100 - apuntes-N3 METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS

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Prof. Roberto Peña
METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS
Este método es el mas utilizado para la resolución de estructuras indeterminadas en el
campo de Ingeniería Civil, y abarca un grupo de métodos como son: el método de las
rotaciones, el método de Cross, el método de Las Juntas, el método de Kani, el método de
Rigidez, entre otros. En estos métodos se aplican las denominadas Ecuaciones de Rotación
que veremos más adelante.
las incógnitas son fuerzas. En general se aplica el método de superposición
descomponiendo el sistema original en la suma de dos sistemas como se indica a
continuación:
*

*
+
FE
SISTEMA ORIGINAL SISTEMA PRIMARIO SISTEMA
Con desplazamientos Sistema Inmovilizado COMPLEMENTARIO
En las Juntas: Con Elementos de Sujeción Con cargas Equivalentes F
 D En las Juntas que y desplazamientos de
Definen  EF las juntas iguales al
original D
Donde:
 
* Sistema de cargas actuantes
FE Fuerzas de Empotramientos lineales y momentos (ME)
F Fuerzas Equivalentes iguales y de sentido contrario a las de
empotramiento = -FE
S.C.G. Es el sistema de coordenadas globales seleccionado
para toda la estructura.
F
S.C.G
Los Sistemas primario y complementario tienen las mismas dimensiones y características
físicas que el original
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ECUACIONES DE ROTACIÓN PARA UN MIEMBRO DE UNA ESTRUCTURA.
Para esto se selecciona un miembro cualquiera, que antes de aplicar a la
estructura un sistema de cargas estará en una posición inicial y después de
aplicar este sistema de cargas pasa a una posición deformada como se indica
en la siguiente figura, donde se señalan las deformaciones finales denominadas
por θi, rotación en el extremo i, θj, rotación en el extremo j y  i j, rotación del
miembro como si fuera cuerpo rígido:
Mi j y Mj i Son los momentos definitivos o finales en los extremos i y j
respectivamente, debido al sistema de cargas.
En estas figuras S.C.L. significa sistema de coordenadas locales, que
están referidas con relación al miembro considerado, en el que la dirección x
coincide con la del eje del miembro antes de aplicar las cargas y la dirección oy es
perpendicular a ox. De acuerdo al principio de las deformaciones pequeñas, se
aplica que: la longitud del miembro no cambia y los ángulos por lo tanto coinciden
con el seno o la tangente del mismo, esto es:
 xi S.E. (Solicitaciones externas cualesquiera) 
 
 Δ y θi θj j Posición deformada del miembro 
 y i  i j después de aplicar las cargas. 
 S.C.L. yi Li j=L(Longitud del miembro) 
o x i j Posición inicial del elemento o miembro. 
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 i j = (yj -yi )/L = Δ y / L. = Giro del miembro como si fuera cuerpo rígido .........
Esta será igual por el principio de superposición, a un miembro de una
estructura totalmente inmovilizada en las juntas, con las cargas existentes o reales
más el de una estructura con los desplazamientos en las juntas iguales al original
o real:
θi θi M’j i
+ Δy
MEi j MEj I M’i j  i j
Sistemas equivalentes al real por superposición.
El Segundo sistema de la figura anterior será igual a resolver el siguiente:
i = jii 
M’i j jijj   M’j i
y este a su vez será igual por superposición a la suma de estos los dos
subsistemas
siguientes:
di i d j j
M’i j + M’j i
1 dj i dj j 1
Sistema (i) Sistema (j)
(Momento unitario en el extremo i) (Momento unitario en el extremo j)
Para completar la igualdad del sistema real con los dos subsistemas debe
cumplirse además con las ecuaciones de compatibilidad o deformaciones
consistentes siguientes:
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i = M’i j di, i + M’j i di, j
j = M’i j dj,i + M’j i dj,j
Donde di. j = dj.,i por ser el material lineal y elástico, según la Ley de Maxwell
o de Maxwell-Betti de las deformaciones recíprocas, que establece la igualdad de
las deformaciones recíprocas. Podemos definir como un factor de flexibilidad
genérico, di j (O también fi,j) , en la cual i y j son dos direcciones de
desplazamientos lineales o angulares genéricas cualesquiera en una estructura o
miembro, a un desplazamiento en la dirección j producido por una fuerza
unitaria en la dirección i. Estos factores se determinan por el principio de las
fuerzas virtuales o trabajo virtual complementario, resolviendo los sistemas (i)
y (j)
Ahora bien sumándoles a los términos de momentos M’i j y M’j i los
Momentos de empotramiento respectivos para miembros de sección constante
y que solo se tomen en cuenta los efectos de flexión se obtienen reordenando
términos las expresiones de los momentos definitivos llamadas ecuaciones de
rotación:
M i j = MEi j + 4EKO  i + 2EKO  j - 6EKO  i j
M j i = MEj i + 4EKO  j + 2EKO  i - 6EKO  i j
De tal manera que si se conoce el momento en alguno de los dos extremos
por ser articulado o cualquier otra razón, por ejemplo si se conoce el Mj i , se
despeja θj o Ekoθj y se introduce en la otra ecuación. De igual manera que si se
conoce el Mi j se despeja la rotación θI o EKoθi y se introduce en la otra, es decir:
M i j = MEi j+(Mj i - MEj I )1/2 +3EKO(i -  i j) Para Mj I conocido
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M j i = MEj i+(Mi j - MEi j )1/2 +3EKO(i -  i j) Para Mi j conocido
Para miembros de sección variable e introduciendo las llamadas
constantes elásticas Ci, Cj y C, las ecuaciones de rotación quedan como:
M i j = MEi j + EKO Ci  i + EKO C  j - EKO (Ci + C)  i j
M j i = MEj i + EKO Cj  j + EKO C  i - EKO (Cj + C) i j
De tal manera que si se conoce el momento en alguno de los dos extremos
por ser articulado o cualquier otra razón se despejan EK0θ :
EKo θj = (1/Cj)(Mj i - MEj I) – Eko(θi C/Cj -  i j (Cj + C)/Cj)
EKo θi = (1/Ci)(Mji j - MEji j) – Eko(θi C/Ci +  i j (Ci + C)/Ci) y resulta:
M i j=MEi j+(C/Cj)(Mj i - MEj I )+EKO(i-  i j)(Cj2-C2)/Cj
M j i=MEj i+(C/Ci)(Mj i - MEj I )+EKO(i-  i j)(Ci2-C2)/Ci
En estas expresiones K0 es el valor de rigidez usado como referencia
para calcular las constantes elásticas.
Las constantes elásticas toman los valores de: Ci = Cj = 4 y C = 2, para
miembros de eje recto
Un método clásico es el METODO DE LAS ROTACIONES que consiste en
resolver simultáneamente las ecuaciones de rotación para todos los
elementos de la estructura mas las expresiones del trabajo virtual para la
imagen cinemática de la estructura, dando una rotación arbitraria y
aplicando el trabajo virtual total que es la suma de todos los trabajos de las
fuerzas aplicadas igualándolo a cero- IMAGEN CINEMATICA ES LA MISMA
ESTRUCTURA COLOCANDO RÓTULAS EN TODOS LOS NODOS Y APOYOS,
obteniéndose un mecanismo.
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Por Ejemplo:
α
α
L
L/2
P
Expresión del trabajo virtual:
-MEABα + MBAα – MCDα - MEDCα +PαL/2 = 0 De donde
Se elimina el α por factor común y queda una ecuación que
relaciona las fuerzas.
MBA
MCD
MEAB
MEDC
P
A
B C
D
Hay 6 momentos en los extremos de los miembros incógnitas, Y los
desplazamientos desconocidos giro en las juntas b y c, y la rotación como cuerpo
rígido de AB Y CD que son iguales al despreciarse los efectos de la fuer4za axial,
es decir son 9 incógnitas, para lo cual se tiene seis ecuaciones de rotacion, dos
ecuaciones de equilibrio en juntas B y C y la expresión del trabajo virtual,
quedando un sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas