Cicloide

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Cicloide 
 
Una cicloide es una curva generada por un punto 
perteneciente a una circunferencia generatriz al rodar sobre 
una línea recta directriz, sin deslizarse. 
 
 
 
Tipos de cicloide 
 
Dependiendo de donde se encuentra P respecto de la circunferencia generatriz, se denomina: 
cicloide acortada, si P se encuentra dentro de la circunferencia generatriz, (b < a), cicloide 
común, si P pertenece a la circunferencia generatriz, (a = b), cicloide alargada, si P está fuera 
de la circunferencia generatriz, (b > a). 
 
Donde la circunferencia tiene radio a, y la distancia del centro al punto P es b. 
 
 
 
Usos 
 
En el diseño de los dientes de los engranajes se han empleado tradicionalmente curvas 
cicloides (así lo propuso Gérard Desargues en el año 1630) hasta principios del siglo XX. En la 
actualidad solo se utilizan en mecanismos de relojería, puesto que generalmente se prefiere la 
evolvente del círculo. En Física se puede ver que un péndulo que tenga por límites una curva 
cicloide es isócrono y el centro de gravedad del péndulo describe a su vez una cicloide. 
 
Un uso practico es el diseño de ciertos toboganes. Los hechos con forma de cicloide se 
utilizaron en la industria aeronaútica, pues se requería una forma apropiada de salir 
deslizándose desde un avión en caso de emergencia. 
 
Elipsoide 
 
 Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres 
secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son 
originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. 
En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en 
tres dimensiones. 
Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante 
una transformación homológica, en la dirección de sus tres 
diámetros ortogonales. 
 
 
Paraboloide 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Generatriz
http://es.wikipedia.org/wiki/Recta
http://es.wikipedia.org/wiki/Directriz
http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje
http://es.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9rard_Desargues
http://es.wikipedia.org/wiki/1630
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica
http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Is%C3%B3crono&action=edit&redlink=1
http://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonal
http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas
http://es.wikipedia.org/wiki/Cu%C3%A1drica
http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse
http://es.wikipedia.org/wiki/Esfera
http://es.wikipedia.org/wiki/Homolog%C3%ADa_%28geometr%C3%ADa%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metro
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cycloid_animated.gif?uselang=es
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ellipsoide.png?uselang=es
 En la Geometría analítica, un paraboloide es una cuádrica, un tipo de 
superficie tridimensional, que se describe mediante las siguientes 
ecuaciones: 
 
Paraboloide hiperbólico 
 
 
. 
 
 
Al paraboloide hiperbólico también se lo denomina silla de montar por su gráfica. Tiene la 
peculiaridad de contener rectas en su superficie. 
 
 Paraboloide elíptico Paraboloide de revolución 
 
. 
Un paraboloide hiperbólico es una superficie doblemente reglada por lo que se puede 
construir a partir de rectas. 
 
 
Cuando a = b, el paraboloide elíptico es un paraboloide de revolución: una superficie obtenida 
al girar una parábola respecto de su eje. 
 
Es la forma que tienen las llamadas antenas parabólicas, entre otros objetos de uso cotidiano. 
Además tienen la propiedad de reflejar ( en caso tenga una superficie reflactante ) la luz hacia 
un punto 
 
Hiperboloide 
 
El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola 
alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide 
puede ser de una o dos hojas. 
 
Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya 
ecuación es 
, 
en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente). 
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica
http://es.wikipedia.org/wiki/Cu%C3%A1drica
http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29
http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ParaboloidOfRevolution.png?uselang=es
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperbolic-paraboloid.svg?uselang=es
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HyperbolicParaboloid.png?uselang=es
 
La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que 
la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de 
dos hojas. 
 
 
Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios aplicativos 
 
Graficar 
𝑥2
16
 + 
𝑦2
25
 + 
𝑧2
9
= 1 
𝑥2
𝑎2
 + 
𝑦2
𝑏2
 + 
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
𝑥2
16
 + 
𝑦2
25
 + 
𝑧2
9
 z= 0 
 
𝑥2
16
 + 
𝑦2
25
 
 
 
a= 4 
b=5 
 
 
 
𝑥2
16
 + 
𝑦2
25
 + 
𝑧2
9
 y= 0 
 
𝑥2
16
 + 
𝑧2
9
 
 
 
a= 4 
c=3 
 
 
𝑥2
16
 + 
𝑦2
25
 + 
𝑧2
9
 x= 0 
 
𝑦2
25
 + 
𝑧2
9
 
 
b= 5 
c= 3 
http://es.wikipedia.org/wiki/Conexidad
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hyperb1N.png?uselang=es
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HyperboloidOfTwoSheets.png?uselang=es
 
Graficar 
𝑥2
4
 + 
𝑦2
9
 - 
𝑧2
16
= 1 
 
𝑥2
4
 + 
𝑦2
9
 - 
𝑧2
16
 z= 0 
 
𝑥2
4
 + 
𝑦2
9
 
 
 
a= 2 
b=3 
 
 
 
𝑥2
4
 + 
𝑦2
9
 - 
𝑧2
16
 y= 0 
 
𝑥2
4
 - 
𝑧2
16
 
 
 
a= 2 
c=4 
 
 
 
 
 
 
𝑥2
4
 + 
𝑦2
9
 - 
𝑧2
16
 x= 0 
 
𝑦2
9
 - 
𝑧2
16
 
 
b= 3 
c= 4