le llama asíntota de la gráfica de una función a una recta a la que se aproxima 
continuamente la gráfica de tal función; es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero 
(0), a medida que se extienden indefinidamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficamente las asíntotas se asocian a ramas de la función infinitas (que no tienen fin). 
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE FUNCIONES LINEALES (4 ejercicios resueltos) 
1. Un Restaurante, con conocimiento de las normas y protocolos que debe cumplir, 
emprende y contrata un servicio de transporte motorizado para distribuir por delivery sus 
productos. El contrato estipula que el pago por cada entrega es de $5. Como máximo se 
efectuarán 50 entregas al mes 
 Expresar gráficamente el comportamiento del pago mensual según el contrato del 
transporte motorizado, de acuerdo con la cantidad de entregas efectuadas. 
1 entrega: 5 (1)= $5 
2 entregas: 5 (2)= $10 
3 entregas: 5 (3)= $15 
4 entregas: 5 (4)= $20 
… 
50 entregas: 5 (50)= $250 
 e entregas: 5(e)= 5e dólares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de 
entregas (e) 
1 2 3 4 … 50 
Pago $ P(e) 5 10 15 20 … 250 
Número de entregas realizadas 
P
ag
o
 D
ó
la
re
s 
 
Dom (P) [1;50] Rango [5;250] 
2. Un grifo verte agua a un depósito dejando caer 25 litros cada minuto. 
a) Formar una tabla de valores apropiada para representar la función “capacidad” en función 
del tiempo y graficarla 
b) ¿Cuándo tiempo tardará en llenar una piscina de 50 ? 
C(t)=25t c= capacidad f(x) y 
Variable dependiente litros 
T= tiempo 
Variable independiente minutos 
T 0 1 2 3 4 5 6 
c 0 25 50 75 100 125 150 
 
 
Tiempo (minutos) 
Capacidad (litros) 
3. La siguiente función representa la temperatura (en ºC) de un refrigerador nuevo a los t 
minutos de haberlo encendido: 
T(t)=20 – 2t 
 
 
 
 
T(t) = 20 – 2t 
T(0) = 20 – 2(0)=20 
T(2)= 20 – 2(2)=16 
T(4)= 20 – 2(4)=12 
T(6)= 20 – 2(6)=8 
T(8)= 20 – 2(8)=4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 0 2 4 6 8 
t 20 16 12 8 4 
Tiempo (minutos) 
Temperatura ºC 
4. Una compañía de celulares está ofreciendo a sus clientes el siguiente plan. Puedes 
comprar un celular nuevo por $60 y pagar una tarifa fija mensual de $40 por mes con 
llamadas ilimitadas. ¿Cuánto dinero costará el plan después de 9 meses? 
t(m)=60+40m 
t(9)=60+40(9) 
t(9)=420