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Clase de repaso
Áreas entre curvas
Sólidos de revolución
Longitud de arco
Trabajo y fuerza
Momentos y momentos de inercia
Cálculo Integral
23 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
1. Áreas entre curvas
1.1. Áreas entre dos curvas
Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) ≤ f (x) para todo x en [a, b], entonces el área de
la región acotada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es
A =
∫ b
a
[ f (x)− g(x)]dx
Ejemplo . Determine el área de la región limitada entre entre los puntos de inetrsección
las gráficas de f (x) = sen x y g(x) = cos x.
Solución El seno y coseno de las curvas se intersecan infinitas veces, acotando regiones
de áreas iguales. Encontrar el área de una de estas regiones.
Note que
sen x = cos x ⇔ sen x
cos x
= 1
⇔ tan x = 1
⇔ x = tan−1(1)
⇔ x = π
4
ó
5π
4
para 0 ≤ x ≤ 2π
Ahora, veamos la gráfica
1
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el área de la región es
A =
∫ 5π/4
π/4
[sen x − cos x]dx =
[
− cos x − sen x[5π/4π/4
]
= 2
√
2
Observación . Si dos curvas se intersecan en más de dos puntos, entonces para encontrar
el área de la región comprendida entre las curvas, se deben encontrar todos los puntos de
intersección y verificar en cada uno de los intervalos determinados por esos puntos, cuál
de las gráficas está encima de la otra.
Ejemplo . Encontrar el área de la región comprendida entre las gráficas de f (x) = 3x3 −
x2 − 10x y g(x) = −x2 + 2x
Solución Empezar igualando f (x) y g(x) y resolviendo para x. Ası́ se obtienen las coorde-
nadas de x en cada punto de intersección de las dos gráficas.
f (x) = g(x) ⇔ 3x3 − x2 − 10x = −x2 + 2x
⇔ 3x3 − 12x = 0
⇔ 3x(x − 2)(x + 2) = 0
⇔ x = −2, x = 0, x = 2
Ası́, las dos gráficas se cortan cuando x = −2, x = −0 y x = 2. Luego, la región es la
siguiente
2
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Se observa que g(x) ≤ f (x) en el intervalo [−2, 0]. Sin embargo, las dos gráficas cambian
en el origen, y f (x) ≤ g(x) en el intervalo [0, 2]. Ası́, se necesitan dos integrales, una para
el intervalo [−2, 0] y otra para el intervalo [0, 2].
A =
∫ 0
−2
[ f (x)− g(x)]dx +
∫ 2
0
[g(x)− f (x)]dx
=
∫ 0
−2
(
3x3 − 12x
)
dx +
∫ 2
0
(
−3x3 + 12x
)
dx
=
[
3x4
4
− 6x2
]0
−2
+
[
−3x4
4
+ 6x2
]2
0
= −(12 − 24) + (−12 + 24) = 24
Observación . En el ejemplo anterior se observa que se obtiene un resultado incorrecto
si se integra de -2 a 2. Tal integral produce∫ 2
−2
[ f (x)− g(x)]dx =
∫ 2
−2
(
3x3 − 12x
)
dx = 0.
Si la gráfica de una función de y es una frontera de una región, es a menudo conveniente
usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando en la variable
y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan
A =
∫ b
a
[( curva de arriba )− ( curva de abajo )]︸ ︷︷ ︸
en la variable x
]dx Rectángulos verticales.
A =
∫ d
c
[( curva derecha )− ( curva izquierda )]︸ ︷︷ ︸
en la variable y
]dy Rectángulos horizontales.
2. Sólidos de revolución
2.1. Método de los discos
El sólido generado al hacer girar una región plana alrededor de un eje se denomina
sólido de revolución. Para determinar el volumen de un sólido, sólo necesitamos tener en
cuenta que el área de la sección transversal A(x) es el área de un disco con radio R(x), la
distancia entre la frontera de la región plana y el eje de rotación. En consecuencia, el área
es
A(x) = π(radio)2 = π[R(x)]2.
De este modo, la definición de volumen nos da
V =
∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
π[R(x)]2dx
3
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recta y = 1, la región acotada por y =
√
x y las rectas y = 1, x = 4
Solución Dibujamos figuras que muestren la región, el radio tı́pico y el sólido resultante
el volumen es
V =
∫ 4
1
π[R(x)]2dx =
∫ 4
1
π[
√
x − 1]2dx
= π
∫ 4
1
[x − 2
√
x + 1]dx = π
[
x2
2
− 2 · 2
3
x3/2 + x
]4
1
=
7π
6
Ejemplo . Determine el volumen del sólido resultante al hacer girar la región compren-
dida entre la parábola x = y2 + 1 y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3.
Solución Dibujamos figuras que muestren la región, el radio tı́pico y el sólido resultante
el volumen es
V =
∫ √2
−
√
2
π[R(y)]2dy =
∫ √2
−
√
2
π
[
2 − y2
]2
dy
= π
∫ √2
−
√
2
[
4 − 4y2 + y4
]
dy = π
[
4y − 4
3
y3 +
y5
5
]√2
−
√
2
=
64π
√
2
15
4
https://wlh.es/v2/1690385539184/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
2.2. Método de las arandelas o anillos
Si la región que se hace girar para generar un sólido no se acerca al eje de rotación
ni está en él, el sólido tendrá un agujero. En lugar de discos, las secciones transver- sa-
les perpendiculares al eje de rotación son arandelas. Las dimensiones de una arandela
representativa son Radio exterior R(x) y Radio interior r(x). El área de la arandela es
A(x) = π[R(x)]2 − π[r(x)]2 = π
(
[R(x)]2 − [r(x)]2
)
En consecuencia, la definición de volumen nos da
V =
∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
π
(
[R(x)]2 − [r(x)]2
)
dx
Ejemplo . Para generar un sólido se hace girar la región acotada por la curva y = x2 + 1
y la recta y = −x + 3 alrededor del eje x. Determinar el volumen del sólido.
Solución Determine los puntos de intersección de la curva y la recta
x2 + 1 = −x + 3
x2 + x − 2 = 0
(x + 2)(x − 1) = 0
x = −2, ∨ x = 1
Dibujamos la región yel sólido de revolución
(a) (b)
Note que el radio exterior es R(x) = 3 − x y el radio interior es r(x) = x2 + 1. Luego, el
volumen es.
V =
∫ b
a
π
(
[R(x)]2 − [r(x)]2
)
dx =
∫ 1
−2
π
(
(−x + 3)2 −
(
x2 + 1
)2)
dx
=
∫ 1
−2
π
(
8 − 6x − x2 − x4
)
dx = π
[
8x − 3x2 − x
3
3
− x
5
5
]1
−2
=
117π
5
5
https://wlh.es/v2/1690385539195/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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3. Longitud de arco
3.1. Fórmula de longitud de arco
Teorema 1. [Fórmula de longitud de arco] Si f ′ es continua sobre el intervalo [a, b], en-
tonces la longitud de la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b es
L =
∫ b
a
√
1 + [ f ′(x)]2dx
Si usamos la notación de Leibniz para derivadas, podemos expresar la fórmula de la lon-
gitud de arco como:
L =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
Teorema 2. Si g′ es continua sobre el intervalo [c, d], entonces la longitud de la curva
x = g(y), c ≤ y ≤ d es
L =
∫ d
c
√
1 + [g′(y)]2dy =
∫ b
a
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy
Ejemplo . Halle la longitud del arco de la parábola semicúbica y = x2/3 desde x = 1
hasta x = 8.
Solución Como dx/dy = 23 x
−1/3 es continua en el intervalo [1, 8] y x1/3 > 0, entonces la
longitud de arco de la curva dada es
L =
∫ 8
1
√
1 +
4
9
x−2/3dx =
∫ 8
1
√
9x2/3 + 4
9x2/3
dx
=
∫ 8
1
√
9x2/3 + 4
3x1/3
dx Sea u = 9x2/3 + 4; du = 6x−1/3dx
=
1
18
∫ 40
13
u1/2du =
1
27
u3/2
∣∣∣∣40
13
=
40
√
40 − 13
√
13
27
Ejemplo . Halle la longitud del arco de la curva y = x4 +
1
32x2
desde x = 1 hasta x = 2.
6
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dy
dx
= 4x3 − 1
16x3
. Luego,
1 +
(
dy
dx
)2
= 1 +
(
4x3 − 1
16x3
)2
= 1 +
(
4x3
)2
− 1
2
+
(
1
16x3
)2
=
(
4x3
)2
+
1
2
+
(
1
16x3
)2
=
(
4x3 +
1
16x3
)2
Entonces la longitud de arco de la curva dada es
L =
∫ 2
1
√(
4x3 +
1
16x3
)2
dx =
∫ 2
1
(
4x3 +
1
16x3
)
dx
=
(
x4 − 1
32x2
)∣∣∣∣2
1
= 16 − 1
128
−
(
1 − 1
32
)
= 15 +
3
128
Ejemplo . Halle la longitud del arco de la parábola semicúbica x = 2y3/2 desde y = 0
hasta y = 1.
Solución La derivada
dx
dy
= 2
(
3
2
)
y1/2 = 3y1/2
es continua en [0, 1]. Por consiguiente la longitud de la curva es
L =
∫ d
c
√
1 +
(
dx
dy
)2
dy =
∫ 1
0
√
1 + 9ydy
=
1
9
(
2
3
(1 + 9y)3/2
)]1
0
=
2
27
(10
√
10 − 1) ≈ 2,27
3.2. Función de la longitud de arco
Si una curva suave C tiene la ecuación y = f (x),a ≤ x ≤ b, sea s(x) la distancia a
lo largo de C del punto inicial P0(a, f (a)) al punto Q(x, f (x)). Entonces s es una función,
llamada función longitud de arco. Luego,
s(x) =
∫ x
a
√
1 + [ f ′(t)]2 dt
7
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La derivada de longitud de arco es
ds =
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
y esta ecuación se escribe a veces en la forma simétrica
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2
Ejemplo 4. Encuentre la función longitud de arco para la curva y = x2 − 18 ln(x) toman-
do a P0(1, 1) como el punto de partida.
Solución Si f (x) = x2 − 18 ln(x), entonces
f ′(x) = 2x − 1
8x[
f ′(x)
]2
=
(
2x − 1
8x
)2
= 4x2 +
1
64x2
− 1
2
1 +
[
f ′(x)
]2
= 1 +
(
4x2 +
1
64x2
− 1
2
)
= 4x2 +
1
64x2
+
1
2
=
(
2x +
1
8x
)2
√
1 + [ f ′(x)]2 =
√(
2x +
1
8x
)2
= 2x +
1
8x
Ası́, la función longitud de arco está dada por
s(x) =
∫ x
1
√
1 + [ f ′(t)]2 dt =
∫ x
1
(
2t +
1
8t
)
dt
=
[
t2 +
1
8
ln(t)
]∣∣∣∣x
1
=
[
x2 +
1
8
ln(x)
]
−
[
1 +
1
8
ln(1)
]
= x2 +
1
8
ln(x)− 1
Por ejemplo, la longitud de arco a lo largo de la curva de (1, 1) a (3, f (3)) es
s(3) = (3)2 +
1
8
ln(3)− 1 = 9 + 1
8
ln(3)− 1 = 8 + 1
8
ln(3) ≈ 8,1373
4. Sólidos con secciones transversales conocidas
Con el método de los discos, se puede encontrar el volumen de un sólido teniendo una
sección transversal circular cuya área es A = πr2. Este método puede generalizarse para
los sólidos cuyas secciones, que son arbitrarias, sean de área conocida. Algunas secciones
transversales comunes son cuadrados, rectángulos, triángulos, semicı́rculos y trapecios.
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1. Para secciones transversales de área A(x) perpendiculares al eje x
V =
∫ b
a
A(x) dx
2. Para secciones transversales de área A(y) perpendiculares al eje y
V =
∫ d
c
A(y) dy
Ejercicios [actividad de trabajo independiente]. Estudiar los ejemplos 7 al 9 del texto
guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed , páginas 436 a la 438.d
5. Volúmenes mediante cascarones cilı́ndricos (o capas cilı́ndri-
cas)
Algunos problemas relacionados con volúmenes son muy difı́ciles de manejar con los
métodos de las secciones anteriores. Por ejemplo, consideremos el problema de determi-
nar el volumen del sólido que se obtiene al hacer girar la región limitada por y = 2x2 − x3
y y = 0 alrededor del eje y.
Si cortamos en forma perpendicular al eje y, obtendremos una arandela. Pero para calcu-
lar los radios interior y exterior de la arandela, tenemos que resolver la ecuación cúbica
y = 2x2 − x3 para encontrar x en función de y, y esto no es fácil. Por fortuna, hay un sis-
tema llamado método de los cascarones cilı́ndricos, que es más fácil de usar en tal caso.
En la figura se ilustra un cascarón cilı́ndrico de radio interior r1, radio exterior r2 y altura
h.
9
https://wlh.es/v2/1690385539219/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385539219/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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 volumen V se calcula restando el volumen V1 del cilindro interior del volumen V2 que
corresponde al cilindro exterior. Para encontrar el volumen de un sólido de revolución
con el método de las capas, usar alguna de las fórmulas siguientes,
V = V2 − V1
= πr22h − πr21h = π
(
r22 − r21
)
h
= π (r2 + r1) (r2 − r1) h
= 2π
r2 + r1
2
h (r2 − r1)
Ahora, sea S el sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y a la región limitada
por y = f (x), donde f (x) ≥ 0, y y = 0, x = a y x = b
El volumen del sólido de la figura , que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y la
región bajo la curva y = f (x) desde a hasta b, es
V =
∫ b
a
2πx f (x) dx
Ejercicios [actividad de trabajo independiente]. Estudiar los ejemplos 1 al 4 del texto
guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed , páginas 443 y 444.
Resumen del método de los cascarones cilı́ndricos
Sin importar la posición del eje de rotación (horizontal o vertical), los pasos para poner
en práctica el método de los casquillos son:
10
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i) Dibujar la región y trazar un segmento de recta que la cruce en forma paralela al
eje de rotación. Etiquetar la altura o longitud del segmento (altura del cascaron) y la
distancia desde el eje de rotación (radio del cascaron).
ii) Determinar los lı́mites de integración para la variable del grosor.
iii) Integrar el producto (radio del casquillo)(altura del casquillo) respecto de la variable
del grosor (x o y) para determinar el volumen.
Observación . El método de los cascarones cilı́ndricos proporciona la misma respuesta
que el de las arandelas al calcular el volumen de una región. Ambas fórmulas para calcu-
lar el volumen en realidad son casos especiales de un método general para determinación
de volúmenes que se verá al estudiar las integrales dobles y triples en el curso de cálcu-
lo en varias variables. Dicha método nos permitirá calcular volúmenes de otros sólidos,
además de los que se obtienen al hacer girar una región.
Ejemplo . La región acotada por la curva y =
√
x, el eje x y la recta x = 4 se hace girar
alrededor del eje y para generar un sólido. Determine el volumen del sólido.
. Respuesta 128π5
Ejemplo . La región acotada por la curva y =
√
x, el eje x y la recta x = 4 se hace girar
alrededor del eje x para generar un sólido. Determine el volumen del sólido; para ello,
utilice el método de los cascarones.
Respuesta 8π
Ejemplo . Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región aco-
tada por
y = x − x3
y el eje x(0 ≤ x ≤ 1) alrededor del eje y.
Respuesta 4π15
Ejemplo . Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región aco-
tada por la gráfica de
x = e−y
2
y el eje y(0 ≤ y ≤ 1) alrededor del eje x.
Respuesta π
(
1 − 1e
)
≈ 1,986.
6. Fuerza y Trabajo
El concepto de trabajo se introduce para medir el efecto acumulado de una fuerza a]
mover un cuerpo de una posición a otra. En el caso más sencillo, una partı́cula se mueve
a lo largo de una linea recta por la acción de una fuerza constante. El trabajo realizado por
tal fuerza se define como el producto punto de la fuerza por la distancia durante la cual
actúa. Ası́, si la fuerza constante tiene magnitud F y la partı́cula se mueve a lo largo de la
distancia x, entonces el trabajo realizado por la fuerza está dado por
W = F · x
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Definición . [Trabajo] Sea f una función continua sobre un intervalo cerrado [a, b] y f (x)
unidades de la fuerza que actúa sobre un objeto en el punto x del eje x. Si W unidades es
el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se desplaza de a hasta b, entonces
W =
∫ b
a
f (x)dx
Ejemplo 1. Cuando una partı́cula se ubica a una distancia x pies del origen, una fuerza
de x2 + 2x libras actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla desde x = 1 hasta
x = 3?
Solución Sea f (x) = x2 + 2x. Luego el trabajo que se efectúa es
W =
∫ 3
1
(
x2 + 2x
)
dx =
[
1
3
x3 + x2
]∣∣∣∣3
1
=
[
1
3
(3)3 + (3)2
]
−
[
1
3
(1)3 + (1)2
]
= 18 − 4
3
=
50
3
Ası́, el trabajo realizado es 503 ≈ 16,66 pies-lb.
Definición . [ley de Hooke] la ley de Hooke establece que la fuerza requerida para man-
tener un resorte estirado x unidades más de su longitud natural es proporcional a x:
f (x) = kx
donde k es una constante positiva (que se denomina constante del resorte). La ley de
Hooke se cumple siempre que x no sea demasiado grande.
Ejemplo 2. Suponga que un resorte tiene una longitud natural de 1 pie y que se necesita
una fuerza de 10 libras para tenerlo comprimido a una longitud de 6 pulgadas ¿ Cuánto
trabajo se realiza al estirar el resorte desde su longitud natural hasta una longitud total
de 2 pies?
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x = 1 (estirado 1 pie), debemos ejercer una fuerza variable F(x) determinada por la ley
de Hooke.
Recordemos que
1 pie → 12 pulgadas
De modo que
0,5 pie → 6 pulgadas
Tenemos que
F = −10 (libras) cuando x = −0,5 (pies),
Luego,
F = kx ⇔ 10 = 0,5k ⇔ k = 10
0,5
= 20
Ası́, F(x) = 20x, y entonces tenemos que el trabajo realizado al estirar este resorte es
W =
∫ 1
0
20x dx =
[
10x2
]∣∣∣1
0
=
[
10(1)2
]
−
[
10(0)2
]
= 10
Por lo tanto, el trabajo realizado es de 10 libras · pies
Ejemplo 3. Se requiere una fuerza de 40 N para sostener un resorte que está estirado
desde su posición natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿ Cuánto trabajo se hace al
estirar el resorte de 15 a 18 cm?
Solución De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza que se requiere para mantener el
resorte estirado x metros más allá de su longitud natural es f (x) = kx. Cuando el resorte
se estira de 15 a 18 cm, la cantidad estirada es
15cm − 10cm = 5cm = 0,05m.
Esto quiere decir que
f (0,05) = 40
de modo que
f (x) = kx
k(0,05) = 40 ⇒ k = 40
0,05
= 800
Además,
18cm − 10cm = 8cm = 0,08m.
Ası́, f (x) = 800x y el trabajo realizado para estirar el resorte de 15 a 18 cm es
W =
∫ 0,08
0,05
(800x) dx =
[
400x2
]∣∣∣0,08
0,05
=
[
400(0,08)2
]
−
[
400(0,05)2
]
≈ 1,56
Por tanto, el trabajo realizado es aproximadamente 1,56 J.
13
https://wlh.es/v2/1690385539241/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385539241/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
Ejemplo 4. Un cable de 200 lb mide 100 pies de largo y cuelga verticalmente desde lo
alto de un edificio. ¿Cuánto trabajo se requiere para subir el cable hasta la parte superior
del edificio?
Solución En este caso no hay una fórmula para la función fuerza, pero podemos aplicar
un razonamiento similar al que originó la definición por medio de aproximación.
W =
∫ 100
0
2xdx =
[
x2
]∣∣∣100
0
=
[
(100)2
]
−
[
(0)2
]
= 10000
Por tanto, el trabajo realizado es 10000 pies-libras.
Ejemplo 5. Un depósito tiene la forma de un cono circular invertido de altura igual a 10
m y radio de la base de 4 m. Se llena con agua hasta alcanzar una altura de 8 m. Calcule
el trabajo que se requiere para vaciar el agua mediante bombeo por la parte superior del
depósito. (La densidad del agua es 1000 kg/m3.)
Solución Midamos profundidades desde la parte superior del recipiente introduciendo
una recta vertical de coordenadas.
6
El agua se extiende desde una profundidad de 2 m hasta una profundidad de 10 m y,
también, dividimos el intervalo [2, 10] en n subintervalos con extremos x0, x1, · · · , xn y
elegimos x∗i en el i-ésimo subintervalo. De este modo el agua se divide en n capas. La
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https://wlh.es/v2/1690385539244/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
i-ésima capa es aproximadamente un cilindro circular de radio ri y altura ∆x. Podemos
calcular ri a partir de triángulos semejantes.
ri
10 − x∗i
=
4
10
⇔ ri
10 − x∗i
=
2
5
⇔ ri =
2
5
(10 − x∗i )
Ası́, un volumen aproximado de la i-ésima capa de agua es
V = πr2i ∆x
= π
(
2
5
(10 − x∗i )
)2
∆x
=
4π
25
(10 − x∗i )
2 ∆x
de modo que su masa es densidad por volumen
mi = d × V
= 1000 · 4π
25
(10 − x∗i )
2 ∆x
= 160π (10 − x∗i )
2 ∆x
La fuerza necesaria para subir esta capa debe superar a la fuerza de gravedad, y de este
modo
Fi = mig
= 9, 8 · 160π (10 − x∗i )
2 ∆x
= 1568π (10 − x∗i )
2 ∆x
Cada partı́cula en la capa debe viajar una distancia de aproximadamente x∗i . El trabajo Wi
realizado para subir esta capa hasta lo alto del depósito es aproximadamente el producto
de la fuerza Fi por la distancia x∗i .
Wi = Fix∗i
= 1568πx∗i (10 − x∗i )
2 ∆x
Para encontrar el trabajo total en el vaciado del tanque, sumamos las contribuciones de
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https://wlh.es/v2/1690385539251/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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 una de las n capas y después tomamos el lı́mite cuando n → ∞
W =
n
∑
i=1
[
1568πx∗i (10 − x∗i )
2 ∆x
]
=
∫ 10
2
1568πx (10 − x)2 dx = 1568π
∫ 10
2
x
(
100 − 20x + x2
)
dx
= 1568π
∫ 10
2
(
100x − 20x2 + x3
)
dx = 1568π
[
50x2 − 20
3
x3 +
1
4
x4
]∣∣∣∣10
2
= 1568π
{[
50(10)2 − 20
3
(10)3 +
1
4
(10)4
]
−
[
50(2)2 − 20
3
(2)3 +
1
4
(2)4
]}
= 1568π
{[
5000 − 20000
3
+
10000
4
]
−
[
200 − 160
3
+
16
4
]}
= 1568π
{[
5000 − 20000
3
+ 2500
]
−
[
200 − 160
3
+ 4
]}
= 1568π
[
5000 − 20000
3
+ 2500 − 200 + 160
3
− 4
]
= 1568π
[
7500 − 204 − 20000
3
+
160
3
]
= 1568π
[
7296 − 19840
3
]
= 1568π
[
21888 − 19840
3
]
= 1568π
(
2048
3
)
≈ 3,4 × 106
Por tanto, el trabajo realizado es aproximadamente 3,4 × 106 J.
7. Valor promedio de una función
El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] como
fprom =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx
Ejemplo 1. Determine el valor promedio de la función f (x) = 1 + x2 sobre el intervalo
[−1, 2].
Solución Note que a = −1 y b = 2, entonces
fprom =
1
2 − (−1)
∫ 2
−1
1 + x2 dx =
1
3
(
x +
x3
3
)∣∣∣∣x=2
x=−1
= 2
Teorema [Teorema del valor medio para integrales]. Si f es continua sobre el intervalo
[a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal que
f (c) = fprom =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx
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https://wlh.es/v2/1690385539257/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
es decir, ∫ b
a
f (x) dx = f (c)(b − a)
Ejemplo 2. Puesto que f (x) = 1 + x2 es continua sobre el intervalo [−1, 2], el teorema
del valor medio para integrales establece que hay un número c en[−1, 2] tal que∫ 2
−1
(1 + x2) dx = f (c)[2 − (−1)]
En este caso particular podemos hallar c en forma explı́cita. Según el ejemplo 1, sabemos
que fprom = 2, de modo que el valor de c cumple con
f (c) = fprom = 2
Por lo tanto,
1 + c2 = 2 ⇔ c2 = 1
Por consiguiente, sucede en este caso que hay dos números c = ±1 en el intervalo [−1, 2]
que funcionan en el teorema del valor medio para integrales.
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https://wlh.es/v2/1690385539265/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385539265/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
8. Valor promedio de una función
El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] como
fprom =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx
Ejemplo 1. Determine el valor promedio de la función f (x) = 1 + x2 sobre el intervalo
[−1, 2].
Solución Note que a = −1 y b = 2, entonces
fprom =
1
2 − (−1)
∫ 2
−1
1 + x2 dx =
1
3
(
x +
x3
3
)∣∣∣∣x=2
x=−1
= 2
Teorema [Teorema del valor medio para integrales]. Si f es continua sobre el intervalo
[a, b], entonces existe un número c en [a, b] tal que
f (c) = fprom =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx
es decir, ∫ b
a
f (x) dx = f (c)(b − a)
Ejemplo 2. Puesto que f (x) = 1 + x2 es continua sobre el intervalo [−1, 2], el teorema
del valor medio para integrales establece que hay un número c en[−1, 2] tal que∫ 2
−1
(1 + x2) dx = f (c)[2 − (−1)]
En este caso particular podemos hallar c en forma explı́cita. Según el ejemplo 1, sabemos
que fprom = 2, de modo que el valor de c cumple con
f (c) = fprom = 2
Por lo tanto,
1 + c2 = 2 ⇔ c2 = 1
Por consiguiente, sucede en este caso que hay dos números c = ±1 en el intervalo [−1, 2]
que funcionan en el teorema del valor medio para integrales.
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https://wlh.es/v2/1690385539267/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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.1. Momentos y centros de masa
Nuestro principal objetivo aquı́ es hallar el punto P sobre el que una placa delgada
de cualquier forma se mantiene horizontal. El punto se llama centro de masa (o centro de
gravedad) de la placa.
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Referencias
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