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Solución_Control_N_5_-_Sección_D
Sebastian Sanchez Guerrero
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TIPO A
1. Dada la siguiente matriz 𝐴 = [
1 2 2 4 −7
1 2 1 2 −1
2 4 3 6 −4
]
𝐴 = [
1 2 2 4 −7
1 2 1 2 −1
2 4 3 6 −4
]
𝐻21(−1)
𝐻31(−2)
[
1 2 2 4 −7
0 0 −1 −2 6
0 0 −1 −2 10
]𝐻32(−1) [
1 2 2 4 −7
0 0 −1 −2 6
0 0 0 0 4
]
𝐻2(−1)
𝐻3(1/4)
[
1 2 2 4 −7
0 0 1 2 −6
0 0 0 0 1
]
𝐻13(7)
𝐻23(6)
[
1 2 2 4 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 1
]𝐻12(−2)
[
1 2 0 0 0
0 0 1 2 0
0 0 0 0 1
]
𝑋1 = −2𝑠
𝑋2 = 𝑠
𝑋3 = −2𝑡
𝑋4 = 𝑡
𝑋5 = 0
a. Encuentre el espacio Nulo de A. (2 puntos)
𝑁𝑢𝑙𝐴 =
{
[
−2
1
0
0
0
]
[
−
0
0
2
1
0]
}
b. Encuentre una base para el espacio nulo de A. (1 punto)
𝐵𝑎𝑠𝑒(𝑁𝑢𝑙𝐴) =
{
[
−2
1
0
0
0
]
[
−
0
0
2
1
0]
}
c. Diga cuál es la dimensión del espacio nulo de A. (1 punto)
Dimensión = 2
d. Encuentre el espacio de columnas de A. (2 puntos)
𝐶𝑜𝑙𝐴 = {[
1
1
2
] [
2
2
4
] [
2
1
3
] [
4
2
6
] [
−7
−1
−4
]}
e. Encuentre una base para el espacio de columnas de A. (1 punto)
𝐶𝑜𝑙𝐴 = {[
1
1
2
] [
2
1
3
] [
−7
−1
−4
]}
f. Diga cuál es la dimensión del espacio de columnas de A. (1 punto)
Dimensión = 3
2. Dadas las siguientes proposiciones. Diga V o F. Justifique las proposiciones falsas:
I. (F) No es un sub-espacio porque no incluye al vector 0.
II. (V)
III. (F) Todo H=Gen es un sub-espacio lineal.
IV. (F) Los espacios fundamentales son NulA y ColA
(1 punto c/u)
3. Desarrolle:
a) Averiguar si el conjunto H = {[
x
𝑦] ∈ R
2 𝑦 ≥ 2𝑥⁄ } es un subespacio lineal de R2.
No cumple la tercera condición. No es cerrado bajo multiplicación por un escalar. Por
lo tanto: NO ES UN SUB-ESPACIO LINEAL.
b) Averiguar si el plano x + 2y + z = 0 es un subespacio lineal de R3.
𝑥
𝑦
−𝑥 − 2𝑦
= 𝑥 [
1
0
−1
] + 𝑦 [
0
1
−2
] = 𝐺𝑒𝑛 {[
1
0
−1
] , [
0
1
−2
]}
Puesto que es un conjunto H=Gen, SI ES UN SUB-ESPACIO LINEAL.
(4 Puntos c/u)
TIPO B
1. Responda las siguientes preguntas:
a) ¿El conjunto solución de la ecuación 𝐴�̅� = �̅� es un sub-espacio lineal? Justifique.
. No es un sub-espacio. No incluye al vector 0
b) ¿Cómo son los espacios fundamentales de una matriz A invertible? Descríbalos.
El espacio NulA es igual a 0.
El espacio ColA es igual a Rm. (Todas las columnas de la matriz)
(2 puntos c/u)
2. Desarrolle:
a) Averiguar si el conjunto H = {(x, y, z) ∈ R3 x = 2y⁄ } es un subespacio lineal de
R3.
Si es un sub-espacio lineal.
c) Averiguar si el conjunto H = {[
x
𝑦] ∈ R
2 𝑥 ≥ 𝑦⁄ } es un subespacio lineal de R2.
No cumple la tercera condición. No es cerrado bajo multiplicación por un escalar. Por
lo tanto: NO ES UN SUB-ESPACIO LINEAL.
(4 Puntos c/u)
3. Dada la siguiente matriz 𝐴 =
[
1
4
2
0
1
1
3 2
1 0
3
12
6
0
5
5
9 5
3 4]
𝐴
=
[
1
4
2
0
1
1
3 2
1 0
3
12
6
0
5
5
9 5
3 4]
𝐻21(−4)
𝐻31(−2)
𝐻41(−3)
𝐻51(−1) [
1
0
0
0
1
1
0 2
0 0
3
0
0
0
5
5
0 5
0 4]
𝐻32(−1)
𝐻42(−2)
[
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
3
0
0
0
5
0
0 −10
0 4 ]
H5(
1
4
)
[
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
3
0
0
0
5
0
0 −10
0 1 ]
H35
[
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
3
0
0
0
5
1
0 −10
0 0 ]
H43(10)
[
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
3
0
0
0
5
1
0 0
0 0]
H23(−5)
[
1
0
0
0
1
0
0 0
0 0
3
0
0
0
0
1
0 0
0 0]
𝑋1 = −3𝑠
𝑋2 = 0
𝑋3 = 𝑠
𝑋4 = 0
a. Encuentre el espacio Nulo de A. (2 puntos)
𝑁𝑢𝑙𝐴 = {[
−3
0
1
0
]}
b. Encuentre una base para el espacio nulo de A. (1 punto)
𝐵𝑎𝑠𝑒(𝑁𝑢𝑙𝐴) = {[
−3
0
1
0
]}
c. Diga cuál es la dimensión del espacio nulo de A. (1 punto)
Dimensión = 1
d. Encuentre el espacio de columnas de A. (2 puntos)
𝐶𝑜𝑙𝐴 =
{
[
1
4
2
3
1]
,
[
0
1
1
2
0]
,
[
3
12
6
9
3 ]
,
[
0
5
5
5
4]
}
e. Encuentre una base para el espacio de columnas de A. (1 punto)
𝐵𝑎𝑠𝑒(𝐶𝑜𝑙𝐴) =
{
[
1
4
2
3
1]
,
[
0
1
1
2
0]
,
[
0
5
5
5
4]
}
f. Diga cuál es la dimensión del espacio de columnas de A. (1 punto)
Dimensión = 3
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