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2008II
Sebastian Sanchez Guerrero
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UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA PRACTICA Nº 1 Viernes 29 de agosto de 2008 Hora: 3:00 P.M. Duración: 2 h. NOMBRE:................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA 1. Encuentre las soluciones generales de los sistemas cuyas matrices aumentadas son: a) 684 9126 342 b) 000000 451000 130010 370021 (2 puntos c/u) 2. Calcule los valores de “a” tales que el sistema cuya matriz aumentada se indica tenga (i) exactamente una solución, (ii) infinitas soluciones y (iii) ninguna solución. a) 86 432 a b) aa 821 4131 3121 2 (2 puntos c/u) 3. Un estudiante que viajó a Europa gastó $30 al día por hospedaje en Inglaterra, $20 al día en Francia y $20 al día en España. En cuanto a alimentación, el estudiante gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Además por conceptos varios el estudiante gastó $10 diarios en cada uno de los países mencionados. A su regreso, el registro de gastos del viajero indicaba un total de $340 por hospedaje, $320 por alimentación y $140 por gastos varios. Se pide: a. Registrar los datos en forma de tabla. (1 punto) b. Aplicando el método de Gauss, calcular el número de días que el estudiante estuvo en cada país, o bien indicar el registro que es incorrecto, si las cantidades gastadas son incompatibles unas con otras. (3 puntos) 4. Determine el(los) valor(es) de h para el(los) cual(es) el vector b puede generarse como una combinación lineal de los vectores formados por las columnas de A: 072 141 351 A , h b 3 4 (4 puntos) 5. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. a. Toda operación elemental de fila es reversible. b. Si una fila en una forma escalonada de una matriz aumentada es 05000 , entonces el sistema lineal asociado es incompatible. c. Si una matriz 3 x 5 es la matriz de coeficientes para un sistema lineal y tiene sólo tres columnas pivote, entonces el sistema es incompatible. d. Los pesos pccc ,...,, 21 en una combinación lineal pp vcvcvc ...2211 no pueden ser todos ceros. Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA PRACTICA Nº 2 Viernes 12 de setiembre de 2008 Hora: 3:00 P.M. Duración: 2 h. NOMBRE:................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA 1. Determine todos los valores de “x” para que: a) 31 0 , 1 0 1 , 0 1 1 R x Gen (2 puntos) b) El conjunto x xx 2 , 1 sea linealmente dependiente (2 puntos) 2. En el siguiente ejercicio use tantas columnas de la matriz A como sea posible para construir una matriz B con la propiedad que la ecuación 0xB tenga sólo la solución trivial. Resuelva 0xB para comprobar su trabajo. 0331 5962 2331 A (4 puntos) 3. Una caja de cereal para el desayuno normalmente indica el número de calorías y las cantidades de proteínas, carbohidratos y grasas contenidas en una porción de cereal. A continuación se muestran las cantidades para dos cereales. Información nutricional por porción Calorías Proteínas (g) Carbohidratos (g) Grasas (g) Cereal A 110 4 20 2 Cereal B 130 3 18 5 Suponga que se tiene que preparar una mezcla de estos dos cereales que contenga exactamente 310 calorías, 13 g de proteínas, 62 g de carbohidratos y 3 g de grasa. a. Escriba una ecuación vectorial para este problema. Incluya un enunciado que explique qué representa cada variable de la ecuación. (1 punto) b. Escriba una ecuación matricial equivalente y luego determine si la mezcla deseada de los cereales se puede preparar. (3 puntos) 4. Una compañía de renta de automóviles tiene una flota de 500 automóviles en tres sucursales. Un auto alquilado en una sucursal puede devolverse en cualquiera de las tres. En la tabla que sigue se muestran las distintas proporciones de autos devueltos en cada sucursal. Si un día lunes hay 300 autos en el aeropuerto (o alquilados desde allí), 100 autos en la oficina del este y 100 autos en la oficina del oeste, represente en forma matricial el sistema dinámico que modela la distribución de los autos en las tres sucursales, es decir, una ecuación de la forma kk xAx 1 que describa los cambios con el paso del tiempo. Use esta ecuación para determinar cuál sería la distribución de autos el día miércoles. Autos alquilados en: Aeropuerto Este Oeste Autos devueltos a: 0.90 0.10 0.20 Aeropuerto 0.00 0.80 0.10 Este 0.10 0.10 0.70 Oeste (4 puntos) 5. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. e. Si ninguno de los tres vectores en 3R del conjunto 321 ,, vvvS es un múltiplo de alguno de los otros vectores, entonces S es linealmente independiente. f. Si la ecuación bxA es incompatible, entonces b no está en el conjunto generado por las columnas de A . g. La ecuación 0xA tiene sólo la solución trivial si los vectores columnas de A son linealmente dependientes. h. Si A es m x n y la ecuación bxA es compatible para toda b en mR , entonces A debe tener m columnas pivote. Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA PRACTICA Nº 3 Viernes 26 de setiembre de 2008 Hora: 3:00 P.M. Duración: 2 h. NOMBRE:................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA 1. Un fabricante hace tres modelos de equipos (a, b y c) cada uno de los cuales usa diversos materiales (tornillos, grapas y abrazaderas) en las cantidades que se indican en la siguiente tabla: tornillos grapas abrazaderas Modelo a 6 2 2 Modelo b 3 1 0 Modelo c 4 5 1 La predicción de producción de estos tres modelos en los meses de noviembre y diciembre viene dada por la siguiente tabla: Modelo a Modelo b Modelo c noviembre 6 3 1 diciembre 8 5 4 Definir adecuadamente dos matrices A y B de manera que la matriz AB contenga la cantidad de cada material (tornillos, grapas, abrazaderas) que se va a necesitar en los meses de noviembre y diciembre. (4 puntos) 2. Si denotamos las columnas de la matriz identidad nI por neee ,...,, 21 . Entonces la reducción por filas de IA a 1AI podemos verla como la solución simultánea de los n sistemas: 1exA , 2exA , … , nexA Si 431 652 751 A . Encuentre la tercera columna de 1A sin calcular las otras columnas. (4 puntos) 3. Sean 521 1142 831 A y 43 51 53 B . Calcule BA 1 sin calcular 1A . (Sugerencia: BA 1 es la solución de la ecuación BAX ) (4 puntos) 4. Sean 321 ,, ccc escalares distintos de cero. Exprese A como el producto de matrices elementales. 00 00 00 3 2 1 c c c A (4 puntos) 5.Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. i. Multiplicando por la izquierda una matriz B por una matriz diagonal A se escalan las filas de B. j. Si AB = I, entonces A es invertible. k. Toda matriz elemental es invertible. l. Si A es una matriz 3x3 con tres posiciones pivote, existen matrices elementales E1,…,Ek tales que Ek…E1A = I. Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA PRIMER EXAMEN Viernes 10 de octubre de 2008 Hora: 2:00 P.M. Duración: 3 h NOMBRE:................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, NI CALCULADORA, CON CUADERNILLO EXTRA 1. Califique cada afirmación como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. a. Si A es m x n y la ecuación bxA es compatible para toda b , entonces A debe tener n columnas pivote. b. Si los vectores columna de una matriz A m x n generan mR entonces dichos vectores son linealmente independientes. c. Toda matriz invertible se puede expresar como el producto de matrices elementales. d. El sistema homogéneo cuadrado 0xA tiene soluciones no triviales si y solo si 0det A . Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) 2. Determine las posibilidades de solución del siguiente sistema (si hay o no solución; si hay una o infinitas soluciones) de acuerdo al valor de “m”. Resolverlo para el caso en que el sistema es compatible indeterminado. 4 12 1 3 52 6 1 1 2 1 1 0 0 1 0 1 1 1 2 m mm tz m m yx (4 puntos) 3. Sea A una matriz de orden 3x3 definida de la siguiente forma: jisib jisia aij Hallar a y b para que A sea idempotente ( IA 2 ) (4 puntos) 4. Usando las propiedades del determinante demostrar la siguiente igualdad: 22 1111 1111 1111 1111 zx z z x x (3 puntos) 5. Un aspecto importante del estudio de la transferencia de calor es determinar la distribución de temperaturas de estado no estacionario en una barra para la cual las temperaturas en los puntos 41,..., pp de la barra cambian con el tiempo. 4321 pppp La matriz de banda A que se muestra enseguida puede servir para calcular esa conducción de calor. )1( )1( )1( )1( CC CCC CCC CC A Las entradas faltantes de A son cero. Las entradas diferentes de cero de A quedan dentro de una banda a lo largo de la diagonal principal. Tales matrices de banda se dan en diversas aplicaciones y a menudo son extremadamente grandes (con miles de filas y columnas pero con bandas relativamente angostas) La constante C de la matriz depende de la naturaleza física de la barra, de la distancia entre los puntos de la barra y del tiempo entre mediciones sucesivas de temperatura. Suponga que para ,...2,1,0k , el vector kt lista las temperaturas en el tiempo tk . Si ambos extremos de la barra se mantienen a 0º entonces los vectores de temperatura satisfacen la ecuación: kk ttA 1 para ...,2,1,0k a. Encuentre la factorización LU de A cuando 1C . Una matriz como A con tres diagonales diferentes de cero se llama matriz tridiagonal. Los factores L y U son matrices bidiagonales. b. Suponga que 1C y 0,1,1,00 t . Use la factorización LU de A para encontrar 1t , 2t y 3t . (5 puntos) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA PRACTICA Nº 4 Viernes 24 de octubre de 2008 Hora: 3:00 P.M. Duración: 2 h. NOMBRE:................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA 1. Sean 541 213 A y fe dc ba B . Hallar AB utilizando una partición para la matriz A de la siguiente forma: 131211 AAAA . (2 puntos) 2. Sea C B A 0 0 , donde B y C son matrices cuadradas. Demuestre que A es invertible si y solo si tanto B como C son invertibles. (2 puntos) 3. Dados los siguientes subconjuntos del espacio vectorial 3R , probar si son subespacios. Para aquellos que sean subespacios dar una interpretación geométrica (analizar si es una recta, un plano o un punto). a. zyzyxzyxS 3/),,( (2 puntos) b. 4/),,( zyxzyxS (2 puntos) c. Rbaba b a S ,,3, (2 puntos) 4. Hallar Ra para que se cumpla: a. ),4,1(),3,1,1()1,3,2(),2,0,1(),1,1,0( 21 aGenWGenW (2 puntos) b. 2dim U , siendo )3,1,0(),1,2,1(),0,1,3( aaaS un conjunto generador de U. (2 puntos) c. ),1,1(),,0,1(),0,1,( aaaaB sea un conjunto linealmente independiente y genere 3R . (2 puntos) 5. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. m. 2R es un subespacio de 3R porque puede generarse a partir de dos vectores linealmente independientes de 3R . n. Si 1v y 2v son vectores en un espacio vectorial V, entonces 21,vvGen es un subespacio de V. o. Si 321 ,, vvv es un conjunto linealmente independiente entonces 313221 ,, vvvvvv es linealmente independiente. p. Sean pvv ,...,1 vectores en un espacio vectorial V y pvvS ,...,1 . Si dimV = p y VGenS , entonces S no puede ser linealmente dependiente. Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA PRACTICA Nº 5 Viernes 7 de noviembre de 2008 Hora: 3:00 P.M. Duración: 2 h. NOMBRE:................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA 1. Sean: 3 2 2 1v , 8 6 4 2v , 2 3 2 3v , 3 1 4 4v , 0 0 0 5v , 0 2 1 6v q. Si 4321 ,,, vvvvGenH , encuentre la dimensión y una base para H. (2 puntos) r. Si 4321 vvvvA , encuentre la dimensión y una base para el espacio nulo de la matriz A. (2 puntos) s. Determine si 5v está en el espacio nulo de la matriz A. (1 punto) t. Determine si 6v está en H. (1 punto) 2. Sean: 164 053 121 P , 3 2 2 1v , 2 5 8 2v , 6 2 7 3v a. Encuentre una base 321 ,, uuu para 3R tal que P sea la matriz de cambio de coordenadas de 321 ,, uuu a la base 321 ,, vvv . Sugerencia: ¿Qué representan las columnas de P? (3 puntos) b. Encuentre una base 321 ,, www para 3R tal que P sea la matriz de cambio de coordenadas de 321 ,, vvv a la base 321 ,, www . (2 puntos) 3. En )(2 xP , encuentre la matriz de cambio de coordenadas de la base 222 32,453,21 xxxxxxB a la base canónica 2,,1 xxC . Después encuentre el vector B coordenadas para x21 . (2.5 puntos) 4. Sea 2,2MV el conjunto de todas las matrices de la forma ac ba . Demuestre que: 01 00 , 00 10 , 10 01 B es una base de V. (2.5 puntos) 5. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. a. Una base es un conjunto linealmente independiente lo más grande posible. b. El conjunto solución de 0xA es un subespacio lineal. c. Si B es cualquier forma escalonada de A, entonces las columnas pivote de B forman una base para el espacio columnas de A. d. Si x está en un espacio vectorial V, si es una base para V y contiene n vectores, entonces el vector – coordenadas de x está en nR . Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA PRACTICA Nº 6 Viernes 21 de noviembre de 2008 Hora: 3:00 P.M. Duración: 2 h. NOMBRE:................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, NI CUADERNILLO EXTRA 1. Encuentre la matriz canónica pata la transformación lineal 22: RRT que primero gira puntos contra el sentido de giro de las manecillas del reloj hacia un ángulo de 45º y luego refleja puntos sobre el eje 2x . (4 puntos) 2. Dada la transformación lineal 32: RRT que produce los siguientes resultados: 1 2 3 5 4 1 0 1 3 2 u. Determinar la matriz canónica de la transformación. (2 puntos) v. Hallar su núcleo (2 puntos) w. Hallar su rango. (1 punto) x. Indicar si T es suprayectiva y si T es inyectiva (1 punto) 3. Encuentre la matriz M de la transformación xAxT : relativa a la base 21 , bbB cuando: 14 13 A ; 1 2 1b ; 2 1 2b ; Nota: BB xMxT )( (3 puntos) 4. Reconstruir una base ortogonal por el procedimiento de Gram-Schmidt, a partir de la base B proporcionada B = 3 2 1 , 1 2 1 , 1 1 1 (3 puntos) 5. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. e. En toda transformación matricial, la imagen de una combinación lineal de vectores pvvv ...,,, 21 es la misma combinación lineal de las imágenes de dichos vectores. f. Si una transformación lineal mn RRT : es inyectiva entonces n no puede ser mayor que m. g. Si A es una matriz 5 x 4, la transformación lineal xAxT no puede ser suprayectiva. h. Sea 43: RRT una transformación lineal. Si se cumple que 21 , vTvT es un conjunto linealmente independiente, siendo 1v y 2v vectores de 3R , entonces 21, vv es linealmente independiente. Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA SEGUNDO EXAMEN Viernes 5 de diciembre de 2008 Hora: 2:00 P.M. Duración: 3 h NOMBRE:........................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, CON CUADERNILLO EXTRA 2. Dada la transformación lineal de “trasquilado vertical” 22: RRT que transforma el vector 1e en 21 2ee pero no modifica el vector 2e . a. Encuentre la matriz canónica. (1 punto) b. Encuentre la matriz M de la transformación relativa a la base )1,1(,)1,1( B . Nota: BB xMxT )( . (1.5 puntos) c. Diga si la transformación es o no inyectiva y si es o no suprayectiva. Justifique. (0.5 puntos) d. Hallar el núcleo y el rango de la transformación. (1 punto) 3. Dada la siguiente matriz A y el vector b : 511 016 151 104 A , 0 0 0 9 b i. Encuentre la proyección ortogonal de b sobre el espacio de columnas de A. (2puntos) ii. Encuentre una solución por mínimos cuadrados de bxA (2puntos) 4. De una matriz simétrica A 3x3 se sabe que tiene por autovalores a 1 y -1 y que el espacio propio correspondiente al autovalor 1 es 0/),,( 3 zyxRzyx . Hallar la matriz P que la diagonaliza ortogonalmente. ( 1 PDPA ) (3 puntos) 5. Dada la cónica 9585 2 221 2 1 xxxx , se pide encontrar: i. La forma cuadrática equivalente xAx T . (0.5 puntos) ii. Los autovalores de la matriz A. (1 punto) iii. Una matriz P que diagonalice ortogonalmente a la matriz A (2 puntos) iv. El ángulo de giro para obtener un nuevo sistema de coordenadas con respecto al cual la cónica estaría en posición estándar. (0.5 puntos) v. La nueva forma cuadrática yDy T , sin términos de producto cruzado, en ese nuevo sistema de coordenadas. (0.5 puntos) vi. La gráfica aproximada de la cónica indicando el ángulo de giro de los ejes.(0.5 puntos) 6. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. i. Si 1v y 2v son vectores en un espacio vectorial V, entonces 21,vvGen es un subespacio de V. ii. Una base es un conjunto linealmente independiente lo más grande posible. iii. En toda transformación matricial, la imagen de una combinación lineal de vectores pvvv ...,,, 21 es la misma combinación lineal de las imágenes de dichos vectores. iv. Si A es diagonalizable, entonces A tiene n autovalores distintos. Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u) UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE INGENIERIA CURSO: COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA EXAMEN SUSTITUTORIO Martes 16 de diciembre de 2008 Hora: 2:00 P.M. Duración: 3 h NOMBRE:........................................................................... SIN LIBROS, APUNTES, CALCULADORA, CON CUADERNILLO EXTRA 1. Determine las posibilidades de solución del siguiente sistema (si hay o no solución; si hay una o infinitas soluciones) de acuerdo al valor de “m”. Luego, resolverlo para el caso en que el sistema tiene infinitas soluciones. 4 12 1 3 52 6 1 1 2 1 1 0 0 1 0 1 1 1 2 m mm tz m m yx (4 puntos) 2. En el espacio )(3 xP de los polinomios de grado menor o igual que tres, determinar los valores de los parámetros “a” y “b” para que el polinomio baxx 3 pertenezca al subespacio generado por los polinomios 254 23 xxx y 132 23 xxx . (4 puntos) 3. Encuentre la matriz canónica de la transformación 44: RRT cuyo núcleo es 14321 , vvvvvGen y que además transforma a 1v en 12v y a 3v en 32v , si: 0 0 1 1 1v , 0 0 1 1 2v , 1 1 0 0 3v , 1 1 0 0 4v 4. De una matriz simétrica A 3x3 se sabe que tiene por autovalores a 1 y -1 y que el espacio propio correspondiente al autovalor 1 es 0/),,( 3 zyxRzyx . Hallar la matriz A y la matriz P que la diagonaliza ortogonalmente. ( 1 PDPA ) (4 puntos) 5. Marque cada proposición como verdadera o falsa. Justifique cada respuesta. a. Si bxA es compatible y A es una matriz n x n no invertible, entonces bxA tiene infinitas soluciones. b. Si bxA es compatible para todab en mR y A es una matriz m x n , entonces A debe tener m columnas pivote. c. Una base es un conjunto linealmente independiente lo más grande posible. d. Si cero es un autovalor de la matriz A, entonces A es no invertible. Nota: - Sólo se corregirá las respuestas que hayan sido justificadas. - Sólo los enunciados falsos se pueden justificar con contraejemplos. (1 punto c/u)
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