Diferenciabilidad

Vista previa del material en texto

Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Diferenciabilidad
MSc Daniel G. Camacho
Universidad de Piura
Marzo 2010
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Cálculo diferencial
Una inmensa cantidad de problemas de interés son
no-lineales.
Como regla general, a escala suficientemente pequeña,
todo se comporta linealmente. A gran escala empiezan a
surgir las no-linealidades.
El objeto del cálculo diferencial es estudiar las
transformaciones no lineales reemplazándolas por
transformaciones lineales: reemplazamos ecuaciones
no-lineales por ecuaciones lineales, curvas por sus rectas
tangentes, superficies curvas por sus planos tangentes,
etc.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Cálculo diferencial
Una inmensa cantidad de problemas de interés son
no-lineales.
Como regla general, a escala suficientemente pequeña,
todo se comporta linealmente. A gran escala empiezan a
surgir las no-linealidades.
El objeto del cálculo diferencial es estudiar las
transformaciones no lineales reemplazándolas por
transformaciones lineales: reemplazamos ecuaciones
no-lineales por ecuaciones lineales, curvas por sus rectas
tangentes, superficies curvas por sus planos tangentes,
etc.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Cálculo diferencial
Una inmensa cantidad de problemas de interés son
no-lineales.
Como regla general, a escala suficientemente pequeña,
todo se comporta linealmente. A gran escala empiezan a
surgir las no-linealidades.
El objeto del cálculo diferencial es estudiar las
transformaciones no lineales reemplazándolas por
transformaciones lineales: reemplazamos ecuaciones
no-lineales por ecuaciones lineales, curvas por sus rectas
tangentes, superficies curvas por sus planos tangentes,
etc.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La linealización será útil si entendemos si entendemos
bastante bien los objetos lineales.
Este reemplazo debe estar justificado.
Localmente, cerca del punto de tangencia, la recta puede
ser muy similar a la curva, pero esto no es ası́ lejos de
dicho punto.
La parte más difı́cil del cálculo diferencial es determinar
cuando se justica reemplazar un objeto no-lineal por uno
lineal.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La linealización será útil si entendemos si entendemos
bastante bien los objetos lineales.
Este reemplazo debe estar justificado.
Localmente, cerca del punto de tangencia, la recta puede
ser muy similar a la curva, pero esto no es ası́ lejos de
dicho punto.
La parte más difı́cil del cálculo diferencial es determinar
cuando se justica reemplazar un objeto no-lineal por uno
lineal.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La linealización será útil si entendemos si entendemos
bastante bien los objetos lineales.
Este reemplazo debe estar justificado.
Localmente, cerca del punto de tangencia, la recta puede
ser muy similar a la curva, pero esto no es ası́ lejos de
dicho punto.
La parte más difı́cil del cálculo diferencial es determinar
cuando se justica reemplazar un objeto no-lineal por uno
lineal.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La linealización será útil si entendemos si entendemos
bastante bien los objetos lineales.
Este reemplazo debe estar justificado.
Localmente, cerca del punto de tangencia, la recta puede
ser muy similar a la curva, pero esto no es ası́ lejos de
dicho punto.
La parte más difı́cil del cálculo diferencial es determinar
cuando se justica reemplazar un objeto no-lineal por uno
lineal.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Derivada de una función real
Definición:Derivada
Sea I un intervalo abierto en<, y sea f : I →<. La función f
es diferenciable en x0 ∈ I, con derivada f ′(x0) si existe el lı́mite
f ′(x0) = lı́m
h→0
1
h
(f(x0 + h) − f(x0)) .
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Derivada de una función vectorial
Definición:Derivada
Sea f : I ⊆ < → <n un camino definido en el intervalo abierto
I de<. Sea t0 ∈ I. Se define la derivada de f en t0, denotada
por f ′(t0) o fdt (t0), como el lı́mite
f ′(t0) = lı́m
h→0
f(t0 + h) − f(t0)
h
cuando éste existe. En tal caso se dice que el camino f es
diferenciable en t0. Si f es diferenciable en todos los puntos de
I, decimos que es diferenciable en I.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
f ′(t0) = lı́m
h→0
f(t0 + h) − f(t0)
h
= lı́m
h→0
(x1(t0 + h), . . . , xn(t0 + h)) − (x1(t0), . . . , xn(t0))
h
= lı́m
h→0
(
x1(t0 + h) − x1(t0)
h
, . . . ,
x1(t0 + h) − xn(t0)
h
)
=
(
lı́m
h→0
x1(t0 + h) − x1(t0)
h
, . . . , lı́m
h→0
xn(t0 + h) − xn(t0)
h
)
= (x′1(t0), . . . , x
′
n(t0))
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La derivada f ′(t0) de una función vectorial f es un vector.
El camino f es diferenciable en t0 si y sólo si sus
funciones coordenadas lo son.
El vector derivada es tangente a la curva en P = f(t0).
El vector tangente f ′(t0) mide la velocidad a la se se
trazan la imágenes en la curva.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La derivada f ′(t0) de una función vectorial f es un vector.
El camino f es diferenciable en t0 si y sólo si sus
funciones coordenadas lo son.
El vector derivada es tangente a la curva en P = f(t0).
El vector tangente f ′(t0) mide la velocidad a la se se
trazan la imágenes en la curva.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La derivada f ′(t0) de una función vectorial f es un vector.
El camino f es diferenciable en t0 si y sólo si sus
funciones coordenadas lo son.
El vector derivada es tangente a la curva en P = f(t0).
El vector tangente f ′(t0) mide la velocidad a la se se
trazan la imágenes en la curva.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
La derivada f ′(t0) de una función vectorial f es un vector.
El caminof es diferenciable en t0 si y sólo si sus
funciones coordenadas lo son.
El vector derivada es tangente a la curva en P = f(t0).
El vector tangente f ′(t0) mide la velocidad a la se se
trazan la imágenes en la curva.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Ejemplo:
f : [0, 2π]→<2 f(t) = (R cos t ,R sin t).
Ejemplo:
g : [0, π]→<2 g(t) = (R cos 2t ,R sin 2t).
Ejemplo:
h : <→ <2 h(t) = (t , |t |).
Ejemplo:
H : <→ <2 H(t) = (t3, t2|t |).
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Ejemplo:
f : [0, 2π]→<2 f(t) = (R cos t ,R sin t).
Ejemplo:
g : [0, π]→<2 g(t) = (R cos 2t ,R sin 2t).
Ejemplo:
h : <→ <2 h(t) = (t , |t |).
Ejemplo:
H : <→ <2 H(t) = (t3, t2|t |).
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Ejemplo:
f : [0, 2π]→<2 f(t) = (R cos t ,R sin t).
Ejemplo:
g : [0, π]→<2 g(t) = (R cos 2t ,R sin 2t).
Ejemplo:
h : <→ <2 h(t) = (t , |t |).
Ejemplo:
H : <→ <2 H(t) = (t3, t2|t |).
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Ejemplo:
f : [0, 2π]→<2 f(t) = (R cos t ,R sin t).
Ejemplo:
g : [0, π]→<2 g(t) = (R cos 2t ,R sin 2t).
Ejemplo:
h : <→ <2 h(t) = (t , |t |).
Ejemplo:
H : <→ <2 H(t) = (t3, t2|t |).
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Camino regular
Los ejemplos anteriores demuestran que la
diferenciabilidad de un camino f : I ⊆ < → <n no detecta
los picos de la curva que representa.
Los picos presentan un problema geométrico al no poder
asociar allı́ una recta tangente a la curva.
La propiedad de las curvas de poder trazar rectas
tangentes a ellas se denomina “regularidad”.
La regularidad es una propiedad de los caminos de clase
C 1. Un camino es de clase C 1 si es diferenciable y su
derivada f ′ : I →<n es una función continua.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Camino regular
Los ejemplos anteriores demuestran que la
diferenciabilidad de un camino f : I ⊆ < → <n no detecta
los picos de la curva que representa.
Los picos presentan un problema geométrico al no poder
asociar allı́ una recta tangente a la curva.
La propiedad de las curvas de poder trazar rectas
tangentes a ellas se denomina “regularidad”.
La regularidad es una propiedad de los caminos de clase
C 1. Un camino es de clase C 1 si es diferenciable y su
derivada f ′ : I →<n es una función continua.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Camino regular
Los ejemplos anteriores demuestran que la
diferenciabilidad de un camino f : I ⊆ < → <n no detecta
los picos de la curva que representa.
Los picos presentan un problema geométrico al no poder
asociar allı́ una recta tangente a la curva.
La propiedad de las curvas de poder trazar rectas
tangentes a ellas se denomina “regularidad”.
La regularidad es una propiedad de los caminos de clase
C 1. Un camino es de clase C 1 si es diferenciable y su
derivada f ′ : I →<n es una función continua.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Camino regular
Los ejemplos anteriores demuestran que la
diferenciabilidad de un camino f : I ⊆ < → <n no detecta
los picos de la curva que representa.
Los picos presentan un problema geométrico al no poder
asociar allı́ una recta tangente a la curva.
La propiedad de las curvas de poder trazar rectas
tangentes a ellas se denomina “regularidad”.
La regularidad es una propiedad de los caminos de clase
C 1. Un camino es de clase C 1 si es diferenciable y su
derivada f ′ : I →<n es una función continua.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Camino regular
Sea f : I ⊆ < → <n un camino de clase C 1. Se dice que éste
es un camino regular si f ′(t) , 0 (el vector 0 de<n) para todo
t ∈ I.
En el curso nos interesarán solamente los caminos
regulares. De este modo siempre podremos asociar
rectas tangentes y planos normales a las curvas que
éstos representan.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Camino regular
Sea f : I ⊆ < → <n un camino de clase C 1. Se dice que éste
es un camino regular si f ′(t) , 0 (el vector 0 de<n) para todo
t ∈ I.
En el curso nos interesarán solamente los caminos
regulares. De este modo siempre podremos asociar
rectas tangentes y planos normales a las curvas que
éstos representan.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Recta tangente
Sea f : I ⊆ < → <3 un camino regular. Sea t0 ∈ I. La recta
tangente a la curva correspondiente en f(t0), es la recta en
<3 que pasa por f(t0) y es paralela al vector f ′(t0). Dicha recta
es la imagen del camino g : <→ <3 definido como:
g(s) = f(t0) + sf ′(t0)
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Plano normal
Para el camino f : I ⊆ < → <3, el plano normal a la curva
correspondiente en f(t0), es el plano en<3 que pasa por f(t0)
y tiene allı́ a f ′(t0) como vector normal. La ecuación de dicho
plano es:
(x − f(t0)) · f ′(t0) = 0
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
En los razonamientos que siguen consideramos los camino
diferenciables:
f : I ⊆ < → <n
g : I ⊆ < → <n
Para cada t ∈ I formamos el producto escalar de los vectores
f(t) y g(t), definimos la función:
ϕ : I →<
ϕ(t) = f(t) · g(t) =
n∑
i=1
xi(t)yi(t)
xi : I →< son las funciones coordenadas de f(t) y yi : I →<,
son las funciones coordenadas de g(t), para i = 1, 2, . . . , n.
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Derivada de un producto escalar
ϕ′(t) =
d
dt
n∑
i=1
xi(t)yi(t) =
∑ d
dt
(xi(t)yi(t))
=
n∑
i=1
(xi(t)y′i (t) + yi(t)x
′
i (t))
=
n∑
i=1
xi(t)y′i (t) +
n∑
i=1
yi(t)x′i (t)
d
dt
(f(t) · g(t)) = f(t) · g′(t) + g(t) · f ′(t)
Diferenciabilidad
MSc Daniel G.
Camacho
Diferenciabilidad
Curvas
regulares
Recta tangente
y plano normal
Algunas reglas
de derivación
Derivada de un
producto escalar
Derivada de la norma
Derivada de la norma
Si en la expresión anterior hacemos g(t) = f(t), queda
d
dt
(f(t) · f(t)) = f(t) · f ′(t) + f(t) · f ′(t) = 2f(t) · f ′(t)
d
dt
‖f(t)‖2 = 2f(t) · f ′(t)
2‖f(t)‖
d
dt
‖f(t)‖ = 2f(t) · f ′(t)
d
dt
‖f(t)‖ =
f(t) · f ′(t)
‖f(t)‖