Taller semana 3

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 3
1. Responda F si la afirmación es falsa y V si es correcta. Justifique.
a) ( ) El dominio de la composición de dos función es
la intersección de los dominios de las funciones que
intervienen.
b) ( ) Si f y g son dos funciones, entonces
Dom{g ◦ f} = Dom{f}.
c) ( ) La composición de dos funciones pares es par.
d) ( ) La composición de dos funciones impares es par.
e) ( ) La composición de dos funciones impares es im-
par.
f ) ( ) La composición de una función par con otra im-
par es par.
g) ( ) Si f es par y g es impar, entonces g ◦ f es par.
h) ( ) Si f es par y g es impar, entonces g ◦ f es impar.
i) ( ) Si f es impar y g es par, entonces g ◦ f es impar.
j ) ( ) Si f es impar y g es par, entonces g ◦ f es par.
k) ( ) Si f y g son dos funciones, entonces g ◦ f = f ◦ g.
l) ( ) Existen dos funciones f y g que cumplen
g ◦ f = f ◦ g.
m) ( ) Existen dos funciones f y g que cumplen
g(f(x)) = x, para todo x ∈ Dom{f}.
n) ( ) No existe una función f que cumple f(f(x)) = x,
para todo x ∈ Dom{f}.
2. Defina de manera precisa el dominio de f ◦ g.
3. Describa tres diferencias entre funciones exponenciales y funciones potencias.
4. Simplifique las siguientes expresiones, dejando únicamente exponentes positivos:
a) x4 · x7
b) m−7 ·m12
c) x1/3 · x1/2 · x5/6
d)
a15
a9
e)
b3
b−7
f )
3
√
a2b5
√
ab
4
√
a7b5
√
a3b
g)
(
a−2b3
b−7a−6
)3
h)
(
a2b−2c−3
a3b3c−4
)−5
i)
3
√√
64s2r−12
j )
(
a3b−2
x−2y4
)3(
x−2b−1
a3/2y1/3
)6
5. En dada uno de los casos, determine las siguientes funciones y sus respectivos dominios: i.) g ◦ f . ii.) f ◦ g. iii.) f ◦ f .
iv.) g ◦ g.
a) f(x) = x2 y g(x) = 3x + 4.
b) f(x) = 4x3 + 5 y g(x) = 2x2 + 3.
c) f(x) = 1− x2 y g(x) = 1 + x.
d) f(x) = x + 5 y g(x) = x− 5.
e) f(x) = x2 y g(x) =
√
x.
f ) f(x) = 2−x y g(x) = senx.
g) f(x) = x2 y g(x) = 3x + 4.
h) f(x) =
1
x
y g(x) =
1
x
i) f(x) = x +
1
x
y g(x) =
x + 1
x + 2
j ) f(x) =
x− 4
x + 5
y g(x) =
x + 4
x− 5
k) f(x) = |x| y g(x) =
√
x.
l) f(x) = 3x2 + 2x− 5 y g(x) =
x + 5, si x ≥ 0;2x, si x < 0. .
m) f(x) =
x2 − 3, si x ≥ −1;2x + 1, si x < −1. y g(x) =
x− 1, si x ≥ 3;3x, si x < 3. .
6. Determine f ◦ g ◦ h y su dominio en cada caso:
a) f(x) = 4x + 2, g(x) = cos(x) y h(x) = x3.
b) f(x) = |x + 2|, g(x) = 3x y h(x) = x2.
c) f(x) = 5−x, g(x) = x2 + 1 y h(x) =
√
x− 2.
d) f(x) = sen(x), g(x) = x+1x−1 y h(x) = x
2 + 1.
e) f(x) = x + 3
√
3− x, g(x) = 1 + 3
√
x + 1 y
h(x) = 3−
√
x.
f ) f(x) =
2x + 1
3x− 2
, g(x) =
2x− 1
2x + 1
y h(x) =
x + 2
x + 3
.
7. Exprese la función dada F en la forma f ◦ g, donde f y g son distintas a la función F .
a) F (x) = (3x3 − 5)6.
b) F (x) = (2x2 + 1)3.
c) F (x) =
√
2x2 + 8.
d) F (x) = sen(4x).
e) F (x) = sec(3x).
f ) F (x) = cos5(x).
g) F (x) = tan3(x).
h) F (x) = e3x
2
.
i) F (x) = sen3(x)− 2 sen(x) + 2.
j ) F (x) = sen(4x2) tan(4x2).
k) F (x) = tan
√
x.
l) F (x) =
2 sen(x)− cos(x)
5 cos(x) + 3 sen(x)
.
m) F (x) = e−3x + e3x.
8. Exprese la función dada F como la composición de varias funciones.
a) F (x) = (3 cos3(x)− 7)4.
b) F (x) = (2e2x + 1)3.
c) F (x) = sen
√
2x2 + 8.
d) F (x) = sen3(5x).
e) F (x) = 3
√
tan(3x4).
f ) F (x) =
√
2 +
4
√
3− 3
√
x + 1.
g) F (x) = etan
√
x2+4.
h) F (x) =
√
e5 tan2(x) + 1.
9. Grafique cada una de las siguientes funciones en un mismo plano. ¿Cómo se re relacionan esta gráficas?
a) y = 3x, y = ex, y = 7x y y = 20x.
b) y = 3x, y = 12x, y =
(
1
3
)x
y y =
(
1
12
)x
.
c) y = 0,8x, y = 0,6x, y = 0,2x y y = 0,01x.
d) y = 3−x, y = e−x, y = 6−x y y = 8−x.
10. Encuentra el dominio de cada una de las siguientes funciones
a) f(x) = 3 cos(e−2x).
b) f(x) =
√
1− 3x.
c) f(x) =
1− e2x
e2x − 5ex + 6
.
d) f(x) =
1− x2
esen(x)
.
e) f(x) =
1− ex2
1− e1−x2
.
f ) f(x) =
e−x + ex
ex − e−x
.
11. Bajo condiciones ideales se sabe con certeza que una población de bacterias se duplica cada tres horas. Supongamos que
inicialmente hay 100 bacterias.
a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 ho-
ras?
b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas?
c) Estime el tamaño de la población después de 23 y 24
horas.
d) Grafque la función de la población y estime el tiempo
necesario para que la población llegue a 50,000.