128 -Teorema_de_Maxwell_Betti

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Indice del capítulo 1
Teorema de 
Maxwell-Betti
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 2
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 3
Teorema de Maxwell-Betti
El Teorema de Maxwell-Betti describe la relación que tiene que existir entre los trabajos 
realizados por dos estados de carga actuantes sobre una misma estructura para que la energía 
de deformación sea independiente del orden de aplicación de estos estados
Indice del capítulo 4
Teorema de Maxwell-Betti
El Teorema de Maxwell-Betti describe la relación que tiene que existir entre los trabajos 
realizados por dos estados de carga actuantes sobre una misma estructura para que la energía 
de deformación sea independiente del orden de aplicación de estos estados
El Teorema se puede emplear para conocer flechas o desplazamientos en estructuras cargadas 
con un número importante de acciones manipulando convenientemente las acciones reales 
actuantes en el modelo. Su aplicación en la mayoría de los casos no conduce directamente a la 
solución, pero sí reduce considerablemente el número de operaciones que, mediante otros 
procedimientos, habría que realizar. Por esta razón este Teorema debe aplicarse en 
colaboración con otro procedimiento de cálculo
Indice del capítulo 5
Teorema de Maxwell-Betti
El Teorema de Maxwell-Betti describe la relación que tiene que existir entre los trabajos 
realizados por dos estados de carga actuantes sobre una misma estructura para que la energía 
de deformación sea independiente del orden de aplicación de estos estados
El Teorema se puede emplear para conocer flechas o desplazamientos en estructuras cargadas 
con un número importante de acciones manipulando convenientemente las acciones reales 
actuantes en el modelo. Su aplicación en la mayoría de los casos no conduce directamente a la 
solución, pero sí reduce considerablemente el número de operaciones que, mediante otros 
procedimientos, habría que realizar. Por esta razón este Teorema debe aplicarse en 
colaboración con otro procedimiento de cálculo
La exposición comienza con la definición del Teorema y su demostración. Posteriormente se 
muestran sus aplicaciones y unos ejemplos 
Indice del capítulo 6
Teorema de 
Maxwell-Betti
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 7
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 8
Definición
Indice del capítulo 9
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Indice del capítulo 10
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Indice del capítulo 11
AP
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Indice del capítulo 12
AP
= sistema A de acciones exteriores
AP
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Indice del capítulo 13
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
AP
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Indice del capítulo 14
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Indice del capítulo 15
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BPAB

Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
Indice del capítulo 16
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BPAB

Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
Indice del capítulo 17
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BPAB

BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
Indice del capítulo 18
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BPAB

BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 19
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
ABAP 
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
Si 
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 20
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
ABAP 
BABP 
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
Si y 
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 21
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
ABAP 
BABP 
Siempre se cumple:
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
Si y 
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 22
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
ABAP 
BABP 
ABAP  BABP =
Siempre se cumple:
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
Si y 
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 23
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
ABAP 
BABP 
ABAP  BABP =
Siempre se cumple:
Teorema de Maxwell
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
Si y 
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 24
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
ABAP 
BABP 
ABAP  BABP =
Siempre se cumple:
Teorema de Maxwell
Cuando
AP BP=
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
Si y 
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B porla aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 25
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
ABAP 
BABP 
ABAP  BABP =
Siempre se cumple:
Teorema de Maxwell
Cuando
AP BP= AB BA=
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
Si y 
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de B
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Indice del capítulo 26
AP
BP
= sistema A de acciones exteriores
= sistema B de acciones exteriores
AP
BP
= es el trabajo producido por las fuerzas de A
debido a las fuerzas de BABA
P 
BABP 
= es el trabajo producido por las fuerzas de B
debido a las fuerzas de A
ABAP  BABP =
Siempre se cumple:
Teorema de Maxwell
Cuando
AP BP= AB BA=
Teorema de Betti
AB
BA
Definición
Sea una estructura sometida simultáneamente a dos sistemas A y B de acciones exteriores:
AB
BA
= desplazamientos de las acciones de A por la aplicación 
de las acciones de B
= desplazamientos de las acciones de B por la aplicación 
de las acciones de A
Si y 
Indice del capítulo 27
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 28
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 29
Demostración
Indice del capítulo 30
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Demostración
Indice del capítulo 31
Demostración
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 32
Demostración
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 33
Demostración
1P
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 34
1PU
Demostración
1P
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 35
1PU
Demostración
1P
1P
1PU
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 36
1PU
Demostración
1P
1P 2P
1PU
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 37
1PU
 2P1PU 
Demostración
1P
1P 2P
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 38
1PU
 2P1PU 
Demostración
1P
1P 2P
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 39
1PU
 2P1PU 
Demostración
1P
1P 2P
2P
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 40
1PU
 2P1PU 
2PU
Demostración
1P
1P 2P
2P
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 41
1PU
 2P1PU 
2PU
Demostración
1P
1P 2P
2P
2P
2PU
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 42
1PU
 2P1PU 
2PU
Demostración
1P
1P 2P
2P
2P 1P
2PU
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 43
1PU
 2P1PU 
2PU
 1P2PU 
Demostración
1P
1P 2P
2P
2P 1P
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 44
1PU
 2P1PU 
2PU
 1P2PU 
=
Demostración
1P
1P 2P
2P
2P 1P
 2P1PU   1P2PU 
Variación en el orden de aplicación de las acciones en una estructura
La demostración se basa en que el orden de aplicación de las acciones no afecta al valor final de 
la energía de deformación
Indice del capítulo 45
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 46
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Demostración
Supongamos que se 
aplica un conjunto 
A de acciones 
exteriores sobre 
una estructura
Indice del capítulo 47
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 48
AP
Cargas estáticas
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 49
AP
AA
Cargas estáticas
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 50
AP
AA
Cargas estáticas
Demostración
El trabajo producido por 
estas acciones vale:
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 51
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 52
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
Demostración
Supongamos que en 
la posición de 
equilibrio se aplica 
otro conjunto B de 
acciones
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 53
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
AP
Cargas ctes
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 54
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
AP
BP
Cargas ctes
Cargas estáticas
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 55
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
AP
BP
AB
Cargas ctes
Cargas estáticas
Demostración
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 56
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 57
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
Demostración
AP
BP
AB
BBCargas ctes
Cargas estáticas
Ahora el trabajo realizado vale:
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 58
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 59
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
Este término es el trabajo de las 
acciones del sistema A al deformarse la 
estructura por las acciones del sistema B
(durante el desplazamiento, las acciones 
de A no cambian de valor)
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 60
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 61
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
Supongamos que se 
invierte el orden 
de aplicación de 
las acciones: se 
aplica primero el 
conjunto B de 
acciones
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 62
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 63
BP
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 64
BP
BB
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 65
BP
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El trabajo producido por 
estas acciones vale:
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 66
BP
2
P
U BBBB


Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 67
BP
2
P
U BBBB


Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
En la posición de 
equilibrio se aplica 
el conjunto A de 
acciones
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 68
BP
BP
2
P
U BBBB


Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Cargas ctes
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 69
BP
AP
BP
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Cargas ctes
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 70
BP
BP
AA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Cargas ctes
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 71
BP
BP
Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 72
BP
BP
Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Ahora el trabajo realizado vale:
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 73
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 74
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Este término es el trabajo de las 
acciones del sistema B al deformarse la 
estructura por las acciones del sistema A
(durante el desplazamiento las acciones 
de B no cambian de valor)
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 75
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 76
Deben ser 
iguales
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 77
Deben ser 
iguales
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 78
Deben ser 
iguales
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargasestáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 79
Deben ser 
iguales
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




ABAP 
BABP 
=
AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 80
Deben ser 
iguales
BP
BP
BAB
AAABBB
)AB( P
2
P
2
P
U 




Cargas ctes
AA
BA
2
P
U BBBB


Cargas estáticas
Cargas 
estáticas
AP
AA
2
P
U AAAA


Cargas estáticas
ABA
BBBAAA
)BA( P
2
P
2
P
U 




ABAP 
BABP 
=
AP
Demostración
AP
BP
AB
BB
Cargas ctes
Cargas estáticas
BB
Repetir la secuencia
El orden de 
aplicación de las 
acciones no 
afecta al valor 
final de la 
energía de 
deformación
Indice del capítulo 81
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 82
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Aplicaciones
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 83
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Aplicaciones
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 84
Desplazamiento en cualquier sección
Indice del capítulo 85
Desplazamiento en cualquier sección
Sea una 
estructura 
sometida a 
unas acciones. 
Se desea 
conocer el 
desplazamiento 
de alguna 
sección S
Indice del capítulo 86
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
S
Indice del capítulo 87
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
S
Indice del capítulo 88
AP
Cargas reales
?S
Desplazamiento en cualquier sección
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 89
AP
Cargas reales
?S
AP
?Sx
Desplazamiento en cualquier sección
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 90
AP
?Sx
AP
?Sy
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 91
AP
?Sx
AP
?Sy
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
Para calcular el 
desplazamiento horizontal, 
se supone que, además de 
las cargas reales, existe una 
acción puntual unitaria y 
horizontal en S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 92
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 93
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
En esta situación aplicamos 
el teorema de Maxwell-Betti 
suponiendo que el sistema B
es la carga unitaria. Así se 
obtiene el desplazamiento 
horizontal de S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 94
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
Sx1P  
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 95
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
Sx1P  
El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 96
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
Sx1P  
BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 97
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 98
AP
?Sx
AP
?Sy
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
Para calcular el 
desplazamiento vertical, se 
supone que, además de las 
cargas reales, existe una 
acción puntual unitaria y 
vertical en S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 99
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 100
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
En esta situación aplicamos 
el teorema de Maxwell-Betti 
suponiendo que el sistema B
es la carga unitaria. Así se 
obtiene el desplazamiento 
vertical de S
S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 101
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
Sy1P  
S
S
S
S
S
Indice del capítulo 102
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Cargaunitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Sy1P  
S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 103
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
Sy1P  
BSySy P,0 
El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 104
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
Sy1P  
BSySy P,0 
El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
BSySy P,0 
S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 105
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
Sy1P  
BSySy P,0 
El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
BSySy P,0 
2
Sy
2
SxS 
SS
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 106
AP
?Sx
AP
?Sy
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Desplazamiento en cualquier sección
AP
Cargas reales
?S
AP
1PB 
Carga 
unitaria 
imaginaria
Sx1P  
BSxSx P,0


BSxSx P,0


El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
Sy1P  
BSySy P,0 
El signo del desplazamiento 
indica si coincide o no con el 
sentido de la carga unitaria
Si 
Si 
BSySy P,0 
2
Sy
2
SxS 
Repetir la secuencia
S
S
S
S
S
Si la dirección 
del 
desplazamiento
es desconocida 
, el 
desplazamiento 
se determina 
calculando sus 
componentes 
horizontal y 
vertical
Indice del capítulo 107
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Aplicaciones
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 108
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Aplicaciones
Giro en 
cualquier 
sección
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 109
Giro en cualquier sección
Indice del capítulo 110
Giro en cualquier sección
Sea una 
estructura 
sometida a unas 
acciones. Se 
desea conocer el 
giro de alguna 
sección S
Indice del capítulo 111
AP
Giro en cualquier sección
Indice del capítulo 112
AP
?S
Giro en cualquier sección
S
Indice del capítulo 113
AP
?S
Giro en cualquier sección
S
Para calcular el giro en S, se 
supone que, además de las 
cargas reales, existe un 
momento puntual unitario en S
Indice del capítulo 114
AP
?S
Giro en cualquier sección
S
AP
Cargas reales
1mB 
Momento 
imaginario
Situación ficticia
Indice del capítulo 115
AP
?S
Giro en cualquier sección
S
AP
Cargas reales
1mB 
Momento 
imaginario
Situación ficticia
En esta situación aplicamos 
el teorema de Maxwell-Betti 
suponiendo que el sistema B
es el momento unitario. Así 
se obtiene el giro de S
Indice del capítulo 116
AP
?S
Sm 
Giro en cualquier sección
AP
Cargas reales
1mB 
Momento 
imaginario
Situación ficticia
Indice del capítulo 117
AP
?S
Sm 
Giro en cualquier sección
AP
Cargas reales
1mB 
Momento 
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si 
coincide o no con el sentido 
del momento unitario
Indice del capítulo 118
AP
?S
Sm 
mBm ,m0 
Giro en cualquier sección
AP
Cargas reales
1mB 
Momento 
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si 
coincide o no con el sentido 
del momento unitario
Si 
Indice del capítulo 119
AP
?S
Sm 
mBm ,m0  
mBm ,m0 
Giro en cualquier sección
AP
Cargas reales
1mB 
Momento 
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si 
coincide o no con el sentido 
del momento unitario
Si 
Si 
Indice del capítulo 120
AP
?S
Sm 
mBm ,m0  
mBm ,m0 
Giro en cualquier sección
AP
Cargas reales
1mB 
Momento 
imaginario
Situación ficticia
El signo del giro indica si 
coincide o no con el sentido 
del momento unitario
Si 
Si 
Repetir la secuencia
Indice del capítulo 121
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Aplicaciones
Giro en 
cualquier 
sección
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 122
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Definición
Demostración
Ejemplos
Aplicaciones
Giro en 
cualquier 
sección
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 123
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Ejemplo 1
Definición
Demostración
Ejemplos
Aplicaciones
Giro en 
cualquier 
sección
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 124
Ejemplo 1
Indice del capítulo 125
Ejemplo 1
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 126
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 127
?S
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 128
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
?S
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 129
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
?S
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 130
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 131
Sistema 1: las cargas reales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 132
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 133
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Trabajo del 
sistema 2 por las 
acciones del 
sistema 1 
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 134
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Trabajo del 
sistema 2 por las 
acciones del 
sistema 1 
Trabajo del 
sistema 1 por las 
acciones del 
sistema 2 
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 135
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 136
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Desplazamiento de 
la sección S
producido por las 
acciones reales 
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 137
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Acciones 
reales sobre la 
estructura
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 138
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Movimientos de la 
estructura en los 
lugares y direcciones 
de las acciones reales 
producidos por la carga 
imaginaria
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 139
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Movimientos de la 
estructura en los 
lugares y direcciones 
de las acciones reales 
producidos por la carga 
imaginaria
Para determinar los términos de esta 
igualdad puede actuarse de la siguiente 
manera:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 140
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Movimientos de la 
estructura en los 
lugares y direcciones 
de las acciones reales 
producidos por la carga 
imaginaria
Para determinar los términos de esta 
igualdad puede actuarse de la siguiente 
manera:
Representar la estructura en dos situaciones: una con 
el sistema 1 de cargas y otra con el sistema 2
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 141
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 142
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplirla 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 143
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 144
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Representar en ambas situaciones las secciones de 
la estructura donde existan acciones puntuales 
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 145
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
1
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 146
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
1
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 147
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
1
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 148
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
1
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 149
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
1
1
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 150
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
1
1 2
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 151
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
1
1 2
2
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 152
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Calcular los trabajos recíprocos de los dos 
sistemas e igualarlos entre sí
1
1
1 2
2
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 153
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido dondese desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
22221111S MPPM 
1
1
1 2
2
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 154
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
1
1
1 2
2
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
22221111S MPPM 
El valor de la flecha queda determinado con cuatro 
desplazamientos producidos por la carga imaginaria. 
Estos desplazamientos son más sencillos de calcular 
que el producido en S por las cargas reales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 155
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
22221111S MPPM 
2211 ,,, 
1
1
1 2
2
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 156
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
22221111S MPPM 
2211 ,,, 
1
1
1 2
2
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Pueden calcularse utilizando 
los métodos matemáticos
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 157
Sistema 1: las cargas reales
Como no existe ninguna acción sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que sobre la 
estructura actúan dos sistemas de carga:
Sistema 2: una carga puntual aplicada en el 
lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el desplazamiento
1
?S
22221111S MPPM 
2211 ,,, 
1
1
1 2
2
S
S1  =   iiii MP
Ejemplo 1
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo de la flecha en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Pueden calcularse utilizando 
los métodos matemáticos
Repetir la secuencia
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los sistemas no afecte el valor final 
de la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 158
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Ejemplo 1
Definición
Demostración
Ejemplos
Aplicaciones
Giro en 
cualquier 
sección
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 159
Desplazamiento 
en cualquier 
sección
Teorema de 
Maxwell-Betti
Ejemplo 1
Definición
Demostración
Ejemplos
Aplicaciones
Giro en 
cualquier 
sección
Ejemplo 2
Teorema de Maxwell-Betti
Indice del capítulo 160
Ejemplo 2
Indice del capítulo 161
Ejemplo 2
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 162
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Indice del capítulo 163
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
Indice del capítulo 164
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
Indice del capítulo 165
Sistema 1: las cargas reales
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Indice del capítulo 166
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Indice del capítulo 167
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Indice del capítulo 168
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 169
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Trabajo del 
sistema 2 por las 
acciones del 
sistema 1 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 170
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Trabajo del 
sistema 2 por las 
acciones del 
sistema 1 
Trabajo del 
sistema 1 por las 
acciones del 
sistema 2 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidadde trabajos:
Indice del capítulo 171
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 172
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Giro de la sección 
S producido por 
las acciones 
reales 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 173
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Acciones 
reales sobre la 
estructura
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 174
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Movimientos de la 
estructura en los 
lugares y direcciones 
de las acciones reales 
producidos por el 
momento imaginario
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 175
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Movimientos de la 
estructura en los 
lugares y direcciones 
de las acciones reales 
producidos por el 
momento imaginario
Para determinar los términos de esta 
igualdad, se puede actuar de la siguiente 
manera:
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 176
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Movimientos de la 
estructura en los 
lugares y direcciones 
de las acciones reales 
producidos por el 
momento imaginario
Representar la estructura en dos situaciones: una con 
el sistema 1 de cargas y otra con el sistema 2
Para determinar los términos de esta 
igualdad, se puede actuar de la siguiente 
manera:
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 177
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 178
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 179
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Representar en ambas situaciones las secciones 
donde existan acciones puntuales 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 180
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 181
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 182
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 183
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 184
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1
1
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 185
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 186
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Plantear los movimientos de las secciones donde 
actúan las acciones (dibujar las flechas hacia 
abajo y los giros a favor de las agujas del 
reloj)
Indice del capítulo 187
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
Calcular los trabajos recíprocos de los dos 
sistemas e igualarlos entre sí
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 188
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
22221111S MPPM 
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 189
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
22221111S MPPM 
El valor del giro queda determinado con cuatro 
movimientos producidos por el momento imaginario. Es 
más sencillo calcular estos desplazamientos que el 
producido en S por las cargas reales
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 190
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
2211 ,,, 
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
?S
1 sección S
S1 
22221111S MPPM 
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 191
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
2211 ,,, 
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Pueden calcularse utilizando 
los métodos matemáticos
?S
1 sección S
S1 
22221111S MPPM 
2
S
Como no existe ningún momento sobre S, se 
altera la realidad suponiendo que actúan dos 
sistemas de carga:
Aplicación del Teorema: para que el orden de 
aplicación de los dos sistemas no afecte el valor de 
la energía de deformación, se debe cumplir la 
siguiente reciprocidad de trabajos:
Indice del capítulo 192
Sistema 1: las cargas reales
Sistema 2: un momento puntual aplicado en 
el lugar y en el sentido donde se desea 
conocer el giro
2211 ,,, 
1
1
1 2
=   iiii MP
Ejemplo 2
1M 1
P
2P 2
M
1M 1
P
2P 2
M
1M 1P 2
P
2M
Calculo del giro en una sección de una viga biapoyada bajo acciones puntuales
Pueden calcularse utilizando 
los métodos matemáticos
?S
1 sección S
S1 
22221111S MPPM 
Repetir la secuencia
2
S
Como no existe ningún momento