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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA- Clase #19
Aplicaciones: Curvas Paramétricas
Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas
Definición 1. [Curva plana] Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I,
entonces a las ecuaciones
x = f (t) y y = g(t)
se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de pun-
tos (x, y) que se obtiene cuando t varı́a sobre el intervalo I se le llama la gráfica de las
ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que
se llamará una curva plana (o curva paramétrica), que se denota por C.
Ejemplo 1. Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas
x = t2 − 2t y y = t + 1.
Solución Cada valor de t da un punto sobre la curva, como se muestra en la tabla. Por
ejemplo, si t = 0, entonces x = 0, y = 1 y el punto correspondiente es (0, 1). Luego se
grafican los puntos (x, y) determinados por varios valores del parámetro y se unen para
producir una curva.
1
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Ahora, para ver que tipo de curva debemos trazar, procedemos a eliminar el parámetro t
como de la siguiente manera
y = t + 1 ⇔ t = y − 1
Luego, sustituimos
x = t2 − 2t = (y − 1)2 − 2(y − 1)
= y2 − 2y + 1 − 2y + 2
= y2 − 4y + 3
Por tanto la curva representada por las ecuaciones paramétricas dadas es la parábola
x = y2 − 4y + 3
Si restringimos al parámetro t al intervalo cerrado [0, 4], es decir,
x = t2 − 2t y y = t + 1 0 ≤ t ≤ 4.
la parábola empieza en el punto (0, 1) y termina en el punto (8, 5).
2
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Observación 1. En general, la curva con ecuaciones paramétricas
x = f (t) y y = g(t) a ≤ t ≤ b
tiene un punto inicial ( f (a), g(a)) y un punto terminal (o final) ( f (b), g(b)).
Ejemplo 2. Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
x = t2 − 4 y y = t
2
; −2 ≤ t ≤ 3.
Solución Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones
paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.
Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y
de g se obtiene la curva C.
Ahora, para ver que tipo de curva debemos trazar, procedemos a eliminar el paráme-
tro t como de la siguiente manera
y =
t
2
⇔ t = 2y
Luego, sustituimos
x = t2 − 2t = (2y)2 − 4 = 4y2 − 4
Por tanto la curva representada por las ecuaciones paramétricas dadas es la parábola
x = 4y2 − 4
3
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Observar que las flechas sobre la curva que indican su orientación conforme t aumenta
de −2 a 3.
Ejemplo 3. Dibujar la curva representada por las ecuaciones
x =
1√
t + 1
y y =
t
t + 1
; t > −1.
Solución Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo,
se puede despejar t de la primera ecuación.
x =
1√
t + 1
⇔ x2 = 1
t + 1
.
⇔ t + 1 = 1
x2
⇔ t = 1
x2
− 1
⇔ t = 1 − x
2
x2
Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene
y =
t
t + 1
=
1 − x2
x2
1 − x2
x2
+ 1
=
1 − x2
x2
1 − x2 + x2
x2
=
1 − x2
x2
1
x2
= 1 − x2
La ecuación rectangular, está definida para todos los valores de x. Sin embargo, en la
ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para t > −1 Esto implica
que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se ilustra
Ejemplo 4. ¿ Qué curva representan las siguientes ecuaciones paramétricas?
x = cos θ y y = sin θ; 0 ≤ θ ≤ 2π..
4
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Solución Si ubicamos los puntos, parece que la curva es una circunferencia, lo que pode-
mos confirmar eliminando t. Observe que
x2 + y2 = sin2 θ + cos2 θ = 1
Ası́, el punto (x, y) se mueve sobre la circunferencia x2 + y2 = 1. Observe que en este
ejemplo, el parámetro t puede interpretarse como el ángulo (en radianes). Cuando t se
incrementa de 0 a 2π, el punto (x, y) = (cos t, sin t) se mueve una vez alrededor de la
circunferencia en dirección contraria a las manecillas del reloj a partir del punto (1, 0).
Ejemplo 5. ¿ Qué curva representan las siguientes ecuaciones paramétricas?
x = 3 cos θ y y = 4 sin θ; 0 ≤ θ ≤ 2π..
Solución Para empezar se despejan cos θ y sin θ de las ecuaciones dadas.
cos θ =
x
3
y sin θ =
y
4
.
Luego,
cos2 θ =
x2
9
y sin2 θ =
y2
16
.
A continuación, se hace uso de la identidad
sin2 θ + cos2 θ = 1
para formar una ecuación en la que sólo aparezcan x y y
x2
9
+
y2
16
= sin2 θ + cos2 θ
x2
9
+
y2
16
= 1
En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en (0, 0)
con vértices en (0,−4) y (0, 4) y eje menor de longitud 2b = 6.
5
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Observe que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj ya
que θ va de 0 a 2π. .
Cálculo con curvas paramétricas
Tangente
Suponga que f y g son funciones derivables y queremos encontrar la recta tangente
en un punto sobre la curva donde y también es una función derivable de x. Entonces la
regla de la cadena da
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
Áreas
Sabemos que el área bajo una curva y = F(x) de a a b es
A =
∫ b
a
F(x)
donde F(x) ≥ 0. Si la curva se traza por medio de las ecuaciones paramétricas x = f (t)
y y = g(t), α ≤ t ≤ β, entonces podemos calcular una fórmula para el área utilizando la
regla de la sustitución para integrales definidas como sigue:
A =
∫ β
α
g(t) f ′(t) dt
Longitud de arco
Ya sabemos cómo encontrar la longitud L de una curva C dada en la forma y = F(x),
a ≤ x ≤ b. Si F(x) es continua, entonces
L =
∫ b
a
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx
6
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Teorema . Si una curva C se describe mediante las ecuaciones paramétricas x = f (t), y
y = g(t), α ≤ t ≤ β, donde f ′ y g′ son continuas sobre [α, β] y C es recorrida una sola vez
cuando t aumenta desde α hasta β, entonces la longitud de C es
L =
∫ β
α
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt
Ejercicios . para practicar
1. Resuelva los siguiente ejercicios teniendo en cuenta los siguiente
i) Bosqueje la curva usando las ecuaciones paramétricas para ubicar puntos. Indique
con una flecha la dirección en la cual se traza la curva cuando t aumenta.
ii) Elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva.
a) x = 3 − 4t y = 2 − 3t
b) x = 1 − 2t y = 12 t − 1; −2 ≤ t ≤ 4
c) x = 1 − t2 y = t − 2; −2 ≤ t ≤ 2
d) x = t − 1 y = t3 + 1; −2 ≤ t ≤ 2
2. Resuelva los siguiente ejercicios teniendo en cuenta los siguiente
i) Elimine el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de la curva.
ii) Bosqueje la curva e indique con una flecha la dirección en que se traza la curva
cuando crece el parámetro.
a) x = sin
(
1
2 θ
)
y = cos
(
1
2 θ
)
; −π ≤ θ ≤ π
b) x = 12 cos θ y = 2 sin θ; 0 ≤ θ ≤ π
c) x = e2t y = t + 1.
d) x =
√
t + 1 y =
√
t − 1
e) x = sinh t y = cosh t
f) x = tan2 θ y = sec θ; −π2 ≤ θ ≤
π
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