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CLASE #3
Propiedades de la integral definida
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Propiedades de la integral definida
Suponga que f y g son funciones continuas
1.
∫ b
a
f (x) dx = −
∫ a
b
f (x) dx
2.
∫ a
a
f (x) dx = 0
3.
∫ b
a
c dx = c(b − a), c ∈ R
4.
∫ b
a
[ f (x)± g(x)] dx =
∫ b
a
f (x)] dx ±
∫ b
a
g(x) dx
5.
∫ b
a
c f (x) dx = c
∫ b
a
f (x) dx c ∈ R
6. Si c ∈ [a, b], tenemos que
∫ c
a
f (x) dx +
∫ b
c
f (x) dx =
∫ b
a
f (x) dx
7. Si f (x) ≥ 0 para x ∈ [a, b], entonces
∫ b
a
f (x) dx ≥ 0
8. Si f (x) ≥ g(x) para x ∈ [a, b], entonces
∫ b
a
f (x) dx ≥
∫ b
a
g(x) dx
9. Si m ≤ f (x) ≤ M para x ∈ [a, b], entonces m(b − a) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ M(b − a)
1
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Ejemplo 8. Aplique las propiedades de la integral definida para evaluar∫ 1
−1
|x| dx
Solución Recordemos que el valor absoluto se define como
|x| =

x si x ≥ 0
−x si x < 0
Luego, ∫ 1
−1
|x| dx =
∫ 0
−1
−x, dx +
∫ 1
0
x, dx
= −
∫ 0
−1
x, dx +
∫ 1
0
x, dx
Note que si f1(x) = −x de modo que F1(x) = −12 x2 es una antiderivada de f1 y si
f2(x) = x de modo que F2(x) = 12 x
2 es una antiderivada de f2. Luego, por el teorema
fundamental del cálculo parte (ii) tenemos que∫ 1
−1
|x| dx = −
∫ 0
−1
x, dx +
∫ 1
0
x, dx
=
1
2
+
1
2
= 1
Ejemplo 9. Use las propiedades de la integral para evaluar
∫ 1
0
e−x
2
dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 381
2
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Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
3
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