Ejemplo de aplicación de prueba de Independencia de Ji

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Ejemplo de aplicación de prueba de Independencia de Ji-cuadrada.
Los organismos vertebrados son capaces de producir moléculas que los defienden de agentes infecciosos, conocidos como anticuerpos.
La Biotecnología ha sido capaz de producir dichas proteínas a través de trangénesis y de levaduras que las sintetizan. Además ha sido capaz de producir anticuerpos contra sustancias que causan enfermedades como cáncer o enzimas intermediarias de procesos de enfermedad. Por ejemplo se produce un anticuerpo monoclonal (Denosumab) contra una proteína llamada RANK-L que favorece el cáncer de hueso al degradarlo. En la osteoporosis o pérdida de hueso también interviene RANK-L.
Para conocer si el tratamiento para detener o revertir osteoporosis severa en mujeres adultas reduce la frecuencia de fracturas en el segmento distal del hueso del Radio, se llevó a cabo un ensayo aleatorizado para comparar el anticuerpo monoclonal humano Denosumab con un Placebo, bajo una suplementación de calcio y vitamina D, para los dos grupos.
Al final del estudio hubo 2 grupos, con los resultados resumidos en el siguiente cuadro.
	Estudio Osteoporosis
	Con fractura
	Sin fractura
	Total
	Placebo
	50
	1356
	1406
	Denosumab
	30
	1354
	1384
	Total
	80
	2710
	2790
La hipótesis nula correspondiente es: La frecuencia de fracturas es independiente del grupo de tratamiento.
La hipótesis alterna es: hay asociación entre la frecuencia de fracturas y el grupo de tratamiento.
Si la hipótesis nula es verdadera entonces la probabilidad de observar a una persona fracturada y del grupo de Placebo será igual al producto de P(Placebo ) x P(Fractura), y así sucesivamente.
Dichas probabilidades se calculan de la siguiente manera:
	Grupo
	Cálculo
	Probabilidad
	Placebo
	1406 / 2790
	0.5039
	Denosumab
	1384 / 2790
	0.4961
	Con fractura
	80 / 2790
	0.0287
	Sin fractura
	2710 / 2790
	0.9713
	Grupo
	Cálculo
	Probabilidad
	Placebo, Con fractura
	0.5039 x 0.0287
	0.0145
	Placebo, Sin fractura
	0.5039 x 0.9713
	0.4894
	Denosumab, Con fractura
	0.4961 x 0.0287
	0.0142
	Denosumab, Sin fractura
	0.4961 x 0.9713
	0.4819
Como se puede observar la suma de las probabilidades de los 4 renglones es igual a 1.
Para calcular el número de personas (frecuencia) que se esperaría habría en cada grupo se multiplican las probabilidades por el gran total:
	Grupo
	Cálculo
	Frecuencia
Esperada
	Placebo, Con fractura
	0.0145 x 2790
	40.32
	Placebo, Sin fractura
	0.4894 x 2790
	1365.68
	Denosumab, Con fractura
	0.0142 x 2790
	39.68
	Denosumab, Sin fractura
	0.4819 x 2790
	1344.32
Ahora lo que queda es comparar los valores observados con los valores esperados. Los valores de desviación deben de ser relativos al valor esperado para poder hacer la comparación. Como algunas diferencias serán positivas y otras negativas su suma será igual a cero, por lo que se utilizaran las diferencias elevadas al cuadrado como proporción de los valores esperados.
	Grupo
	Observado
	Esperado
	Diferencia
	Diferencia2
	Dif2. /Esperado
	Placebo, Con fractura
	50
	40.32
	9.68
	93.7024
	2.3936
	Placebo, Sin fractura
	1356
	1365.68
	-9.68
	93.7024
	0.0686
	Denosumab, Con fractura
	30
	39.68
	-9.68
	93.7024
	2.3614
	Denosumab, Sin fractura
	1354
	1344.32
	9.68
	93.7024
	0.0697
	Suma (X2 o Ji-cuadrada)
	
	
	
	
	4.9255
Cada diferencia al cuadrado y su suma siguen una distribución conocida como Ji-cuadrada, así que al comparar esa suma, llamada Ji-cuadrada calculada, con la Ji-cuadrada de área de la curva para un 95% de confianza o 0.05 de significancia se puede concluir si hay independencia o no. Como es de suponerse una Ji-cuadrada muy grande significa que la probabilidad de independencia es muy baja o casi cero y por lo tanto existe una asociación y, por ello, se rechaza la hipótesis nula. En caso de que la Ji-cuadrad resulte menor a la de tablas no se rechaza la hipótesis nula y por lo tanto hay independencia.
Para este ejemplo y cualquier comparación que corresponda a una tabla 2 x 2 (2 columnas y 2 renglones) el valor de referencia correspondiente a Ji-cuadrada de áreas de la curva es de 3.8416.
Por lo tanto para este ejemplo al observar que 4.9255 es mayor a 3.8416 concluimos que la frecuencia de fracturas está asociada al tratamiento recibido.