viga Semi infinita sobre Fundación Elástica

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE INGENIERÍA CAMPUS GUANAJUATO
Estructuras de Pared Delgada
Práctica #1
“Viga Semi infinita sobre Fundación Elástica”
Ingeniería Aeronáutica
“6AM1”
Profesor: Higinio Juárez Ríos
Equipo:
Alday Hernández Mauricio Isaac
Gamiño Alegría Gustavo Ulises
Silva Contreras Lucía del Carmen
Sonderegger Bello Fabián
Torres Mejía Magali Giselle
Fecha de Entrega: 22 de Febrero 2019
Resumen
En esta práctica se compararon mediante gráficas los valores obtenidos de la simulación en ANSYS para fundación elástica vs las gráficas resultantes de las ecuaciones para vigas semi-infinitas obtenidas en clase; dicha simulación realizada con un código modificado por nosotros con base a los conocimiento previos que poseíamos del programa, para lo cual se propusieron valores de entrada para un material con las especificaciones de la normativa ASTM, de donde se obtuvieron sus propiedades con el fin de aproximarnos a resultados más reales y exactos. De la comparativa de resultados se obtuvo una diferencia con un margen de error menor al 1%, lo cual se analiza y se busca explicar por qué los valores no son exactamente iguales, y se propone una solución para aproximar aún más los resultados a sus valores reales respecto a lo esperado de acuerdo a lo estudiado.
Objetivo
Analizar el comportamiento de una viga rectangular larga (semi-infinita) sobre una base elástica cuando se dobla por una fuerza F y un momento M aplicados en un extremo de ella.
Objetivos Específicos
· Determinar la deformación en el extremo lateral de la viga.
· Realizar el modelo experimental en ANSYS, dándole solución para compararlo con los resultados obtenidos teóricamente.
Introducción
La teoría fundamental de la deflexión de una viga sobre una base elástica se basa en que la viga esté descansando sobre un conjunto de resortes distribuidos continuamente y su rigidez se define por un módulo de la fundación k. Aunque es muy raro que este constituido de esta manera realmente. En general, la base es continua elásticamente caracterizada por dos constantes elásticas: un módulo de Elasticidad E y una relación de Poisson V.[footnoteRef:1] [1: ] 
Se aplica una carga puntual P en el origen de los ejes x,y,z. La carga provoca que la viga se deflecte, lo que desplaza la fundación elástica. Esto provoca que una fuerza se desarrolle entre la viga y la fundación. Por lo tanto, la rigidez de la fundación produce una fuerza uniformemente distribuida en la viga.
“Para una fundación elástica lineal, la carga distribuida q es proporcional a la deflexión de la viga: q =k y donde el coeficiente de resorte k puede escribirse como: k= b”[footnoteRef:2] [2: ] 
En que b es el ancho uniforme de la viga y es el módulo de la fundación (módulo de Westergaard's). Cuando la viga descansa sobre el suelo. el módulo de la fundación puede ser altamente variable. A menudo en diseño de fundaciones de edificios, las estimaciones iniciales del módulo k se basan en descripciones cualitativas del suelo o algún conocimiento de la resistencia a la compresión.
La teoría elemental asume la posibilidad de presiones negativas entre la cimentación y la viga. Estas presiones negativas son generalmente pequeñas. En casos prácticos el peso muerto de la viga introduce una presión positiva uniforme que puede ser suficiente para evitar la aparición real de presiones negativas en la fundación[footnoteRef:3] [3: ] 
Marco teórico 
Viga semi-infinita en fundación elástica.
Se entiende como fundación elástica como el caso de una viga sobre apoyos elásticos infinitos cuando la separación entre estos tiende a cero, formando un continuo con propiedades análogas a las de un resorte sosteniendo el completo de la viga.Figura 1. Viga semi infinita en fundación elástica con carga en el extremo
Si una viga con suficiente longitud como para ser considerada infinita se coloca sobre una fundación elástica y se carga en un extremo por una fuerza “P” y un momento “M0” (fig.1), la viga presentará una curva de la elástica dada por: 5
 (1)
Para el cual β se define:
 (2)
Para el cual “k” es la constante de elasticidad de Hooke para la fundación elástica, “E” el módulo de Young de la viga cargada e “I” el valor de inercia del área de la viga.
Para encontrar los valores de las constantes A, B, C y D debemos recurrir a las ecuaciones diferenciales de la elástica en vigas. Por deducción se puede saber que la deflexión de la viga al alejarse lo suficiente de las cargas tenderá a cero, es decir:
 (a)
También se conoce que el valor de la cortante en el origen debe ser igual a la carga aplicada “P” y el de momento igual a “M0”, es decir:
 (b)
 (c)
Al derivar la ecuación 1 y sustituir los datos de las condiciones de frontera a, b y c se encuentra que 
 (3)
 (4)
 (5)
De este modo al sustituir las ecuaciones 3, 4 y 5 en 1, la ecuación general de elástica para vigas semi infinitas en fundación elástica es de la forma
 (6) 
Siendo derivable para obtener los valores de giro, cortante y momento en un punto determinado; quedando las siguientes ecuaciones:
			 (7)
 (8)
 (9)
En caso de que se nos otorguen las dimensiones transversales de la viga se debe de calcular su inercia con la fórmula:
		 (10)
Donde es la base de la sección transversal de la viga y es la altura de esta sección.
Análisis de elemento finito
Para el análisis de elemento finito la pieza se subdivide en partes más pequeñas llamadas elementos, discretizando el componente a analizar.
En cada elemento se crean puntos de unión llamados nodos. Dos nodos serán adyacentes si pertenecen al mismo elemento, y un nodo podrá pertenecer a varios elementos al mismo tiempo. Los conjuntos de nodos forman la malla sobre la cual se realizan las operaciones mediante relaciones de adyacencia o conectividad. El conjunto de relaciones se puede linealizar para formar una matriz de rigidez del sistema, a la cual al darle solución se obtienen los resultados de cargas por nodos. Este método se caracteriza por su convergencia, al dividir el cuerpo a analizar en elementos cada vez más pequeños, el resultado se aproxima más a la realidad. 4Figura 2. Ejemplo de elementos y nodos en un cuerpo 
El proceso de solución se realiza en tres etapas: pre proceso, solución y post proceso. En el pre proceso se debe discretizar el dominio a estudiar, desarrollar las ecuaciones lineales correspondientes al elemento, construir la matriz de rigideces y obtener los valores de frontera, condiciones iniciales y cargas. Para la solución se debe dar respuesta a la matriz de rigideces al aplicársele las condiciones conocidas. En el post proceso se entregan los resultados obtenidos como pueden ser desplazamientos, fuerzas, temperaturas etcétera según los datos que se ingresaron.
Hoy en día para facilitar el proceso de diseño y análisis de piezas se han creado programas computacionales que realizan el cálculo por elemento finito como la suite de ANSYS.
Diagrama de bloques de procedimiento
.
Equipo
· Ansys Académico
· Software gráficador (Scilab).
Metodología
Problema a resolver 
Graficar el desplazamiento, giro, momento y cortante de una viga semi-infinita con fundación elástica con las siguientes características:
	Propiedades del material
	Propiedades geométricas de la viga
	Fuerzas
	 
	,
	Carga puntual en x=0 de P=2,500 lb.
	
	
	Momento puntual en x=0 de 
Obtener los siguientes datos de la viga:
· Magnitud y posición del momento máximo.
· Magnitud y posición del cortante máximo.
Resolviendo de forma analítica 
Para analizar vigas de fundación elástica sin el uso de un software de simulación se deben de aplicar los principios ya mencionados en el marco teorico.
Como primer paso se utiliza la ecuación (2) con los valores de I, E y K previamente otorgados por el problema, obtenemos que el valor de la constante β es: β=44.
También se debe de calcular la inercia de viga aplicando la ecuación(10.)
Conociendo el valor de estas constantes es posible conocer el valor del desplazamiento utilizando la ecuación (6). Dado que esta ecuación es una función de la posición de la viga está debe de graficarse para observar su comportamiento hacer uso de un software para graficarla ecuación, esta última opción es más rápida y precisa. En esta ocasión, se hizo uso de Scilab.
El paso anterior se repite para obtener las ecuaciones y graficas de giro, momento y cortante utilizando las ecuaciones (7), (8) y (9) respectivamente. Al obtener las gráficas también obtenemos la posición y la magnitud de los datos pedidos por el problema.
Resultados
Resultados analíticos
A continuación se presentan las gráficas de desplazamiento, giro, momento y cortante obtenidas de forma analítica y haciendo uso de Scilab.
Grafica del desplazamiento 
Grafica del giro 
Grafica del momento 
Grafica del cortante
Momento máximo: 
Cortante máximo: 
Resultados de la simulación
Ahora se presentan las gráficas de desplazamiento, giro, momento y cortante obtenidas en la simulación de un viga con fundación elástica de las características requeridas en el problema en ANSYS.
Para esto se utilizó el siguiente código:
/PREP7
ET,1,BEAM189 
SECTYPE,1,BEAM,RECT
SECDATA,7,3
MP,EX ,1,29E6
MP,PRXY,1,0.26
ET,2,156,,,,,1 
R,2,1450 
TYPE,1
REAL,1
N,1,0,0,0
*repeat,231,1,1,0,0
*DO,i,1,229,2
 E,i,i+2,i+1
*ENDDO
TYPE,2
REAL,2
*DO,i,1,229,2
 E,i,i+2,i+1
*ENDDO
F,1,FY,-2500 
F,1,MZ,17450 
D,1,UX
DSYM,SYMM,Z
OUTPR,,1
FINISH
/SOLU 
SOLVE
/POST1
/PNUM,ELEM,1
EPLOT
ETABLE,CORT,SMISC,6,19
PLLS,CORT,CORT
ETABLE,MZ,SMISC,3,16
PLLS,MZ,MZ
Gráfica de desplazamiento
Gráfica de giro
Gráfica de momento
Gráfica de cortante
Momento máximo: 
Cortante máximo: 
Análisis de resultados
Para las gráficas en Scilab en este caso, se debe de multiplicar las funciones de desplazamiento y giro por un signo negativo, ya que el desplazamiento se realiza en –y es el positivo de la función.
Se debe de definir la convención de signos a utilizar para plantear el signo del momento puntual en x=0 y mantenerlo a lo largo del problema, de lo contrario los resultados varían.
Se puede reducir de forma significativa el desplazamiento en y de la barra si se aumenta su inercia.
Respecto al cálculo del esfuerzo cortante se tiene un error del 0.0188%, y el comportamiento de las gráficas presenta una gran similitud al intersectar el eje x.
Para el cálculo de momento se presenta una mayor variación entre el valor esperado y el obtenido, con un error del 42.2157% pese a que el comportamiento de las gráficas es similar y la gráfica de simulación es más aproximada al comportamiento que se podría intuir de la viga.
Conclusiones 
Alday Hernández Mauricio Isaac
El haber podido desarrollar con mas tranquilidad en clase todas las ecuaciones para la viga semi infinita hicieron posible que nuestros resultados teóricos fueran más ágilmente calculados y pudiéramos percibir los errores que cometíamos y las variaciones que provocaba el programa de simulación de Ansys. Al ser semi infinita y no propiamente infinita el comportamiento era más semejante a los que ya conocíamos de materias anteriores y era más fácil aplicar conocimientos previos para la generación del código.
Gamiño Alegría Gustavo Ulises
Silva Contreras Lucía del Carmen
El análisis por simulación y el analítico permiten de forma rápida observar el comportamiento de la estructura pero den caso de que estos no coincidan causan un conflicto al momento de comparar los resultados obtenidos. En lo personal, considero que aunque un software de simulación puede ser lo más próximo al comportamiento de la viga, es más probable cometer un error en él que de la forma analítica. A pesar de lo anterior ambos procedimientos muestran formas similares de graficas.
Sonderegger Bello Fabián
Para el cálculo de distribución del esfuerzo cortante el programa es aceptable, para el cálculo de distribución de momento en cambio se presenta una variación demasiado grande entre los resultados; por lo que se debe tener gran reserva al utilizar el programa creado al calcular momento y aceptar los resultados de cortante como confiables.
Torres Mejía Magali Giselle
Anexos
Anexo 1:Código del problema para Scilab
//Desplazamiento en funcion de la posición
clc
clear
b=3;//[in]
h=7;//[in]
E=29000000;//[psi]
I=b*h^3/12;//[in^4]
k=1450;//[lb/in^3]
P=2500;
Mo=-17450;
B=(k/(4*E*I))^(1/4);
L=230 //[in]
function y=eje(x)
 y=0
endfunction
//Desplazamiento en funcion de la posición
function y=desplazamiento(x)
 y=-(exp(-B*x)/(2*E*I*B^3))*(P*cos(B*x)+…
 …Mo*B*(-cos(B*x)+sin(B*x)))
endfunction
x=0:1:L;
plot(x,desplazamiento)
plot(x,eje)
//Giro
clc
clear
b=3;//[in]
h=7;//[in]
E=29000000;//[psi]
I=b*h^3/12;//[in^4]
k=1450;//[lb/in^3]
P=2500;
Mo=17450;
B=(k/(4*E*I))^(1/4);
L=230 //[in]
function y=eje(x)
 y=0
endfunction
function y=giro(x)
 y=-(exp(-B*x)/(2*E*I*B^2))*[-P*(cos(B*x)+…
 … sin(B*x))+Mo*B*(-2*cos(B*x))]
endfunction
x=0:1:L;
plot(x,giro)
plot(x,eje)
//Momento
clc
clear
b=3;//[in]
h=7;//[in]
E=29000000;//[psi]
I=b*h^3/12;//[in^4]
k=1450;//[lb/in^3]
P=2500;
Mo=-17450;
B=(k/(4*E*I))^(1/4);
L=230 //[in]
function y=eje(x)
 y=0
endfunction
function y=momento(x)
 y=-(exp(-B*x)/B)*[P*sin(B*x)+…
 … Mo*B*(-cos(B*x)-sin(B*x))]
endfunction
x=0:1:L;
plot(x,momento)
plot(x,eje)
//Cortante
clc
clear
b=3;//[in]
h=7;//[in]
E=29000000;//[psi]
I=b*h^3/12;//[in^4]
k=1450;//[lb/in^3]
P=2500;
Mo=17450;
B=(k/(4*E*I))^(1/4);
L=230 //[in]
function y=eje(x)
 y=0
endfunction
function y=cortante(x)
 y=exp(-B*x)*[P*(cos(B*x)-sin(B*x))+…
Bibliografía
 Eisenberger, M. and Clastornik J. (1945). “Journal of Engineering Mechanics” Montana: ASCE
2 M.A. Biot. (1937). “Bending of an Infinite Ring in Elastic Fundation”. Cambridge, Massachusetts: Harvard University.
3 Head, M. C. and Aristizábal-Ochoa J. Darío (1987). " Beams on variable two-parameter elastic foundation.” ASCE
4Ptolomeo UNAM. (20 de febrero de 2019). Conceptos básicos del metodo por elemento finito. Obtenido de http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/jspui/bitstream/132.248.52.100/2548/11/011-MPM-Cap8-Final.pdf
5Timoshenko, S. (1948). Strength of Materials Part II Advanced Theory and Problems. New York: D. Van Nostrand Company Inc.
Simulación en el software ANSYS 19.1
Utilizar código para viga semi-infinita en fundación elástica.
Modificar con los valores de entrada (propiedades, dimensiones y cargas).
Simular con los valores dados.
Gráficas las mismas 4 gráficas con las ecuaciones obtenidas en clase.
Obtener las gráficas de desplazamiento, giro, momento y corte debido a las cargas aplicadas. 
Comparar las gráficas que corresponden entre sí y calcular las variaciones hay.
Analizar por qué no son exactamente iguales y cómo se puede corregir.