Teorema de Green

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Teorema de Green
Sea una curva C suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, y sea D la región limitada por C. Si P y Q tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a D entonces:
Formas vectoriales del Teorema de Green
Los operadores rot y div nos permiten escribir también otras variantes del teorema de Green que son muy útiles.
A) Supongamos que el campo vectorial F(x, y) actúa en la región plana D y su curva frontera C, y las funciones P, Q, R satisfacen las hipótesis del Teorema de Green.
Esta integral corresponde al trabajo realizado por la componente tangencial de F a lo largo de C.
Si F(x, y) = (P, Q)
RotF=
Como P y Q no dependen de z entonces: 
Por tanto:
RotF
Remplazando:
Luego: 
B) Ahora vamos a considerar la integral de línea de la componente normal de F a lo largo de C:
Si C está dada por 
Entonces 
La tangente unitaria: 
Como estamos en el plano:
= 
Luego: 
Remplazando:
Como C, P y Q cumplen las condiciones del Teorema de Green, podemos aplicarlo a nuestra integral:
En donde: 
Remplazando: