T3

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Tarea 3 
 
1. Verifica que la funciones: 
a) senxcttxfz )cos(),( == 
b) )()cos(),( ctxsenctxtxfz −++== 
Cumplen con la ecuación de onda 
2
2
2
2
2
t
z
x
z
c


=


 
 
2. Bajo ciertas condiciones se puede probar que la temperatura u en cada punto 
),( yx de una placa rectangular satisface la ecuación de Laplace, 
0
2
2
2
2
=


+


y
u
x
u
 . Verifica que las funciones: 
a) )sen(),( ayeyxTu ax−== 
b) )ln(),( 22 yxyxTu +== 
 cumplen con la ecuación de Laplace. 
 
3. Si colocamos un sistema coordenado ¨ xy¨ en una placa rectangular de 
dimensiones 10 cm. por 10 cm. con el origen en su vértice inferior izquierdo 
como se muestra a continuación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y para cualquier punto ),( yx de la placa, definimos la función: 
 
=),( yxM Masa acumulada en la porción rectangular de placa con vértices 
 en )0,0( y ),( yx (en grs). 
 
(ver siguiente figura) 
 
 
 
 
 
 
y (en cm) 
x (en cm) 
placa 
10 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces la densidad superficial de masa de la placa, o sea la cantidad de masa 
por unidad de área en el punto ),( yx , está dada, por la fórmula: 
 
),(),(),(
22
yx
yx
M
yx
xy
M
yx


=


= (en 2/ cmgrs ). 
 
 Obtén la función de densidad superficial de masa ),( yx si: 
 
i) 
423 68),( xyyxyxM += grs 
ii) 
yx xeyeyxM 64),( += grs 
 
 
4. Verifica en cada caso la igualdad de las segundas derivadas parciales mixtas. 
 a) )cos(),( yeyxfz x== 
 b) 
423 64),( yxexyxfz y +== 
y (en cm) 
x (en cm) 
placa 
),( yx 
),( yxM 
10 
 
10