16 1 EDO Lineal

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Aplicaciones de la Integral Definida
Dpto. Académico de Matemática
UNALM
Ciclo: 2020 - II
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 1 / 8
1. Ecuación Diferencial Lineal
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es de la forma:
dy
dx
+ P(x)y = Q(x)
Donde P,Q , son funciones continuas.
Teorema
Sea la ecuación diferencial lineal
dy
dx
+ P(x)y = Q(x),con P(x) y Q(x) funciones continuas
en cierto intervalo en el que P (́x) = P(x), x0 ∈ I . Entonces g(x) es una solución general de
la E.D.Lineal dada por:
g(x) = e
−
∫ x
x0
P(t)dt
[∫ x
x0
Q(x)e
∫ x
x0
P(t)dt
dt + C
]
.
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2.Pasos para resolver una ecuación diferencial lineal
1 Primero hallar el factor integrante
I (x) = e
∫
P(x)dx
2 Posteriormente, multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por I (x).
I (x)
dy
dx
+ I (x)P(x)y = I (x)Q(x)
3 Identificar el lado izquierdo de la ecuación resultante como la derivada de un producto:
d
dx
[I (x)y(x)] = I (x)Q(x)
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2.Pasos para resolver una ecuación diferencial lineal
1 Primero hallar el factor integrante
I (x) = e
∫
P(x)dx
2 Posteriormente, multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por I (x).
I (x)
dy
dx
+ I (x)P(x)y = I (x)Q(x)
3 Identificar el lado izquierdo de la ecuación resultante como la derivada de un producto:
d
dx
[I (x)y(x)] = I (x)Q(x)
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 3 / 8
2.Pasos para resolver una ecuación diferencial lineal
1 Primero hallar el factor integrante
I (x) = e
∫
P(x)dx
2 Posteriormente, multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por I (x).
I (x)
dy
dx
+ I (x)P(x)y = I (x)Q(x)
3 Identificar el lado izquierdo de la ecuación resultante como la derivada de un producto:
d
dx
[I (x)y(x)] = I (x)Q(x)
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 3 / 8
1 Finalmente, integrar la ecuación,
I (x)y(x) =
∫
I (x)Q(x)dx + C
después resolver y obtener la solución general de la ecuación diferencial original.
Nota . Dada una condición inicial (x0, y0), se puede sustituir x por x0 y y por y0 en la
solución general y resolver para conocer el valor de C .
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1 Finalmente, integrar la ecuación,
I (x)y(x) =
∫
I (x)Q(x)dx + C
después resolver y obtener la solución general de la ecuación diferencial original.
Nota . Dada una condición inicial (x0, y0), se puede sustituir x por x0 y y por y0 en la
solución general y resolver para conocer el valor de C .
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 4 / 8
1 Finalmente, integrar la ecuación,
I (x)y(x) =
∫
I (x)Q(x)dx + C
después resolver y obtener la solución general de la ecuación diferencial original.
Nota . Dada una condición inicial (x0, y0), se puede sustituir x por x0 y y por y0 en la
solución general y resolver para conocer el valor de C .
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 4 / 8
Ejemplo
1 Resolver la ecuación diferencial: xy ′ − 4y = x
5
(cos x . cot x)
(
3
√
sec x
)
Solución.
Dividiendo por x obtenemos y ′ − 4
x
y =
x4 (sec x)
(cot x)
(
3
√
sec x
)
Buscamos el factor integrante:
u (x) = e
∫
− 4x dx = x−4
y multiplicamos este factor en ambos lados de la igualdad
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 5 / 8
Ejemplo
1 Resolver la ecuación diferencial: xy ′ − 4y = x
5
(cos x . cot x)
(
3
√
sec x
)
Solución.Dividiendo por x obtenemos y ′ − 4
x
y =
x4 (sec x)
(cot x)
(
3
√
sec x
)
Buscamos el factor integrante:
u (x) = e
∫
− 4x dx = x−4
y multiplicamos este factor en ambos lados de la igualdad
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x−4y ′ − 4x−5y = sec x
(cot x)
(
3
√
sec x
)∫
d
dx
( y
x4
)
=
∫
sec x
(cot x)
(
3
√
sec x
)dx
cambio de variable : u = sec x =⇒ du = sec x . tan xdx
y
x4
=
∫
(sec x)−
1
3 (sec x . tan x) dx
La solución es,
y =
3
2
x4
(
3
√
sec2 x
)
+ Cx4
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 6 / 8
1 Resolver la ecuación diferencial: xy ′ − y = x2sen2 (ln x); y (1) = 0
Solución.Dividiendo por x obtenemos: y ′ − yx = xsen2 (ln x)
Buscamos el factor integrante: u (x) = e
∫
− 1x dx = x−1 y multiplicamos este factor en ambos
lados de la igualdad
x−1y ′ − x−−2y = xsen2 (ln x)∫
d
dx
( y
x4
)
=
∫
xsen2 (ln x) dx
cambio de variable : z = ln x =⇒ x = ez =⇒ dx = ezdz
Sea, I =
∫
ez .sen2zdz =
1
2
∫
ez . (1− cos (2z)) dz
= −1
2
∫
ez . (cos (2z)− 1) dz
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 7 / 8
1 Resolver la ecuación diferencial: xy ′ − y = x2sen2 (ln x); y (1) = 0
Solución.
Dividiendo por x obtenemos: y ′ − yx = xsen2 (ln x)
Buscamos el factor integrante: u (x) = e
∫
− 1x dx = x−1 y multiplicamos este factor en ambos
lados de la igualdad
x−1y ′ − x−−2y = xsen2 (ln x)∫
d
dx
( y
x4
)
=
∫
xsen2 (ln x) dx
cambio de variable : z = ln x =⇒ x = ez =⇒ dx = ezdz
Sea, I =
∫
ez .sen2zdz =
1
2
∫
ez . (1− cos (2z)) dz
= −1
2
∫
ez . (cos (2z)− 1) dz
Dpto. Académico de Matemática UNALM Aplicaciones de la Integral Definida Ciclo: 2020 - II 7 / 8
1 Resolver la ecuación diferencial: xy ′ − y = x2sen2 (ln x); y (1) = 0
Solución.Dividiendo por x obtenemos: y ′ − yx = xsen2 (ln x)
Buscamos el factor integrante: u (x) = e
∫
− 1x dx = x−1 y multiplicamos este factor en ambos
lados de la igualdad
x−1y ′ − x−−2y = xsen2 (ln x)∫
d
dx
( y
x4
)
=
∫
xsen2 (ln x) dx
cambio de variable : z = ln x =⇒ x = ez =⇒ dx = ezdz
Sea, I =
∫
ez .sen2zdz =
1
2
∫
ez . (1− cos (2z)) dz
= −1
2
∫
ez . (cos (2z)− 1) dz
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Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.
1
dy
dx
+ y = e3x .
2 y ′ + 3x2y = x2.
3 y ′ + 2y = x2 + 2x .
4 x ′ + 2xy = y3.
5 (x2 + 2x − 1)y ′ − (x + 1)y = x − 1.
6 (x ln x)y ′ − y = x3(ln x − 1).
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