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CLASE #2
Integrales
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. El problema del área
Empezamos por intentar resolver el problema del área: encuentre el área de la región
S que está bajo la curva y = f (x), desde a hasta b. Esto significa que la región S está
limitada por una función continua f (donde f (x) ≥ 0), las rectas verticales x = a, x = b y
el eje x. Pero ¿cuál es el significado de área?
La pregunta es fácil de responder para regiones con lados rectos, sin embargo, no es fácil
hallar el área de una región con lados curvos.
Para poder dar una definición exacta acerca de lo que es el área de una región con
lados curvos, se hará una aproximación de la región S representándolas por medio de
rectángulos, y después tomando el lı́mite de las áreas de los rectángulos cuando se incre-
menta el número de éstos.
1
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Teniendo en cuenta lo anterior, procedemos entonces a plantear el concepto de integral
definida.
2. La integral definida
Definición . Si f es una función continua definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo
[a, b] en n, subintervalos de igual ancho
∆x =
b − a
n
Sean x0 = a, x1, x2, . . . xn = b los puntos extremos de estos subintervalos y sean x∗1 , x
∗
2 , . . . x
∗
n
los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que x∗i se encuentre en el i-ésimo
subintervalo [xi−1, xi]. Entonces la integral definida de f , desde a hasta b, es∫ b
a
f (x) dx = lı́m
n−→∞
n
∑
i=1
f (xi)∆x
siempre que este lı́mite exista y dé el mismo valor para todos las posibles elecciones de
los puntos muestra. Si existe, decimos que f es integrable sobre [a, b].
1. Los elementos de la integral son
∫ b
a
f (x) dx diferencialsigno de integral
limite superior
limite inferior
2. La integral definida
∫ b
a
f (x) dx es un número que no depende de x.
3. La suma
n
∑
i=1
f (xi)∆x se llama suma de Riemann.
Teorema 1. Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f es inte-
grable en [a, b]. Es decir
∫ b
a
f (x) dx existe.
2.1. Interpretación de la integral definida como el área de una región
Teorema 2. Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b], entonces el área
A de la región acotada por la gráfica de f , del eje x y las rectas verticales x = a y x = b
está dada por
A =
∫ b
a
f (x) dx
2
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Ejemplo 1. Evalúe la siguientes integral interpretándola en términos del área:∫ 3
0
x dx
Solución Tenemos que f (x) = x es una recta que pasa por el origen y se encuentra
limitada entre a = 0 y b = 3. Luego, la gráfica de f entre −2 y 2
x
y
3
(3, 3)
f
Note que región sombreada es un triángulo rectángulo de base 3 y altura 3, luego, el área
del triángulo rectángulo es
A =
b · h
2
=
3 · 3
2
=
9
2
Dado que la integral se interpreta como el área de la región, entonces∫ 3
0
x dx =
9
2
unidades cuadradas
Ejemplo 2. Evalúe la siguientes integral interpretándola en términos del área:∫ 2
−2
(2 − |x|) dx
Solución Tenemos que h(x) = 2 − |x| con a = −2 y b = 2. Luego, la gráfica de h entre 0
y 3
3
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x
y
2
2
−2
A1 A2
Note que región sombreada se puede dividir en dos triángulos rectángulos de base 2 y
altura 2 cada uno, luego, el área es
A = A1 + A2
Ahora calculamos el área de cada triángulo rectángulo
A1 =
b · h
2
=
2 · 2
2
=
4
2
= 2
A2 =
b · h
2
=
2 · 2
2
=
4
2
= 2
Ası́,
A = A1 + A2 = 2 + 2 = 4
Dado que la integral se interpreta como el área de la región, entonces∫ 2
−2
(2 − |x|) dx = 4 unidades cuadradas
Ejemplo 3. Dibujar la región correspondiente a cada integral definida. Evaluar después
cada integral utilizando una fórmula geométrica.
a)
∫ 3
1
4 dx b)
∫ 3
0
(x + 2) dx c)
∫ 2
−2
√
4 − x2 dx
Solución a) Esta región es un rectángulo de altura 4 y base 2
4
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A = b · h = (2)(4) = 8
Ası́, ∫ 3
1
4 dx = 8 unidades cuadradas
b) Esta región es un trapezoide con una altura de 3 y bases paralelas de longitudes 2 y
5. La fórmula para el área de un trapezoide es
A =
(B + b)
2
· h
De modo que el área es
A =
(5 + 2)
2
· (3) =
(
7
2
)
· (3) = 21
2
Ası́, ∫ 3
0
(x + 2) dx =
21
2
unidades cuadradas
c) Esta región es un semicı́rculo de radio r = 2. La fórmula para el área de un se-
micı́rculo es
A =
1
2
πr2
5
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El área de la región es
A =
1
2
π(2)2 =
1
2
(4π) = 2π
Por lo tanto, ∫ 2
−2
√
4 − x2 dx = 2π unidades cuadradas
Ejemplo 4. Evalúe las siguientes integrales interpretando cada una en términos de áreas:
a)
∫ 1
0
√
1 − x2 dx b)
∫ 3
0
(x − 1) dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 377 y 378
3. La derivación y la integración como procesos inversos
3.1. El Teorema fundamental del cálculo
Teorema fundamental del cálculo. . Suponga que f es continua sobre [a, b].
(i) Si g(x) =
∫ x
a
f (t) dt, entonces g′(x) = f (x), esto es
g′(x) =
d
dx
[∫ x
a
f (t) dt
]
(ii)
∫ b
a
f (x) dx = F(b)− F(a), donde F es cualquier antiderivada de f ; es decir,
F′(x) = f (x)
Ejemplo 5. Evaluar cada integral definida.
a)
∫ 2
1
(x2 − 3) dx b)
∫ π/4
0
sec2 x dx
Solución La idea es encontrar el valor de la integral sin calclar l área de la región
a) Note que f (x) = x2 − 3, de modo que F(x) = 1
3
x3 − 3x es una antiderivada de f .
Luego, por el teorema fundamental del cálculo parte (ii) tenemos que∫ 2
1
(x2 − 3) dx = F(2)− F(1)
=
(
1
3
(2)3 − 3(2)
)
−
(
1
3
(1)3 − 3(1)
)
=
(
8
3
− 6
)
−
(
1
3
− 3
)
= −2
3
6
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b) Note que f (x) = sec2 x de modo que F(x) = tan x es una antiderivada de f . Luego,
por el teorema fundamental del cálculo parte (ii) tenemos que∫ π/4
0
sec2 x dx = F(π/4)− F(0)
= tan(π/4)− tan(0)
= 1
Ejemplo 6. Encuentre la derivada de la función g(x) =
∫ x
0
√
1 + t2 dt
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 389
Ejemplo 7. Encuentre
d
dx
[∫ x4
1
sec2 t dt
]
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 390
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Referencias
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McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
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