Funciones Vectoriales y Parametricas-II

Vista previa del material en texto

FUNCIONES PARAMETRICAS y VECTORIALES
Contenido
Funciones Paramétricas.
Funciones Vectoriales.
Análisis de las funciones vectoriales.
 a) Dominio, rango y gráfico-
 b) Límites y continuidad
 c) Derivación, propiedades. Interpretación geométrica.
 d) Integración. Longitud de arco. Re-parametrizacón.
 e) Bondades de la re-parametrización.
 f) Vector tangente, Curvatura, Vector Normal y Binormal-
 g) La Torsión.
 h) Fórmulas de Frenet-Serret
4. Aplicaciones a la dinámica. 
1
FUNCIONES PARAMETRICAS y VECTORIALES
FUNCIÓN PARAMÉTRICA: Es la forma de representar una función de una o más variables, en función de uno o más parámetros. 
Si la función es y = f(x) una forma paramétrica es:
En donde t є [a, b]. 
Cuando se trata de una curva la forma paramétrica está en función de un solo parámetro. Y cuando se trata de una superficie como la dada por la función es z = f(x, y), la forma paramétrica está dada en función de dos parámetros. 
La forma paramétrica
 
 En donde r є [a, b] y s є [c, d].
Su estudio se hace necesario porque es el paso intermedio para expresar dicha función en forma vectorial, y de ese modo se facilita el estudio de éstas funciones. Su necesidad se hace manifiesto cuando queremos estudiar curvas en el espacio tridimensional, como mencionamos una curva en el espacio se representa en forma cartesiana como la intersección de dos superficies, que en forma algebraica se expresa como un sistema de dos funciones de dos variables, como se muestra a continuación:
El caso más sencillo y conocido es el de una línea recta, que se expresa en forma paramétrica así:
Forma paramétrica de la recta L(P, A)=
De esto podemos ver que las tres variables dependen del parámetro “t”. 
Esto es: x = x(t), y = y(t), z = z(t) 
Otro ejemplo conocido es el plano: Definido por un punto de paso P y dos vectores generadores A y B, en donde A ≠ c B.
Las ecuaciones paramétricas son:
De modo sintético:
FUNCIONES VECTORIALES
DEFINICIÓN: una función vectorial es una ley que asigna a cada valor de un parámetro “t” de un conjunto D de números reales un único vector de Vn. 
Esto es f : DЄR → 
Teniendo en cuenta los dos ejemplos anteriores, vamos a deducir las funciones vectoriales, correspondientes, veamos
Forma paramétrica de la recta (1)
Como L(P, A) ={X} y X = ( x(t), y(t), z(t) ) (2)
Reemplazando (1) en (2) obtenemos la función vectorial de la recta es: X(t) = r(t) = (3) 
La representación geométrica de dicha recta será:
Podemos observar que la función vectorial es un haz de vectores, que tienen su cola en el origen y sus flechas están sobre la recta, definiendo un camino dirigido, de modo que cuando t=0, r(0)=P y cuando t>0, en nuestro gráfico, r(t) tiene sus flechas a la derecha de P y cuando t<0 hacia la izquierda de P . 
Otra característica importante que debemos resaltar en la función vectorial, es que sus componentes son funciones reales o escalares.
P=r(0)
0 y
t
 x
t=0
r(t)
t<0
t>0
 LA
Veamos ahora la ecuación vectorial del plano:
Forma paramétrica: 
Esto es: en donde tєR y sєR
Luego la función vectorial se puede representar:
r(s, t) = 
r(s, t) = 
En este caso la función vectorial define un haz de vectores de V3, que tienen su cola en el origen y su flecha se encuentra en cualquier punto del plano M. 
Como se muestra en la figura XєM
FORMAS PARAMÉTRICAS de FUNCIONES ESPECIALES
1) De una circunferencia 
Forma Paramétrica:
 X
 M 
Y
R
-R
-R 0 R
r
t
X=(x, y)
2. C para todo z=c
La ecuación anterior cuando es llevada al espacio V3, deja de ser la ecuación de una circunferencia y se convierte en la ecuación de un Cilindro Circular Recto.
Cuya forma paramétrica es: 
3. De una Elipse: 
Haciendo un cambio de variable: 
Cuya forma paramétrica es: 
Cuya forma paramétrica es: 
7. Parábola: 
Cuya forma paramétrica es: 
8. Cilindro Parabólico Recto: para todo z = z
Cuya forma paramétrica es: 
CURVAS ESPECIALES:
Cicloide: es la curva generada por un punto fijo P de una circunferencia que rueda , sin resbalar, por el eje XX.
 
De la figura se deduce que el segmento OQ = Arco PQ= Rt 
Si PєCicloide, entonces la curva está dada por el conjunto de todos los puntos { P }
Cuya forma paramétrica es:
x
x
 Rt
t
Q
 C = (0, R)
P = (x, y)
0 x
R
y
C = (0, R)
O=P
TENIENDO LA FORMA PARAMETRICA VAMOS A OBTENER LA F. VECTORIAL
Si tenemos la forma paramétrica de una curva C, dicha función estará dada por el conjunto de todos los puntos { X }, tal que las coordenadas de dichos puntos satisfagan
C= de modo que X = (x(t), y(t), z(t))
Como X también me representa un vector
Entonces:
X = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
 Si hacemos X = r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k obtenemos la función vectorial r(t), que sería el vector posición, como se muestra en la figura.
 z
 X=(x, y, z)=r(t)
 0 y
 x
De los ejemplos anteriores , siguiendo el método descrito, vamos a obtener la función vectorial correspondiente:
1. Circunferencia: r(t) =
2. Cilindro circular recto: 
	
	r(t, c)=
3. Elipse: r(t)=
4. Cilindro Elíptico Recto:
	
	r(t, c) =
5. HÉLICE
Forma paramétrica: 
Forma Vectorial; r(t) = 
Cuando: t=0: r(0)= (R, 0, 0); t=π/2: r(π/2)=(0. R, π/2); t=π: r(π)= (-R. 0, π), graficando tenemos:
(-R. 0, π)
(0. R, π/2)
(R. 0, 0)
Cilindro
Hélice
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE REAL
Dada la función vectorial r(t)= 
El Dominio de r(t), son todos los valores de t que hacen que r(t) exista. Esto es, que existan todas sus componentes.
Estos valores serán: 
Rango, al conjunto de vectores de Vn, que resultan de sustituir todos los valores de “t” del dominio en r(t).
Ejemplos ilustrativos:
Determinar el dominio de las funciones vectoriales siguientes:
a) r(t) = b) r(t)= 
ALGEBRA DE FUNCIONES VECTORIALES
Dadas las funciones vectoriales r(t), s(t) de dominios Dr y Ds, y la función escalar f(t) de dominio Df, se tiene: ∩
r(t) ± s(t) si t є Dr ∩ Ds
r(t) . S(t) si t є Dr ∩ Ds
r(t) x S(t) si t є Dr ∩ Ds
f(t) r(t) si t є Df ∩ Ds
r[f(t)]
Ejemplo: r(t)= 
	s(t)= ; f(t)= 2t-1
 
LIMITE DE UNA FUNCION VECTORIAL
Sea r(t) una función vectorial y to un punto de acumulación del dominio Dr(t), se dice que el vector L es el límite de r(t) cuando t tiende a to y se expresa como sí y sólo sí, para todo є>0, existe un número δ>0 tal que //r(t)-L//< є siempre que 0</t-to/< δ, tє Dr(t).
Es decir:
TEOREMA
Sea la función vectorial de variable real t, entonces sí y sólo sí 
para todo i = 1, 2, 3, ……, n. Donde L = 
Nuestra tesis sería:
Y para que esto sea así :
Demostración:
Por hipótesis sabemos que existe entonces se 
tiene que:
luego:
 Elevando al cuadrado:
 
De la tesis se tiene que:
Luego:
Por tanto: para todo i = 1, 2, 3, ……, n
Este teorema se puede expresar de un modo más práctico:
Luego la función vectorial tiene límite cuando ttiende a to si todas las componentes de r(t) tienen límite cuando t tiende a to.
Propiedades:
Demostración de a)
Aplicando la desigualdad triangular:
NOTA: 
De modo análogo podemos demostrar las demás propiedades ver Espinoza Ramos.
EJEMPLO:
Sea r(t)= y s(t)= 
Aplicando:
En r(t) y en s(t):
Aplicando las propiedades:
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Definición: una función vectorial r(t) es continua en el punto to є Dr(t), si se tiene que:
También se dice que 
es continua en to si ri (t) es continua en to є Dr(t) para todo i=1, 2, 3, ….., n, esto es:
DERIVADA DE UNA FUNCION VECTORIAL
Definición: sea
La derivada de r(t) será:
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA r’(t)
Considerando la función vectorial r(t) en V3, para poderla representar en un esquema geométrico.
Vemos que el vector r(t+h)-r(t) es 
secante a la curva, de modo que 
cuando h tiende a cero la flecha de
este vector se desliza hacia la
Izquierda, siendo su límite el 
vector tangente a la curva en t
Por tanto podemos afirmar
que r’(t) es el vector de dirección de la tangente en cualquier punto de la curva perteneciente a su dominio.
0 y
r(t)
rt+h)
secante
Vector Tangente: r’(t)
z
x
26
EJERCICIO ILUSTRATIVO
Dada la curva C definida por r(t)=(cost, sent, t), se pide:
El vector tangente unitario
La recta tangente a la curva C en el punto P=(0,1, π/2)
a) Por definición r’(t) es el vector de dirección de la recta tangente en cualquier punto de la curva, por tanto hallamos la derivada: r’(t) = (-sent, cost, 1)
Como Pє r(t):
Luego: (cost, sent, t), = (0,1, π/2)
De donde: cost = 0; sent= 1; t = π/2 luego t = π/2 
Hallamos r’( π/2 ) = ( -sen π/2 , cos π/2 , 1)= ( -1, 0, 1)
Que viene a ser el vector de dirección de la tangente a C en P.
Luego: T = {(0,1, π/2) + t ( -1, 0, 1)}
 
PROPIEDADES DE LA DERIVADAS DE F. VECTORIALES
Dadas las funciones vectoriales r(t) y s(t) y la función real f(t), se tiene:
Demostración de b)
Regla de la Cadena
Ejemplo: sea r(t) = 
Derivando respecto a t:
Aplicando la propiedad tendríamos:
INTEGRALES INDEFINIDAS DE F. VECTORIALES
Dada la función vectorial 
La integral indefinida de r(t) se define:
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
Sean r(t), s(t) dos funciones vectoriales, c un número real y C un vector constante.
Ejemplo
Determinar la función vectorial más general cuya derivada es:
Luego:
Por tanto:
INTEGRALES DEFINIDAS DE F. VECTORIALES 
Dada la función vectorial 
En donde t є [a, b], la integral definida de r(t) se define como:
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Sea r(t), s(t) dos funciones vectoriales en donde t є [a, b], c un número real y C un vector constante.
Se tiene:
Demostración de la propiedad a) 
LONGITUD DE ARCO
Vamos ha realizar el estudio para una curva plana, por razones didácticas, el procedimiento para el caso general es similar pero es más difícil de representarlo de modo geométrico.
Consideremos la función y = f(x) que en forma paramétrica se puede expresar haciendo x = t y y = f(t), de modo que la función en forma vectorial será r(t) = (t, f(t)) en donde tє[a,b] 
Dividimos el intervalo [a, b] en
“n” partes iguales, definiendo a 
continuación el recinto de orde-
nadas, como se muestra en la fig.
Considerando el sub-intervalo 
genérico [ti, ti + Δt], 
 0 a --------- t i ti+Δt b x 
 
 Y
f(ti+ Δt)
f(ti) 
Δs
Δh
39
En dicho sub-intervalo definimos el triángulo rectángulo de catetos f(ti+Δt)-f(ti) y Δt y de hipotenusa Δh, aplicando el T. de Pitágoras: 
Vamos a aproximar el arco Δs por Δh. De modo que la longitud del arco en el intervalo [a, b] se aproximará como:
Vemos que cuando n se hace infinitamente grande, se da la igualdad:
 S= 
Como x=t y y=f(t) en donde r(t) =(t, f(t)) y r’(t)= (dt, f’(t)dt)
Por tanto: dx=dt, dy=f’(t)dt,
Luego:
Δx
Δy
Por tanto:
Si lo vemos en V3 
En donde la curva viene dada por
r(t)=(x(t), y(t), z(t))
Luego: r’(t)= (x’(t), y’(t), z’(t))
De la figura en el triángulo rectángulo de hipotenusa Δh, catetos Δr y Δz se tiene: 
 
		 
Δz
Δs
Δh
 Δr
La longitud de arco se aproxima como:
La igualdad se da en el límite:
Teniendo en cuenta lo anterior:
EJEMPLO:
Encontrar la longitud de la curva C definida por r(t)=(acost, asent, ct), de A=(a, 0, 0) hasta B=(a, 0, 2πc)
Como ; r’(t) = (-asent, acost, c)
Como Aєr(t): a=acost; 0=asent; 0 = ct luego t=0
Como Bєr(t): a=acost; 0=asent; 2 πc = ct luego t=2 π
RE-PARAMETRIZACIÓN DE LA FUNCIÓN VECTORIAL RESPECTO A LA LONGITUD DE ARCO “S”
Este proceso generalmente no siempre es posible, y se realiza mediante una composición entre la función vectorial, parametrizada en “t” como r(t), con una función escalar t = ρ(s) que se obtiene a partir de: 
 = f(t) 
De modo que explicitando t: t = ρ(s) 
Haciendo la composición: r[ρ(s)], y tendríamos la función vectorial re-parametrizada respecto a la longitud de arco “s”. 
Luego:
r[ρ(s)] = r(s) = ( x(ρ(s) ), y(ρ(s) ), z(ρ(s) )) = ( x(s), y(s), z(s))
Esta función me da la posición (las coordenadas) del móvil en función de la distancia recorrida. Como “s” es la distancia obtenemos las coordenadas del móvil r(s) = ( x(s), y(s), z(s)).
BONDADES DE LA FUNCIÓN RE-PARAMETRIZADA:
Que r’(s) = Tu , esto es que //r’(s)//= //Tu// = 1 
Sabemos que: 
 
Derivando r(s) con respecto a s:
Luego: //Tu// = 1 lqqd
Esta propiedad nos permite calcular directamente, el vector normal a la tangente. Esto es r’’(s) = N
Demostración:
El vector normal unitario será:
 (A)
CURVATURA “K” Y VECTOR NORMAL:
Definición: la curvatura nos da el grado de variación que sufre la dirección de la tangente unitaria, respecto a la longitud de arco, esto es //dTu/ds//, o también como la //r’’(s)//. Dado que como Tu=r’(s), entonces dTu/ds = dr’(s)/ds = r’’(s).
La magnitud de la curvatura nos informa
acerca de la forma de la curva, si es suave 
o es pronunciada.
En la figura se muestra gráficamente
lo que hemos mencionado antes.
Cuando K es pequeña la curva es
Suave cuando K es grande la 
curva es muy pronunciada.
Y
 
 K pequeña
 K grande
CÁLCULO DE LA CURVATURA “K” EN FUNCIÓN DE r(t):
Por definición sabemos que K = //dTu/ds//. Cálculo de dTu/ds:
 
 
Remplazando:
Efectuando y simplificando:
 por la I. De Lagrange
VECTOR NORMAL
Partiendo de (a):
Operando:
Como r’’(s)= N , y los coeficientes de r’’(s) y de r’(t) son escalares, la expresión se puede escribir:
r’’(t) = C1 N + C2 r’(t) 
 
Luego r’(t), N y r’’(s) son coplanares.
Haciendo un esquema geométrico:
Si multiplicamos vectorialmente r’(t) 
con r’’(t), tenemos un vector que va
a ser perpendicular al plano .
C1N
r’’(t)
C2r’(t)
r’(t)xr’’(t)
El vector r’(t)xr’’(t) es perpendicular a r’(t) y a N, debido a que este vector es perpendicular al plano y por tanto perpendicular a todo vector que se encuentre en el.
Por todo lo mencionado podemos afirmar que el vector Normal N = [ r’(t) x r’’(t) ] x r’(t)
Luego el vector Normal Unitario será:(I)
VECTOR BINORMAL
Se define como un vector unitario que es perpendicular a Tu y a Nu, y por tanto B = Tu x Nu 
Del esquema anterior se puede deducir que B // r’(t) x r’’(t)
Por tanto : 
Como B = Tu x Nu
 
Rectas y Planos que se nacen a raíz de esta terna de vectores entorno de un punto P cualquiera de la curva.
Rectas:
Recta Tangente = { P + t Tu }
Recta Normal = { P + t Nu }
Recta Binormal = { P + t B }
Planos:
Plano Osculador = { P+sTu+tNu}
Plano Normal = { P + sNu+tB }
Plano Rectificante = { P+sTu+tB}}}
Tu
B
N
P
Recta Normal
Recta Tangente
Recta Binormal
 Nu
 Tu
 B
 
55
CÍRCULO OSCULADOR
Es la circulo que se encuentra sobre el plano osculador y su radio es igual a la inversa de la curvatura, esto es, R = 1/K y besa a la curva en el punto P. Como se muestra en la figura.
Como el círculo osculador es
tangente a la curva en P, en-
tonces el centro C del círcu-
lo se encuentra en la recta
Normal, de la figura se tiene:
C = P + PC
Como //PC// = R entonces PC = RNu
Por tanto: C = P + RNu
O
 P
 R= //PC//
C
 N
Tu
r(t)
Círculo Osculador
TORSION
Definición: es la rapidez con que la curva se aleja del plano osculador, esta medida está relacionada con el vector Binormal, τ =//dB/ds// = //B’//.
Se sabe que B =TuxNu
Derivando: dB/ds =(dTu/ds)xNu + Tux(dNu/ds) 
Como dTu/ds = r’’(s) y r’’(s) // Nu entonces (d Tu/ds)xNu = 0
Luego: B’ = Tux(dNu/ds) (a)
Sabemos que //B // = 1 entonces B.B’=0 luego B’, Nu y Tu son coplanares. Por (a) tenemos que B’Tuy sabemos que NuTu luego B’ // Nu entonces B’ = cNu
Como por definición //B’// = τ y //B’// = /c///Nu // = /c/ entonces c= τ y por tanto: B’ = τNu
Luego: B’ . Nu = τ Nu.Nu entonces τ = B’. Nu = B’ . (1)
Remplazando (1) en (b) y operando:
Luego:
 
La Torsión en función de r(t)
Tenemos que
Vamos a expresar r’(s)xr’’(s) . r’’(s) en función de r(t):
Cálculo de r’’’(s) en función de r(t):
Derivando r’’(s) respecto a “s”:
Operando:
 (D’)
Calculando: r’(s) x r’’(s) . r’’’(s) se obtendrían los siguientes productos mixtos:
r’(t) x r’’(t) . r’’’(t) ≠ 0
r’(t) x r’’(t) . r’’(t) = 0
r’(t) x r’’(t) . r’’(t) = 0
r’(t) x r’’(t) . r’(t) = 0
Luego r’(s) x r’’(s) . r’’’(s) será:
 (1)
 
Remplazando en la expresión (2) de la torsión (1) y (3):
 (2)
 
 (3)
 
FÓRMULAS DE FRENET-SERRET
Estas fórmulas pertenecen a la Teoría de las Curvas. Introducidas por Jean Fréderic Frenet y Joseph Serret.
La base espacial definida por el vector Tangente, Normal y Binormal triedro móvil, es conocido también como el triedro de Frenet-Serret
Estas fórmulas describen las propiedades cinemáticas de una partícula que se mueve a lo largo de una curva continua, diferenciable en tres dimensiones.
Entrar a Google: 
Título: FÓRMULAS DE FRENET-SERRET
 Nu
 B B
 Tu
 Tu
 Nu
Las Fórmulas de Frenet-Serret
Son las que se obtienen al derivar respecto a “s” la tangente unitaria Tu, el vector normal unitario Nu y el vector Binormal B:
1)
2) 
3)
Deducción:
De : sabemos que por definición, por 
otro lado sabemos que r’’ (s) r’(s)=Tu luego r’’(s)=N=
 
 (a) 
2) Sabemos que B = Tu x Nu luego derivando respecto a “s”: 
B’ = Tu’x Nu +Tu x Nu’ (1)
Como Nu Nu‘, entonces Tu, B y Nu’ son coplanares, por tanto: Nu’ = c Tu + c’ B (2) en donde c y c’ son escalares, pero Tu’// Nu por tanto Tu’x Nu = 0
Luego: B’ = TuxNu’ (3)
Remplazando (2) en (3): B’ = TuxNu’ = Tux(c Tu + c’ B ) 
Como Tu // Tu Tu x Tu = 0
Entonces: 
B’ = TuxNu’ = Tu x c’ B = c’( Tu x B )
Luego: B’ = -c’ Nu
Sacando norma: //B’// = /-c’/ //Nu// = τ luego c’= τ 
Por tanto: B’ = - τ Nu (b)
 Nu=BxTu
 Tu
 B
 TuxB= -Nu
Nu‘ = KTu - τ Nu.
Como Tu , Nu y B, definen una Base Ortogonal en V3, generan a todo vector de dicho espacio.
Por tanto: Nu‘ = rTu + s Nu + t B, (I) en donde r, s y t son escalares y nuestro problema se traslada al cálculo de r, s y t.
Cálculo de “s”:
Multiplicando (I) escalarmente por Nu se tiene: :
Nu’.Nu = rTu.Nu + s Nu.Nu + t B.Nu
Como//Nu//=Nu ⟘Nu’ entonces Nu.Nu’=0 ; Tu.Nu =0 y B.Nu=0
Entonces: s = 0
Cálculo de “r”:
Multiplicando (I) escalarmente por Tu se tiene: 
Nu’.Tu = rTu.Tu + s Nu.Tu + t B.Tu
Como Tu.Nu =0, B.Tu=0 y Tu.Tu = 1 entonces Nu’.Tu = r
Como : Tu . Nu = 0 derivando este producto:
Tu’.Nu +Tu.Nu‘ = 0 entonces: Tu.Nu‘= -Tu’.Nu = - (KNu).Nu´ / (a)
Luego: Tu . Nu‘ = -K → Por tanto: r = - K
Cálculo de “t”:
Multiplicando (I) escalarmente por B se tiene: : 
Nu’.B = rTu.B + s Nu.B + t B.B 
Como Tu.B=0, B.Nu=0 y B.B = 1 entonces Nu’.B = t
Como : B . Nu=0 derivando este producto
B’. Nu + B .Nu'=0 luego: - B’. Nu = B .Nu‘ 
Por tanto: t = - B’. Nu = -(- τ Nu).Nu = τ entonces t = τ
Remplazando en (I): Nu‘ = -KTu + 0Nu + τB= -KTu + τB
Luego: Nu‘ = -KTu + τB
APLICACIONES A LA DINAMICA
Si r(t) nos define la trayectoria de una partícula y t el tiempo transcurrido, se tiene que:
Luego: 
La rapidez de la partícula 
en el tiempo “t” es la módulo
Del vector velocidad, es decir, //r’(t)//.
De modo análogo la aceleración, viene dada por la derivada del vector velocidad, esto es v(t), respecto al tiempo.
0 y
r(t)
rt+h)
secante
Tangente = Velocidad
Esto es: 
Ejemplo: Una partícula inicia su movimiento en r(0)=(1, 0, 0) con velocidad inicial v(0) = (1, -1, 1). Su aceleración es a(t)= 4ti+6tj+k.
Como 
Integrando para t = 0 se tiene que v(0)=(1, -1, 1) y para t=t v(t)=v(t):
Luego:
Cálculo de r(t):
Sabemos que
Luego:
Los límites de integración son si t=0 entonces r(0)=(1, 0, 0) Y SI t=t tenemos que r(t)=r(t) 
Luego:
Por la Segunda Ley de Newton F=ma
Del ejemplo anterior F(t) = m(4t, 6t, 1)
TIRO DE PROYECTILES
Como el movimiento sigue una trayectoria parabólica, la curva r(t) se encuentra en el plano.
Si nos situamos en el plano XY
Las funciones vectoriales, r(t), v(t) 
Y a(t) tienen componente z=0.
Como F = ma(t)=m(0, -g,0). 
La aceleración del movimiento 
se debe a la gravedad , y su 
sentido es hacia abajo, luego a(t)=(0, -g, 0).
Según el esquema las condiciones iniciales para t=0, serán:
Como el proyectil parte del origen r(0)= (0, 0, 0), y como la velocidad inicial está dado por V(0) cuya norma es //V(0)//:
 V(0) = (//V(0)//cosα, //V(0)//senα, 0)
 Y
Vy V(0)
 hmax
0 Vx =//V(0)//cosα x
 R
Cálculo del vector velocidad:
Cálculo del vector posición r(t):
Como 
Integrando:
COMPONENTE TANGENCIAL Y NORMAL DE LA ACELERACIÓN
Sabemos quey que 
 
î
í
ì
=
=
)
(
t
f
y
t
x
î
í
ì
=
=
)
,
(
)
,
(
2
1
y
x
f
z
y
x
f
z
ï
î
ï
í
ì
+
=
+
=
+
=
3
3
2
2
1
1
ta
p
z
ta
p
y
ta
p
x
ï
î
ï
í
ì
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
)
,
(
)
,
(
)
,
(
3
3
3
2
2
2
1
1
1
t
s
z
sb
ta
p
x
t
s
y
sb
ta
p
y
t
s
x
sb
ta
p
x
î
í
ì
=
=
Rsent
y
t
R
x
cos
ï
î
ï
í
ì
Î
\
=
=
=
R
s
s
z
Rsent
y
t
R
x
cos
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
î
í
ì
=
=
bsent
y
t
a
x
cos
1
;
2
2
2
2
2
2
=
+
®
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
v
u
b
y
v
a
x
u
ï
î
ï
í
ì
Î
\
=
=
=
R
z
z
z
bsenht
y
t
a
x
cosh
ï
î
ï
í
ì
=
=
c
t
x
t
y
4
2
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
Î
\
=
=
=
R
z
z
z
t
y
c
t
x
4
2
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
)
(
)
(
)
(
t
z
z
t
y
y
t
x
x
j
Rsent
i
t
R
Rsent
t
R
+
=
cos
)
,
cos
(
k
c
j
Rsent
i
t
R
c
Rsent
t
R
r
+
+
=
cos
)
,
,
cos
(
j
bsent
i
t
a
bsent
t
a
+
=
cos
)
,
cos
(
k
c
j
bsent
i
t
a
c
bsent
t
a
r
+
+
=
cos
)
,
,
cos
(
ï
î
ï
í
ì
=
=
=
t
z
Rsent
y
t
R
x
cos
k
t
j
Rsent
i
t
R
t
Rsent
t
R
+
+
=
cos
)
,
,
cos
(
))
(
........,
),
(
),
(
(
2
1
t
x
t
x
t
x
n
)
(
)
(
)
(
)
(
..........
2
1
t
x
t
x
t
x
t
r
n
D
D
D
D
Ç
Ç
Ç
=
)
1
3
,
,
1
(
2
-
-
t
t
e
t
t
)
3
,
3
2
,
(
2
2
-
-
t
t
t
[
]
[
]
[
]
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
t
t
t
t
t
t
,
2
1
,
2
1
2
1
4
[
]
[
]
[
]
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
t
t
t
t
t
,
,
1
1
2
2
L
t
r
t
t
=
®
)
(
lim
0
(
)
)
(
,
..........
),
(
),
(
)
(
2
1
t
r
t
r
t
r
t
r
n
=
i
i
t
t
L
t
r
=
®
)
(
lim
0
(
)
n
L
L
L
L
,
..........
,
,
,
3
2
1
e
d
d
e
<
-
Þ
<
-
<
>
$
>
"
Û
=
®
L
t
r
t
t
L
t
r
o
t
t
o
)
(
0
/
0
,
0
)
(
lim
L
t
r
t
t
=
®
)
(
lim
0
Ltr
tt


)(lim
0
e
d
d
e
<
-
Þ
<
-
<
>
$
>
"
L
t
r
t
t
o
)
(
0
/
0
,
0
e
<
-
+
-
+
-
+
-
=
-
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
)
)
(
.........(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
n
n
L
t
r
L
t
r
L
t
r
L
t
r
L
t
r
e
d
d
e
<
-
Þ
<
-
<
>
$
>
"
i
i
o
L
t
r
t
t
)
(
0
/
0
,
0
(
)
)
1
(
)
)
(
.(
........
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
:
)
)
(
.........(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
1
1
2
e
<
-
+
+
-
+
-
=
-
-
+
-
+
-
+
-
=
-
n
n
n
n
L
t
r
L
t
r
L
t
r
L
t
r
tiene
Se
L
t
r
L
t
r
L
t
r
L
t
r
L
t
r
(
)
2
)
(
)
(
i
i
i
i
L
t
r
L
t
r
-
=
-
(
)
e
e
e
<
-
£
-
<
-
£
-
<
-
=
-
L
t
r
L
t
r
que
afirmar
puede
se
to
Por
L
t
r
L
t
r
que
afirmar
puede
se
con
Comparando
L
t
r
L
t
r
cuadrado
al
Elevando
i
i
i
i
i
i
i
i
)
(
)
(
:
tan
)
(
)
(
:
)
2
(
)
1
(
)
2
(
)
(
)
(
:
2
2
2
2
2
2
)
)
(
lim
.......,
),........
(
lim
),
(
lim
),
(
lim
(
)
(
lim
3
2
1
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
n
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
o
o
o
o
o
®
®
®
®
®
=
[
]
e
e
e
=
+
<
-
+
-
£
-
+
-
=
+
-
+
2
2
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
M
t
s
L
t
r
M
t
s
L
t
r
M
L
t
s
t
r
[
]
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
:
tan
)
(
)
(
)
(
(
0
/
0
,
0
0
0
0
t
s
t
r
t
s
t
r
to
lo
Por
M
L
t
s
t
r
t
t
Luego
t
t
t
t
t
t
o
®
®
®
+
=
+
<
+
-
+
Þ
<
-
<
>
$
>
"
e
d
d
e
)
2
,
,
1
(
1
3
,
,
1
lim
)
(
lim
2
2
2
2
e
t
t
e
t
t
r
t
t
t
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
=
®
®
)
1
,
1
,
4
(
)
3
,
3
2
,
(
lim
)
(
lim
2
2
2
2
=
-
-
=
®
®
t
t
t
t
s
t
t
h
t
r
h
t
r
t
r
t
h
)
(
)
(
lim
)
´(
0
-
+
=
®
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
+
-
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
+
-
+
=
-
+
-
+
-
+
-
+
=
-
+
®
®
®
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
t
r
límite
de
definición
la
Aplicando
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
r
Entonces
t
r
h
t
r
t
r
h
t
r
t
r
h
t
r
t
r
h
t
r
Como
n
n
h
h
h
n
n
n
n
)
(
)
(
lim
..,
,
)
(
)
(
lim
,
)
(
)
(
lim
)
´(
:
)
(
)
(
,....,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
)
(
)
(
....,
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
(
)
(
)
(
:
0
2
2
0
1
1
0
2
2
1
1
2
2
1
1
)
)
(
'
..,
),........
´(
),
´(
),
´(
(
)
´(
:
tan
3
2
1
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
to
Por
n
=
ç
ç
è
æ
=
-
=
-
=
-
=
-
=
-
1
2
:
1
2
0
1
1
:
y
x
z
t
z
y
x
cartesiana
forma
En
p
p
[
]
[
]
[
]
[
]
lqqd
t
r
t
f
t
r
t
f
t
r
t
f
dt
d
to
Por
t
f
h
t
r
h
t
r
h
t
r
h
t
f
h
t
f
h
h
t
r
t
f
h
t
r
t
f
t
r
t
f
h
t
r
h
t
f
t
r
t
f
dt
d
resión
la
íe
no
que
para
h
t
r
t
f
restamos
y
sumamos
Le
h
t
r
t
f
h
t
r
h
t
f
t
r
t
f
dt
d
ón
Demostraci
t
r
t
f
t
r
t
f
t
r
t
f
dt
d
h
h
h
h
h
h
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
:
tan
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
[
lim
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
:
exp
var
),
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
:
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
+
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
-
+
-
+
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
+
-
+
+
-
+
+
=
+
=
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+
+
=
+
=
®
®
®
®
®
®
[
]
[
]
)]
(
[
'
.
)
(
'
)
(
t
f
r
t
f
t
f
r
dt
d
=
[
]
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
=
sent
t
sen
sent
t
sen
t
f
r
3
,
3
2
,
)
(
2
2
)
cos
3
,
cos
2
,
cos
2
(
)
3
,
2
,
2
(
cos
)]
(
[
)
3
,
2
,
2
(
)]
(
[
'
)
)
3
,
2
,
2
(
)
(
'
cos
)
(
'
)
(
)]
(
[
'
)
(
'
)]
(
[
2
2
2
2
2
2
2
2
t
t
sen
t
sen
t
t
sent
t
sen
t
sen
sent
t
t
f
r
dt
d
do
reemplazan
t
sen
t
sen
sent
t
f
r
donde
de
t
t
t
t
r
t
t
f
sent
t
f
t
f
r
t
f
t
f
r
dt
d
+
=
+
=
+
=
+
=
=
®
=
=
[
]
dt
t
r
dt
t
r
d
dt
t
r
C
dt
t
r
C
c
dt
t
r
c
dt
t
r
c
b
dt
t
s
dt
t
r
dt
t
s
t
r
a
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
£
=
=
±
=
±
)
(
)
(
)
)
(
.
)
(
.
)
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
R
c
ctgt
t
t
t
r
Î
\
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
=
,
1
1
,
1
1
)
(
'
2
2
dt
t
r
t
dr
dt
t
dr
t
r
Como
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
=
®
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
=
=
=
ò
ò
ò
ò
ò
dt
t
ctg
t
dt
t
dt
t
r
dt
t
r
t
dr
Integrando
,
1
,
1
)
(
)
(
'
)
(
:
2
2
(
)
)
,
,
(
ln
,
,
)
(
3
2
1
c
c
c
sent
sent
arc
tgt
arc
t
r
+
=
[
]
egrales
las
de
una
cada
a
definición
la
Aplicando
ón
Demostraci
dt
t
s
dt
t
r
dt
t
s
t
r
b
a
b
a
b
a
int
:
)
(
)
(
)
(
)
(
ò
ò
ò
±
=
±
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
lqqd
dt
t
s
t
r
dt
t
s
dt
t
r
Luego
dt
t
s
t
r
dt
t
s
t
r
dt
t
s
t
r
dt
t
s
t
r
dt
t
s
dt
t
r
dt
t
s
dt
t
r
dt
t
s
dt
t
r
dt
t
s
dt
t
s
dt
t
s
dt
t
r
dt
t
r
dt
t
r
dt
t
s
dt
t
r
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
n
b
a
n
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
n
b
a
b
a
b
a
n
b
a
b
a
b
a
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
ò
±
=
±
±
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
±
±
±
=
ú
û
ù
ê
ë
é
±
±
±
=
=
ú
û
ù
ê
ë
é
±
ú
û
ù
ê
ë
é
=
=
±
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
,.........
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
)
(
,....,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
)
(
,....,
)
(
,
)
(
)
(
,....,
)
(
,
)
(
)
(
)
(
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
i
i
y
x
h
D
+
D
=
D
å
-
=
=
D
+
D
»
1
0
2
2
n
i
i
i
i
y
x
S
ò
å
+
=
D
+
D
-
=
=
¥
®
b
a
n
i
i
i
i
n
dy
dx
y
x
2
2
1
0
2
2
lim
dt
t
r
dt
t
f
dt
dy
dx
ds
)
(
'
)
)
(
'
(
2
2
2
2
=
+
=
+
=
ò
ò
ò
=
+
=
=
b
a
b
a
b
a
dt
t
r
dy
dx
ds
S
)
(
'
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
Re
i
i
i
i
i
i
i
z
y
x
h
emplazando
y
x
r
z
r
h
D
+
D
+
D
=
D
D
+
D
=
D
D
+
D
=
D
ò
å
+
+
=
D
+
D
+
D
=
-
¥
®
b
a
n
i
i
i
n
dz
dy
dx
z
y
x
s
2
2
2
1
0
2
2
2
lim
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
ò
ò
ò
+
+
=
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
b
a
b
a
b
a
dt
t
x
t
x
t
x
dz
dy
dx
s
dt
t
x
t
x
t
x
s
dt
t
x
dt
t
x
dt
t
x
dz
dy
dx
s
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
'
)
(
'
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
(
)
(
'
dt
t
r
ds
donde
De
dt
t
r
s
Luego
b
a
)
(
'
)
(
'
:
=
=
ò
ò
=
b
a
dt
t
r
s
)
(
'
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:
Re
cos
)
(
'
c
a
dt
c
a
s
emplazando
c
a
c
t
a
t
sen
a
t
r
+
=
+
=
+
=
+
+
=
ò
p
p
[
]
)
(
)
(
:
)
(
)
(
'
)
(
'
:
s
r
s
r
será
ada
parametriz
re
función
La
s
t
que
sabemos
lado
otro
Por
t
r
dt
ds
dt
t
r
ds
donde
De
r
r
=
-
=
=
®
=
dt
t
r
s
t
a
ò
=
)
(
'
[
]
)
(
'
)
(
'
)
(
'
s
r
s
s
r
r
r
=
)
(
'
1
)
(
'
)
(
t
r
ds
dt
s
s
t
Como
=
=
®
=
r
r
[
]
[
]
1
'
)
(
'
1
)
(
'
:
Re
)
(
'
)
(
'
)
(
'
:
)
(
'
=
=
=
t
r
t
r
s
r
emplazando
s
r
s
s
r
s
r
de
Norma
la
Hallamos
r
r
)
(
'
'
)
(
'
'
s
r
s
r
N
N
N
u
=
=
Norma
de
definición
por
t
r
t
r
t
r
que
sabemos
dt
t
r
d
de
Cálculo
)
1
(
)
(
'
.
)
(
'
)
(
'
;
)
(
'
2
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
dt
t
r
d
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
dt
t
r
d
t
r
t
r
dt
t
dr
t
r
ds
dT
t
r
t
r
dt
d
t
r
ds
dt
t
r
t
r
dt
d
t
r
t
r
ds
d
ds
dT
u
u
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
1
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
1
)
(
'
)
(
'
)
(
'
1
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
3
2
(
)
(
)
)
(
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
1
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
1
2
4
3
a
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
ds
dT
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
ds
dT
u
u
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
ds
dT
ds
dT
ds
dT
Como
u
u
u
.
:
2
=
(
)
(
)
(
)
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
1
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
1
3
2
6
2
2
2
6
2
2
s
r
t
r
t
r
x
t
r
K
ds
dT
t
r
x
t
r
t
r
ds
dT
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
ds
dT
u
u
u
=
=
=
=
-
=
(
)
(
)
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
1
)
(
'
'
2
4
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
sr
ds
dT
u
-
=
=
(
)
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
'
)
(
'
2
2
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
s
r
t
r
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
=
ds
dT
N
K
s
r
que
afirmar
puede
se
Entonces
s
r
K
que
y
s
r
s
r
N
que
sabemos
Pero
u
u
u
=
=
=
=
)
(
'
'
:
)
(
'
'
)
(
'
'
)
(
'
'
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
t
xr
t
r
t
xr
t
r
B
=
Lagrange
de
I
N
T
N
T
N
x
T
B
cuadrado
al
elevando
N
x
T
B
u
u
u
u
u
u
u
u
.
/
)
.
(
2
2
2
2
2
-
=
=
=
1
0
.
1
=
=
=
=
B
Entonces
s
ortogonale
ser
por
N
T
y
N
T
u
u
u
u
)
(
'
'
)
(
'
'
s
r
s
r
2
2
)
(
'
'
'
).
(
'
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
'
'
).
(
'
'
)
(
'
K
s
r
s
r
x
s
r
s
r
s
r
s
r
x
s
r
-
=
-
=
t
2
)
(
'
'
)
(
'
'
'
).
(
'
'
)
(
'
s
r
s
r
s
r
x
s
r
-
=
t
(
)
[
]
(
)
)
(
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
0
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
;
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
:
)
)
(
'
'
.
)
(
'
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
1
)
(
'
'
;
)
(
'
)
(
'
)
(
'
:
3
2
4
2
4
C
t
r
t
r
x
t
r
s
r
x
s
r
t
r
x
t
r
Como
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
x
t
r
t
r
s
r
x
s
r
Luego
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
s
r
que
y
t
r
t
r
s
r
que
Sabemos
=
=
-
=
-
=
=
[
]
[
]
[
]
[
]
)
(
'
1
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
1
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
'
'
)
(
'
'
'
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
'
'
4
4
4
2
2
4
2
t
r
t
r
t
r
t
r
dt
d
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
dt
d
t
r
t
r
t
r
s
r
ds
dt
t
r
t
r
t
r
t
r
dt
d
ds
dt
t
r
t
r
dt
d
s
r
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
+
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
-
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
=
[
]
-
-
=
5
2
5
2
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
'
)
(
'
'
'
t
r
t
r
dt
d
t
r
t
r
t
r
t
r
s
r
[
]
[
]
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
+
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
4
5
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
'
t
r
t
r
t
r
dt
d
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
t
r
6
)
(
'
)
(
'
'
'
.
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
'
'
.
)
(
'
'
)
(
'
t
r
t
r
t
r
x
t
r
s
r
s
r
x
s
r
=
u
u
N
K
ds
dT
=
u
u
N
K
ds
dT
=
B
KT
ds
dN
u
u
t
+
-
=
K
ds
dT
u
=
ds
dT
u
^

0
:
//
>
=
=
=
®
c
si
c
N
c
ds
dT
norma
la
Sacando
N
c
ds
dT
N
ds
dT
u
u
u
u
u
u
u
u
N
K
ds
dT
to
Por
K
c
Luego
=
=
:
tan
u
N
B
^
u
u
N
T
^
)
(
)
(
t
v
dt
t
dr
=
)
(
)
(
)
(
lim
)
´(
0
t
v
h
t
r
h
t
r
t
r
t
h
=
-
+
=
®
dt
t
dv
t
a
)
(
)
(
=
dt
t
a
t
dv
entonces
dt
t
dv
t
a
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
(
)
)
,
3
,
2
(
)
0
(
)
(
1
,
6
,
4
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
)
(
)
0
(
0
t
t
t
v
t
v
dt
t
t
t
dv
dt
t
a
t
dv
entonces
dt
t
dv
t
a
t
v
v
t
=
-
=
=
=
ò
ò
)
1
,
1
3
,
1
2
(
)
1
,
1
,
1
(
)
,
3
,
2
(
)
(
2
2
2
2
+
-
+
=
-
+
=
t
t
t
t
t
t
t
v
)
1
,
1
3
,
1
2
(
)
(
2
2
+
-
+
=
t
t
t
t
v
)
(
)
(
t
v
dt
t
dr
=
dt
t
v
t
dr
)
(
)
(
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
=
-
=
+
-
+
=
ò
ò
t
t
t
t
t
t
r
t
r
dt
t
t
t
t
dr
t
t
r
r
2
,
,
3
2
)
0
(
)
(
)
1
,
1
3
,
1
2
(
)
(
2
3
3
0
2
2
)
(
)
0
(
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
+
=
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
=
t
t
t
t
t
t
t
r
to
Por
t
t
t
t
t
t
t
r
2
,
,
1
3
2
)
(
:
tan
)
0
,
0
,
1
(
2
,
,
3
2
)
(
2
3
3
2
3
3
(
)
)
0
,
)
0
(
,
cos
)
0
(
(
)
(
)
0
,
,
0
(
)
0
(
)
(
0
,
,
0
)
(
)
(
)
0
(
0
gt
sen
V
V
t
v
gt
v
t
v
dt
g
t
dv
t
v
v
t
-
=
-
=
-
-
=
ò
ò
a
a
dt
t
v
t
dr
)
(
)
(
=
(
)
(
)
(
)
(
)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
=
-
=
ò
ò
0
,
2
)
0
(
,
cos
)
0
(
)
(
)
0
,
0
,
0
(
0
,
2
)
0
(
,
cos
)
0
(
)
(
)
0
,
)
0
(
,
cos
)
0
(
(
)
(
2
2
0
)
(
)
0
(
gt
t
sen
V
t
V
t
r
gt
t
sen
V
t
V
t
r
dt
gt
sen
V
V
t
dr
t
t
r
r
a
a
a
a
a
a
dt
t
dv
t
a
)
(
)
(
=
)
(
'
)
(
)
(
t
r
dt
t
dr
t
v
=
=
[
]
dt
T
t
r
d
t
a
Luego
T
t
r
t
r
T
t
r
t
r
Como
u
u
u
)
(
'
)
(
:
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
'
=
=
®
=
[
]
[
]
[
]
dt
dT
t
r
T
dt
t
r
d
t
a
entonces
dt
dT
t
r
T
dt
t
r
d
dt
T
t
r
d
t
a
Luego
u
u
u
u
u
)
(
'
)
(
'
)
(
)
(
'
)
(
'
)
(
'
)
(
:
+
=
+
=
=
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
)
(
'
t
r
s
r
dt
ds
ds
s
dr
dt
s
dr
dt
dT
Y
u
u
u
=
=
=
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
:
t
r
t
r
t
r
dt
t
r
d
que
Sabemos
=
u
u
u
N
t
r
t
r
x
t
r
t
r
s
r
dt
dT
emplazando
t
r
t
r
x
t
r
K
y
KN
s
r
Como
2
3
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
:
Re
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
'
=
=
=
=
)
(
'
)
(
'
'
.
)
(
'
)
(
'
)
(
'
'
.
.
)
(
'
:
tan
t
r
t
r
x
t
r
a
y
t
r
t
r
t
r
a
to
Por
u
N
T
=
=