TOMO MATEMATICAS

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AUTORIDADES
Dr. ROHEL SÁNCHEZ SÁNCHEZ
Rector de la Universidad Nacional de San Agustín
Dra. ANA MARÍA GUTIÉRREZ VALDIVIA
Vicerrectora Académica
Dr. HORACIO BARREDA TAMAYO
Vicerrector de Investigación
Mag. JOSÉ PAZ MACHUCA
Director CEPRUNSA
Dra. ROXANA ALEMÁN DELGADO
Coordinadora Administrativa
Lic. EMILIO GUERRA CÁCERES
Coordinadora Académico
Dra. MERCEDES NÚÑEZ ZEVALLOS
COMITE DE APOYO CEPRUNSA
Mag. FRESIA MANRIQUE TOVAR
Lic. RONALD CUBA CARPIO 
 
 
1 
 
1. FUNCIONES 
 
1.1. DEFINICIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir: f = {(x; y)/ y = f(x)} 
De donde: y = f(x) es regla de correspondencia; teniendo en cuenta que 
“y” es la variable dependiente y “x” es la variable independiente. 
 
1.2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1. Hallar el dominio de la función: y = f(x) = 
5
2x−3
 
Primero se determina las restricciones del domino, haciendo el 
denominador: 2x − 3 ≠ 0 → x ≠
3
2
 , lo que significa que “x” no puede 
asumir el valor de 
3
2
 
Entonces: Df = ℝ − {
3
2
} 
 
2. Hallar el dominio de la función: f(x) = √x2 − 7x + 12. 
 
Como se trata de una raíz de índice par, entonces: 
x2 − 7x + 12 ≥ 0 → (x − 4)(x − 3) ≥ 0 
x ∈ < −∞, 3] ∪ [ 4,∞ > = Df 
 
3. El dominio de la función: f(x) = log2(x − 7) 
 
En este caso la variable “x” está siendo afectada por un logaritmo, 
entonces se cumple que: x − 7 > 0 → x > 7 
Df = 〈7; +∞〉 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES 
 
Una función es una relación binaria 𝐟: 𝐀 ⟶ 𝐁 que asigna a 
cada elemento del conjunto A un único elemento del 
conjunto B. 
 
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN 
Es el conjunto formado por las primeras componentes de los 
pares ordenados de la función. 
Dom(f) = {a ∈ A/ b ∈ B ∧ (a; b) ∈ f} 
Para poder calcular el dominio de una función debemos 
tener en cuenta las siguientes restricciones: 
 
I. El denominador debe ser diferente de cero. 
II. El radicando de una raíz de índice par debe ser mayor 
o igual que cero. 
III. En la función Logaritmo: f (x) = logax 
∀𝑥 > 0; 𝑎 > 0 𝑦 𝑎 ≠ 1 
 
RANGO DE UNA FUNCIÓN 
Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares 
ordenados de la función, Ran(f) = {b ∈ B ∕ a ∈ A ∧ (a; b) ∈ f} 
Para la determinación del rango de una función, tenemos tres 
métodos: 
 Analítico: Se parte del dominio y se construye la función. 
 Algebraico: Se despeja la variable “x” la cual quedará en 
términos de la variable “y”, luego se analiza los valores que 
puede asumir la variable “y”. 
 Gráfico: Se analiza el comportamiento de la función en el eje 
“y”. 
 
 
2 
EJEMPLOS 
1. Hallar el rango de la función: f(x) = −3 + √x2 − 4x + 5 ; −2 ≤ x < 6 
Primero acomodamos: x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 
→ f(x) = −3 + √(x − 2)2 + 1 
Luego partimos del dominio para construir la función: 
−2 ≤ x < 6 
−2 + 2 ≤ x − 2 < 6 − 2 
(0)2 ≤ (x − 2)2 < (4)2 
0 + 1 ≤ (x − 2)2 + 1 < 16 + 1 
√1 ≤ √(x − 2)2 + 1 < √17 
1 − 3 ≤ −3 + √(x − 2)2 + 1 < −3 + √17 
−2 ≤ −3 +√(x − 2)2 + 1⏟ 
f(x)
< √17 − 3 
→ Rf = [ −2 ; √17 − 3 ⟩ 
 
2. Sea la siguiente función: y = f(x) =
x +1
2x+1
 ; −4 ≤ x < 1; x ≠ −
1
2
. 
Calcular el rango de la función. 
Siendo −4 ≤ x < 1; x ≠ −
1
2
 
Entonces: −4 ≤ x < −
1
2
 V −
1
2
< x < 1, 
Acomodando: f(x) = 
1
2
[1 +
1
2x+1
] 
Luego: −4 ≤ x < −
1
2
 V −
1
2
< x < 1 
−8 ≤ 2x < −1 V − 1 < 2x < 2 
−7 ≤ 2x + 1 < 0 V 0 < 2x + 1 < 3 
1
2x + 1
 ≤ −
1
7
 V 
1
2x + 1
 > 
1
3
 
1 +
1
2x + 1
 ≤ 
6
7
 V 1 +
1
2x + 1
 > 
4
3
 
 
1
2
[1 +
1
2x + 1
] ≤
3
7
 ⋁ 
1
2
[1 +
1
2x + 1
] > 
2
3
 
 
Luego el Rf = < −∞; 
3
7
 ] ∪ 〈 
2
3
; +∞ 〉 
1.3. FUNCIONES ESPECIALES 
 
FUNCIONES ESPECIALES 
 
FUNCIÓN CONSTANTE 
 
Una función es constante si su regla de 
correspondencia es f(x) = k 
donde "k" es una constante, es decir: 
f = {(x; y) ∈ R x R/ y = k} 
 
 
 
 
 
FUNCIÓN IDENTIDAD 
 
Se llama función identidad a la función que 
hace corresponder a cada número real el 
propio número. Se representa por f(x) = x. 
f = {(x; y) ∈ R x R/ y = x} 
Características: 
 Su dominio es R. 
 Es una función impar (simétrica con relación 
al origen de coordenadas). 
 Corta al eje X y al eje Y solo en el punto (0,0). 
 
 
FUNCIÓN LINEAL 
 
Tiene por ecuación f(x) = ax, “a” se llama 
pendiente y cuanto mayor sea, mayor la 
inclinación de la recta que representa. 
Características: 
 
Su dominio es R 
Es una función impar (simétrica con relación 
al origen de coordenadas). 
Corta al eje X y al eje Y solo en el punto (0,0). 
Crece si a > 0 y decrece si a < 0. 
 
 
 
 
3 
FUNCIÓN LINEAL AFÍN 
Su ecuación es y = mx + b, “m” es la 
pendiente, “b” es la ordenada al origen y 
representa la distancia desde el punto donde 
la gráfica corta el eje Y hasta el origen de 
coordenadas. 
Características: 
Su dominio es R. 
Corta el eje Y en (0,b) y al eje X en 
(-b/m,0). 
 
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA 
 
A la función f, le llamaremos raíz cuadrada si 
su regla de correspondencia es 
 f(x) = √x. 
Características: 
Su dominio es x  0 
 
 
 
 
FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
Tiene por ecuación general: f(x) = ax2 +
bx + c con a ≠ 0 y su grafica es una 
parábola. 
Características: 
Vértice situado en (–
b
2a
, f (−
b
2a
)) o 
(–
b
2a
,
4ac−b2
4a
) 
El dominio es: Dom (f) = R 
Corta al eje Y en (0,c). 
Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba y si a 
< 0, la parábola se abre hacia abajo. 
 
 
 
 
ANÁLISIS DE LA DISCRIMINANTE 
∆= 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 
 
∆ > 0 : la parábola corta en dos puntos al eje 
X. 
 
 
 
 
 
 
 
∆= 0 : la parábola corta en un punto al eje X. 
 
 
 
 
 
∆< 0 : la parábola no corta al eje X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIÓN CON VALOR ABSOLUTO 
 
 
A la función f , le llamaremos función valor 
absoluto, si la regla de correspondencia es: 
f(x) = |x| = {
x, si x ≥ 0
−x, si x < 0
 
 
 
 
 
 
 
4 
FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA 
(recíproca, hiperbólica) 
 
Su ecuación es f(x) =
k
x
 ; k > 0 
Su grafica es una hipérbola que tiene como 
asíntotas a los ejes coordenados. 
 
Características: 
El dominio es R – {0} 
El rango es 
Ran (f) = R – {0} 
La función presenta una discontinuidad de 
salto infinito en 
x = 0. 
No corta a los ejes coordenados. 
Es una función impar y simétrica con 
relación al origen de coordenadas. 
 
FUNCIÓN DEFINIDA POR TRAMOS: 
Toda función f real de variable “x” que puede 
ser representada como una función definida 
por tramos o trozos tiene las siguientes 
características: 
La regla de correspondencia de f se escribe 
como dos o más reglas de correspondencia 
(f1, f2, f3……) 
 
Dom(f) = Domf1 ∪ Domf2
∪ Domf3…Domfn 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 
1. En las gráficas se observa la dilatación y contracción de las funciones 
h(x) y g(x) a lo largo del eje “y” con relación a la gráfica de f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. En las gráficas se observa la dilatación y contracción de las funciones 
h(x) y g(x) a lo largo del eje “y” con relación a la gráfica de f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ESTIRAMIENTO O DILATACIÓN CON RESPECTO AL EJE “Y” 
Sea: y = a. f(x); a > 1, es una nueva función cuya gráfica es estirada a 
lo largo del eje “y” con relación a la gráfica de 𝑓(𝑥). 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1. Traslaciones de una función cuadrática 
 
2. Traslaciones de la función Valor Absoluto 
 
3. Traslaciones horizontales y verticales 
 
TRASLACIONES 
1.- HORIZONTAL: 
 
Sea: y = f(x − h), es una nueva función cuya gráfica se 
obtiene a partir de la función original, mediante 
traslación horizontal. 
a) Hacia la derecha, si: h > 0 
b) Hacia la izquierda, si: h < 0 
 
2.- VERTICAL: 
 
Sea: y = f(x) + k, es una función, cuya gráfica seobtiene 
de la gráfica de “F”, mediante traslación vertical. 
a) Hacía arriba, si: k > 0 
b) Hacía abajo, si: k < 0 
 
 
 
6 
EJEMPLOS: 
1. Indica el Dominio y Rango de la función a trozos mostrada en el esquema: 
 
A) Df = ℝ = 〈−∞; 2〉 ; Rf = [−2; 2] 
B) Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 ; Rf = 〈−2; 2〉 
C) Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 ; Rf = [2; 2] 
D) Df = ℝ − {−2; 2} ; Rf = [−2; 2] 
E) Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 ; Rf = [−2; 2] 
 
RESOLUCIÓN: 
 
La función está determinada de la siguiente manera: 
f(x) = {
2 si − ∞ < x < −2
x si − 2 ≤ x ≤ 2 
−1 si 2 < x < +∞ 
 
Observamos el recorrido horizontal de la función y concluimos que ocupa todo 
el eje de las “x”; entonces Df = ℝ = 〈−∞;+∞〉 
Luego notamos que Rf = [−2; 2] 
Respuesta: E 
2. Una carretera f(x) = mx + m pasa a 2 km. al norte de una estación 
vehicular ubicada en el origen de coordenadas. Calcular el recorrido vertical 
si su alcance horizontal está determinado en < −1; 0 > 
A) < 0; 2 > B) < 1; 2 > C) < 0; 1 > D) < −1; 2 > E) < −1; 0 > 
 
RESOLUCIÓN: 
Como la carretera f(x) = mx + m, pasa a 2 km del origen de coordenadas, 
entonces 2 es el intercepto con el eje “y” que también resulta ser la pendiente: 
f(x) = 2x + 2 
El dominio de la función es: < −1; 0 >; 
el recorrido vertical corresponde al rango de la función: 
f(x) = y → y = 2x + 2 ; por construcción tenemos: 
−1 < x < 0 x(2) 
−2 < 2x < 0 +2 
0 < 2x + 2 < 2 Rango: < 0; 2 > 
Respuesta: A 
3. El nivel de agua en un estanque es de 12 m y baja 0,5 m cada semana. 
¿Cuál de las siguientes funciones representa la situación descrita 
relacionando el nivel de agua “y” con el número de semana “x”? 
 
A) y = -12 + 0,5x B) y = - 0,5 + 12x C) y = 12 + 0,5x 
D) y = 12 – 3,5x E) y = 12 – 0,5x 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Organizamos la situación en una tabla, teniendo en cuenta que el nivel del 
agua depende del número de semanas, es decir relacionamos las magnitudes 
de longitud (y) y tiempo (x). 
 
N° de semanas 0 1 2 3 4… 
Nivel del agua 12 11,5 11 10,5 10… 
 
y = mx + b 
(0; 12) → 12 = m(0) + b → b = 12 
(1; 11,5) → 11,5 = m(1) + 12 → m = −0,5 
y = mx + b → y = −0,5x + 12 
 
Respuesta: E 
 
4. Un grupo de amigos quiere realizar turismo interno al norte del país y 
preguntan en dos agencias aéreas sobre el costo individual de los “paquetes 
de viaje”, obteniendo la siguiente información: 
La Agencia ANDA ofrece: un costo fijo de 300 dólares más 3 dólares por 
kilómetro recorrido 
La Agencia PORTADA oferta: un costo fijo de 50 dólares más 8 dólares por 
kilómetro recorrido 
 
¿En qué empresa deciden viajar si de Arequipa a Piura hay una distancia de 
1997km aproximadamente? 
 
 
 
7 
A) Ambas agencias ofrecen el mismo precio 
B) Para este caso, les conviene contratar con la agencia ANDA 
C) Para este caso, les conviene contratar con la agencia PORTADA 
D) No se puede determinar 
E) La agencia ANDA ofrece una mejor oferta para menos de 50 km. 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Teniendo en cuenta que contamos con 
dos magnitudes que se relacionan: 
“precio con kilómetros”, así mismo, 
determinamos que el precio (y) 
depende de los kilómetros (x) 
recorridos 
Entonces para cada agencia se 
tendrá: 
A(x) = 3x + 300 
P(x) = 8x + 50 
La gráfica representa 
Para viajes con trayecto inferior a 50 
km, nos interesa contratar Viajes 
PORTADA. Y como queremos viajar al norte, será mejor contratar a la 
agencia ANDA. 
 
Respuesta: B 
 
5. A Miguel le pagan por producción, si fabrica 1 hebilla le pagan un sol, si 
produce 2 le darán 2 soles si produce 3 le pagarán 3 soles y así 
sucesivamente, un día ha sido acreedor a un bono especial de 3ab soles. Si la 
función f(x) = (x + a)(x – 3) − (x + 2)2 + b modela la relación entre la 
producción y el pago que recibe, indica ¿Cuánto fue el bono que recibió 
Miguel? 
A) 265 soles B) 448 soles C) 315 soles D) 672 soles E) 380 soles 
 
RESOLUCION: 
Reconocemos que la relación entre la producción y el salario de Miguel es 
una función identidad: 
f(x) = (x + a)(x – 3) − (x + 2)2 + b 
f(x) = x2 − 3x + ax − 3a − x2 − 4x − 4 + b 
f(x) = (−7 + a)x + (b − 4 − 3a) 
−7 + a = 1 → a = 8 
b – 4 – 24 = 0 → b = 28 
3(8 ) (28) = 672 
Respuesta: D 
 
6. El área destinada al sembrío de rosas tiene forma de trapecio y está 
formada por las siguientes funciones: f(x) = 8 , g(x) = x – 4 , 
y = 0 y x = 0 ¿Cuál es el área destinada para el jardín en m2? 
A) 30m2 B)56m2 C) 72m2 D) 48m2 E) 64m2 
 
RESOLUCION: 
 
Haciendo:f(x) = g(x) → x − 4 = 8 
x = 12 
Si: y = 0 → x − 4 = 0 → x = 4 
Luego en la gráfica. 
A =
(B+b)
2
h 
A =
(12+4)
2
8 
A = 64m2 
 
Respuesta: E 
 
 
 
8 
7. Hallar la suma de los tres primeros valores enteros del rango de la 
siguiente función: f(x) = |x + 1| + |x − 2| 
A) 11 B) 12 C) 10 D) 15 E) 9 
 
RESOLUCIÓN: 
Hallando los valores críticos: x + 1 = 0 → x = −1 
x − 2 = 0 → x = 2 
Hallando los dominios restringidos: 
 
 
 
 
 
Luego: 𝐱 < −𝟏 → 𝐲 = −(𝐱 + 𝟏) − (𝐱 − 𝟐) = 𝟏 − 𝟐𝐱 
−𝟏 ≤ 𝐱 < 2 → y = +(x + 1) − (x − 2 = 3 
x ≥ 2 → y = +(x + 1) + (x − 2) = 2x − 1 
Luego: f(x) = {
1 − 2x, si x < −1
3, si − 1 ≤ x < 2
2x − 1, si x ≥ 2
 
Rf = [3;+∞ > 
Luego: S = 3 + 4 + 5 = 12 
 
Respuesta: B 
 
8. Hallar el rango de: f(x) = 
1
x+1
. 
A) y ∈ R − {0} B) y ∈< −1; 0 > C) y ∈< 0; 1 > 
D) y ∈< −∞; 0 > E) y ∈ R − {−1} 
 
RESOLUCIÓN: 
Despejamos “x”: 
x = 
1 − y
y
 aplicamos la restricción para el denominador: y ≠ 0 
Rf = ℝ − {0} 
Respuesta: A 
 
9. Si f(x) =
x+2
x+3
 es formación de la función elemental f(x) =
1
x
 , podemos 
concluir que: 
 
A) Se traslada verticalmente una unidad hacia abajo y horizontalmente tres 
unidades a la derecha y se refleja respecto al eje Y. 
B) Se traslada verticalmente una unidad hacia arriba y horizontalmente tres 
unidades a la derecha y se refleja respecto al eje X. 
C) Se traslada verticalmente una unidad hacia abajo y horizontalmente tres 
unidades a la izquierda y se refleja respecto al eje Y. 
D) se traslada verticalmente una unidad hacia abajo y horizontalmente tres 
unidades a la izquierda y se refleja respecto al eje y = 1. 
E) Se traslada verticalmente una unidad hacia arriba y horizontalmente tres 
unidades a la izquierda y se refleja respecto al eje y = 1. 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Acomodando la regla de correspondencia de la función para realizar sus 
traslaciones 
 
f(x) =
x + 2
x + 3
−
x + 3
x + 3
+ 1 → f(x) =
x + 2 − x − 3
x + 3
+ 1 
f(x) =
−1
x + 3
+ 1 → f(x) = 1 −
1
x + 3
 
 
Entonces: f(x) = 1 ⏟
traslacion 
vertical
 hacia arriba
 − ⏞
refleja 
respecto
al eje "y=1"
1
x + 3⏟ 
traslación
 horizontal 
a la izquierda
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta: E 
 
10. Hallar la suma de los límites del rango de f(x) = 1 − (x + 11)2 para: 
x ∈ [−17; 3] . 
 
A) -196 B) -194 C) -188 D) -190 E) -192 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Hallamos el rango de f(x) = 1 − (x + 11)2 mediante la construcción de la 
función partiendo de su dominio 
 
−17 ≤ x ≤ 3 → −17 + 11 ≤ x + 11 ≤ 3 + 11 
−6 ≤ x + 11 ≤ 14 → 0 ≤ (x + 11)2 ≤ 142 
0 ≤ (x + 11)2 ≤ 196 → 0(−1) ≤ (−1)(x + 11)2 ≤ (−1)196 
0 ≥ −(x + 11)2 ≥ −196 → +1 + 0 ≥ +1 − (x + 11)2 ≥ +1 − 196 
 1 ≥ 1 − (x + 11)2⏟ 
f(x)
≥ −195 
Rf = [−195; 1] → −195 + 1 = −194 
Respuesta: B 
 
11. Un equipo de fútbol en una de sus prácticas diarias se da la siguiente 
situación: “Un jugador se encuentra a 8 metros de la portería y el portero se 
encuentra a 4 metros, logrando saltarhasta 2,5 metros de altura para cubrir 
la portería. El jugador puede escoger para hacer el lanzamiento entre dos 
trayectorias que corresponden a dos modelos matemáticos: 
I. y = 0,4x – 0,05x2 
II. y = 1,6x – 0,2x2 
 
¿Cuál de los dos modelos presentados que describe la trayectoria del balón 
será el más adecuado para meter gol? 
 
A) Solo I B) I y II C) Solo II D) Ninguno E) Faltan datos 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Ambas funciones tienen como gráfica una parábola que se abre hacia abajo, 
entonces hallando las coordenadas de los vértices, hallaremos su altura 
máxima que alcanza cada modelo de trayectoria. 
 
Para y = 0,4x – 0,05x2 
a = - 0,05 y b = 0,4 , la fórmula que aplicaremos es: x = −
b
2a
= −
0,4
2(−0,05)
=
0,4
0,1
=
4 
Ahora hallamos “y” reemplazando x = 4 en la función. 
y = 0,4(4) – 0,05(4)2 = 1,6 – 0,8 = 0,8 m 
La altura máxima que alcanza ésta trayectoria es 0,8 metros. 
 
Para y = 1,6x – 0,2x2 
 
a = - 0,2 y b = 1,6 , la fórmula que aplicaremos es: 
x = −
b
2a
= −
1,6
2(−0,2)
=
1,6
0,4
= 4 
 
Ahora hallamos “y” reemplazando x = 4 en la función. 
y = 1,6(4) – 0,2(4)2 = 6,4 – 3,2 = 3,2 m 
 
 
10 
La altura máxima que alcanza ésta trayectoria es 3,2 metros. 
El segundo modelo es el más adecuado, porque el portero no llegaría atajarlo 
porque la altura máxima de la trayectoria es 3,2 metros, mientras que el 
portero solo llega hasta 2,5 metros de altura saltando. 
 
Respuesta C 
 
12. Desde lo alto de un edificio se lanza 
una pelota hacia arriba y adelante de 
modo que su caída describe una 
trayectoria parabólica cuya gráfica 
pertenece a la f(x) = a(x − h)2 + k tal 
como lo muestra la gráfica. Hallar el 
valor de “a” 
A) 2 B) -2 C)3 
D) -3 E) 4 
 
 
RESOLUCIÓN: 
Se observa que el vértice de la parábola tiene por coordenadas (1; 2), el 
intercepto con el eje “y” es el punto: (0;−1) 
f(x) = a(x − h)2 + k 
−1 = a (0 − 1)2 + 2 
a = −3 
Respuesta: D 
 
13. Dos delfines realizan saltos cuya trayectoria de uno de ellos es una 
parábola que está dada por la función cuadrática: f(t) = −t2 + 6t − 5; siendo 1 
≤ t ≤ 5, donde “t” es el tiempo en segundos y f(t) es la altura en metros que 
alcanza el delfin en determinado instante. Calcula el alcance horizontal del 
otro delfín si su altura máxima al mismo tiempo que el primero es mayor en 
5m 
A) 5 m. B) 6 m. C) 3 m. D) 4 m. E) 8 m. 
 
RESOLUCIÓN: 
f(t) = −t2 + 6t − 5 
Hallamos el vértice por medio de la completación de cuadrados 
f(t) = −(t2 − 6t + 9⏟ 
TCP
− 9 + 5) 
f(t) = −(t − 3)2 + 4 
V1 = (3; 4) → Altura que alcanza 4 m. 
Entonces la altura (k) del segundo delfín es 
4 + 5 = 9 m. En el mismo tiempo que el 
primero, es decir: 
V2 = (3; 9) 
→ g(t) = −(t − 3)2 + 9 
g(t) = −t2 + 6t 
interceptos con el eje “x”: 
0 = −t2 + 6t 
→ 0 = −(t)(t − 6) 
t = 0 i t = 6 
graficando tenemos: 
Respuesta B 
14. Para graficar una función con valor absoluto se le da las siguientes 
indicaciones a un estudiante: 
A partir de la gráfica de f(x) = |x|, la función B(x) presenta las siguientes 
particularidades: 
 Cumple con la reflexión 
 Su desplazamiento vertical sea 3 veces hacia arriba 
 Su desplazamiento horizontal es 2 hacia la derecha 
 La grafica pasa por el punto (−10; 0) 
Entonces de acuerdo a todas las características descritas se podría afirmar 
que: 
A) A(x) = −
1
4
|2 − x| + 3 o A(x) = −
1
4
|x − 2| + 3 
B) La función es solamente: A(x) = −
1
4
|2 − x| + 3 
C) La función es solamente: A(x) = −
1
4
|x − 2| + 3 
D) A(x) = −
1
4
|2 + x| + 3 o A(x) =
1
4
|x − 2| + 3 
 
 
11 
E) A(x) =
1
4
|2 − x| + 3 o A(x) =
1
4
|x − 2| + 3 
 
RESOLUCIÓN: 
Siguiendo las indicaciones se tiene que: 
A(x) = −c|2 − x| + 3 en (−10; 0) 
0 = −c|2 + 10| + 3 → c =
1
4
 
Por lo tanto, la función sería: 
A(x) = −
1
4
|2 − x| + 3 Sin embargo, por ser valor absoluto también cumple 
para: A(x) = −
1
4
|x − 2| + 3 
 
Respuesta A. 
 
15. Inicialmente una carretera interprovincial iba a tener el siguiente 
recorrido representado por la función: f(x) =
x2
2
+ x − 4, sin embargo, los 
estudios de suelo han determinado que la zona comprendida por el vértice de 
la parábola no es la adecuada para dicha vía, motivo por el cual fue 
modificada de la siguiente manera: f(x) = |
x2
2
+ x − 4|, entonces el esquema que 
representa la nueva forma de la carretera es: 
A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
B) 
C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) 
 
E) 
 
 
 
 
12 
RESOLUCIÓN: 
De acuerdo a las características de la parábola la gráfica es así: 
f(x) =
x2
2
+ x − 4, 
Vértice: h = −
2a
b
→ h = −
2(
1
2
)
1
 
→ h = −1 
f(h) = k =
(−1)2
2
+ (−1) − 4 
→ k = −
9
2
 
V = (−1;−
9
2
) 
Interceptos con el eje “x”: 
x2
2
+ x − 4 = 0 →
 x2 + 2x − 8 = 0 
→ (x + 4)(x − 2) = 0 x = −4 ; x = 2 
Pero la parábola está siendo afectada por el 
VALOR ABSOLUTO, entonces todos los valores de 
“y” resultan ser positivos, por esta razón en la 
curva negativa de la gráfica ocurre una reflexión 
f(x) = |
x2
2
+ x − 4| 
V1 = (−1; 
9
2
) 
Entonces la forma 
que tendría la 
carretera queda 
así: 
 
Respuesta: B 
 
16. Por simple inspección indica la función que corresponde a las gráficas: A, 
B, C y D 
 
 
A) A(x) = −√x + 2 + 4 ; B(x) = −√x + 2 + 4 
C(x) = √−x + 5 − 2 ; D(x) = √−x − 1 
B) A(x) = −√x − 4 + 2 ; B(x) = −√x + 2 + 4 
C(x) = √x + 5 − 2 ; D(x) = √x + 1 
C) A(x) = −√x + 4 + 2 ; B(x) = −√x + 2 + 4 
C(x) = √x + 5 − 2 ; D(x) = √−x − 1 
D) A(x) = −√x − 4 − 2 ; B(x) = −√x − 2 − 4 
C(x) = √x − 5 + 2 ; D(x) = √−x + 3 
E) A(x) = −√x + 4 + 2 ; B(x) = −√x + 2 + 4 
C(x) = √−x + 1 ; D(x) = √x + 5 − 2 
 
RESOLUCIÓN: Recordando lo siguiente: 
 
Además, se puede observar por las traslaciones verticales y desplazamiento 
horizontal, de las funciones raíz cuadrada. 
A(x) = −√x + 4 + 2 ; 
Signo negativo: reflexión vertical con respecto al eje “x” 
 
 
13 
“+ 4” desplazamiento horizontal hacia la 
izquierda 
“+ 2” traslación vertical hacia arriba 
(x) = −√x + 2 + 4 
Signo negativo: reflexión vertical con 
respecto al eje “x” 
“+ 2” desplazamiento horizontal hacia la 
izquierda. 
“+ 4” traslación vertical hacia arriba. 
C(x) = √x + 5 − 2 ; 
“+ 5” desplazamiento horizontal hacia la izquierda. 
“- 2” traslación vertical hacia abajo. 
 D(x) = √−x − 1 
Signo negativo: reflexión horizontal con respecto al eje “y” 
 “-1” traslación vertical hacia abajo. 
Respuesta: C 
 
17. Dadas las funciones: f(x) = √x + 4; g(x) = 
x−5
x+3
 
Hallar el dominio de Df ∩ Dg 
A) [−4; ∞⟩ B) [6; ∞⟩ C) ℝ − {−3} 
D) [−4;+∞⟩ − {−3} E) [−4;+∞⟩ 
 
RESOLUCIÓN: 
f(x) = √x + 4 
Aplicamos la restricción para raíces de índice par: 
x + 4 ≥ 0 → x ≥ −4 Df = [−4;+∞[ 
g(x) =
x−5
x+3
 
Aplicamos la restricción para el denominador: 
x + 3 ≠ 0 → x ≠ −3 Dg = ℝ − {−3} 
Entonces Df ∩ Dg 
Df ∩ Dg = [−4;+∞⟩ − {−3} 
 
Respuesta: D 
 
 
 
14 
2. ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
 
1. Indica el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación 
exponencial 22x+3 − 2x+1. 3x − 5. 32x+1 = 0 
A) -1 B) 1 C.2 D. 3 E. -2 
 
RESOLUCIÓN: 
 
22x. 23 − 2x. 2. 3x − 5. 32x. 3 = 0; 
Hacemos un cambio de variable: 2x = m y 3x = n 
8m2 − 2mn − 15n2 = 0 
factorizando (4m + 5n)(2m − 3n) = 0 
m1 = −
5
4
n; no tiene solucion, 
m2 =
3
2
n; 2x =
3
2
(3)x; 
3
2
= (
2
3
)
x
; x = −1 
 
Respuesta: B 
 
2. Si 
[√(1+x−1). √(1+x)2
6
]
3[
√x2.√x3
3
√
1
x5
6
]
−
3
4
= √
1
(1+x)
A
 ¿Cuál es el valor de A? con x ≠ {−1; 0} 
 
A) 0 B) 1 C) 2 D) 
1
2
 E) −
1
2
 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Numerador 
[√(1 +
1
x
) . (1 + x)
1
3 ]
3
= [√(
x + 1
x
) . (1 + x)
1
3 ]
3
= [√
(x + 1)1+
1
3
x
 ]
3
 
 [√
(x + 1)
4
3
x
 ]
3
= √
(x + 1)
4
3
.3
x3
=
(x + 1)4.
1
2
x3.
1
2
 
→
(x + 1)2
x
3
2
 
Denominador 
[
 
 
 √x2. x
3
2
3
√
1
x5
6
]
 
 
 
− 
3
4
= [
√x7
6
√x−5
6 ]
− 
3
4
= [√
x7
x−5
6
]
− 
3
4
= [√x12
6
]
− 
3
4
 = x− 
3
2 
 
En la fracción 
(x+1)2
x
3
2
1
x
3
2
 = √
1
(1+x)
A
 → (x + 1)2 = (1 + x)− 
1
A 
 
 
 2 = −
1
A
 → A = −
1
2
 
Respuesta: E 
 
 
ECUACIÓNES EXPONENCIALES 
1. Si bf(x) = b g(x) ⇐⇒ f(x) = g(x) ; ∀ b ∈ R − {0} 
 
2. Si f(x)a = g(x)a ⇐⇒ f(x) = g(x); ∀a ≠ 0 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
1. Hallar el conjunto solución de la inecuación exponencial: 
(0,25)(x−2) ≥ (4)(2x+6) 
 
A) ⟨−∞;−
2
3
] B) ⟨−∞;−
3
4
] C) ⟨−∞;
4
3
] D) ⟨−∞;−
4
3
] E) Φ 
 
RESOLUCIÓN: 
 
(0,25)(x−2) ≥ (4)(2x+6) 
(
1
4
)
(x−2)
≥ ((
1
4
)
−1
)
(2x+6)
 
(
1
4
)
(x−2)
≥ (
1
4
)
−(2x+6)
 
Cancelamos las bases; pero el sentido de la desigualdad cambia, dado 
que la base está comprendida entre 0 y 1. 
x − 2 ≤ −2x − 6 → 3x ≤ −4 → x ≤ −
4
3
 
C. S. = ⟨−∞;−
4
3
] 
 Respuesta: D. 
2. 
Resolver: √35x−1
4
> √35x+1
3
. √33x−13
10
, e indicar el conjunto solución: 
 
A) 〈−∞; 1〉 B) 〈−∞;−1〉 C) 〈1; +∞〉 D) 〈−∞; 43〉 E) 〈−∞;−2〉 
 
RESOLUCIÓN: 
 
√35x−1
4
> √35x+1
3
. √33x−13
10
 → 3
5x−1
4 > 3
5x−1
3
+
3x−13
10 
 
5x − 1
4
>
5x + 1
3
+
3x − 13
10
 → 
5x − 1
4
>
59x − 29
30
 
 
5x − 1
2
>
59x − 29
15
 → 75x − 15 > 118x − 58 
 
43 > 43x 1 > x 
 
Entonces: x < 1 → x ∈ 〈−∞; 1〉 
 
Respuesta: A. 
 
INECUACIONES EXPONENCIALES 
Si: 𝑏 > 1 
 
1. b f(x) < bg(x) ⇐⇒ f(x) < g(x) 
2. b f(x) > bg(x) ⇐⇒ f(x) > g(x) 
 
Si: 0 < 𝑏 < 1 
 
1. 𝑏 𝑓(𝑥) < 𝑏𝑔(𝑥) ⇐⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) 
2. 𝑏 𝑓(𝑥) > 𝑏𝑔(𝑥) ⇐⇒ 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OTRAS PROPIEDADES 
13. logaN = loganN
n = log
√a
n √N
n
= log1
a
1 
N
 
14. loga
mN = (logaN )
m ≠ mlogaN 
15. alogbc = clogba; a; b; c son positivos b ≠ 1 
16. logbx = logby → x = y 
17. ylogbx = xlogby 
LOGARITMOS 
logaN = b ⟺ a
b = N ; a > 0 ∧ a ≠ 1; N > 0 
 
𝑎logaN = N; ∀ a > 0 ∧ a ≠ 1; N > 0 
 
PROPIEDADES GENERALES 
 
1. Logaritmo de la base: 
logaa = 1 ⟺ a
1 = a 
2. Logaritmo de la unidad: 
loga1 = 0 ⟺ a
0 = 1 
3. Logaritmo de un producto: 
loga(N. P) = logaN + logaP 
N > 0; P > 0 
4. Logaritmo de un cociente: 
loga (
N
P
) = logaN − logaP 
N > 0; P > 0 
5. Logaritmo de una potencia: 
logaN
x = xlogaN 
6. loga𝑦N
𝑥 =
x
y
logaN ; 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ 
7. Logaritmo de una raíz: 
loga √N
m
 = 
1
m
logaN 
8. Cambio de base: 
logaN =
logbN
logba
 
 a ∧ b ∈ R+ − {1}; N > 0 
IDENTIDAD 
FUNDAMENTAL 
9. Regla de la cadena: logya · logab · logbc . logcd… lognx = logyx 
logba. logaN = logbN 
logab · logba = 1 → logab =
 1 
logba
 
10. Regla del intercambio: 𝑥log𝑎 𝑦 = 𝑦log𝑎 𝑥 ; 𝑥 > 0 ; 𝑦 > 0 
11. Antilogaritmo: antilogba = b
a 
Propiedades: antiloga൫logaN ൯ = N loga(antilogaN ) = N 
12. Cologaritmo: cologba = logb
1
a
 = − logba 
ECUACIÓN LOGARÍTMICA 
Es aquella ecuación donde 
una incógnita (o más) está 
afectada por el operador 
logaritmo. 
No Son ecuaciones logarítmicas 
1. x + Log25 = 3 
2. Log√24 + Log28 + 1 = xLog23 
Son ejemplos de ecuaciones 
1. Log(x + 7) = 4 
2. Logx(x
2 + 1) = Logx(2x
2 − 8) 
3. Logxx
2 = 9 
EJEMPLOS 
 
 
17 
EJEMPLOS: 
1. Indica la suma de las raíces de la siguiente ecuación: 
2log7൫x
2−7x+21൯ = 3log74 
A) 9 B)10 C)7 D)12 E) 21 
 
RESOLUCIÓN: 
2log7൫x
2−7x+21൯ = 3log74 
Aplicando la Regla del intercambio: 
2log7൫x
2−7x+21൯ = 4log73 
2log7൫x
2−7x+21൯ = 22.log73 
Igualando exponentes: 
log7(x
2 − 7x + 21) = 2. log73 
log7(x
2 − 7x + 21) = log73
2 
Luego: x2 − 7x + 21 = 9 
x2 − 7x + 12 = 0 
(x − 4)(x − 3) = 0 
x = 4 ∧ x = 3 
Entonces: 3 + 4 = 7 
Respuesta: C 
 
2. Calcular el valor de: 
E = colog2 antilog2 log2 log2 antilog0.5 log0.2 625 
 
A) -1 B) 4 C) 5 D) -3 E) -2 
 
RESOLUCIÓN: 
 
log0.2625 = log1
5
625 = log1
5
54 = log1
5
1/5−4 
Por definición: antilog0.5(−4) = 0.5
−4 = 
1
2
−4
=16 
log216 = log2 (2)
4 = 4 . log22 = 4 
log24 = log2 2
2 = 2 . log22 = 2 
Por definición: antilog22 = 2
2 = 4 
colog2 4 = −log2 4 = −2 
∴ 𝐄 = −𝟐 Respuesta: E 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
 
1. Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación: log1
2
(5 − x2) > 0 
A) 〈−√5;−2〉 ∪ 〈2; √5〉 B) 〈−√5;−2〉 C) 〈2; √5〉 
D) [−√5;−2] ∪ [2; √5] E) [2; √5] 
 
RESOLUCIÓN: 
log1
2
(5 − x2) > 0 
log1
2
(5 − x2) > log1
2
1 
Aplicando la condición de logaritmo y efectuando la inecuación tenemos: 
5 − x2 > 0  5 − x2 < 1 
0 < 5 − x2 < 1 
4 < x2 < 5 
2 < |x| < √5 
−√5 < x < −2  2 < x < √5 
Luego: 
C. S. = 〈−√5;−2〉 ∪ 〈2; √5〉 
 
Respuesta A 
INECUACIONES LOGARÍTMICAS 
Si: b > 1 
 
1. logb x > logb y → x > y 
2. logb x < logb y → x < y 
 
Siendo x > 0; N ∈ R 
logb x > N ⇔ x > b
N 
logb x < N ⇔ x < b
N 
 
Si: 0 < b < 1 
 
1. logb x > logb y → x < y 
2. logb x < logby → x > y 
Siendo x > 0; N ∈ R 
logb x > N ⇔ 0 < x < b
N 
logb x < N ⇔ x > b
N 
 
 
 
18 
2. Si el conjunto solución de la inecuación log8 (
x
4
− 3) > log8(x − 15) es de la 
forma 〈a; b〉. Hallar b − a 
 
A) 2 B) -1 C) 1 D) 31 E) -2 
 
RESOLUCIÓN: 
Por condición tenemos: {
x
4
− 3 > 0 ∧ x − 15 > 0 
x > 12 ∧ x > 15 
→ x ∈ 〈15;+∞〉
 
La inecuación se puede expresar de la siguiente manera: 
log8 (
x
4
− 3) > log8(x − 15) 
x
4
− 3 > x − 15 
−3x > −48 
x < 16 
→ x ∈ ⟨−∞; 16⟩ 
El conjunto solución será la intersección de ambas soluciones, así: 
〈15;+∞〉 ∩ ⟨−∞; 16⟩ = 〈15; 16〉 
〈a; b〉 = 〈15; 16〉 → b − a = 1 
Respuesta C 
 
 
 
 
 
 
 
3. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Una función exponencial de 
base"𝒂" es aquella cuya regla de 
correspondencia es: 
CRECIENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐟(𝐱) = 𝐚𝐱 
∀x ∈ R; a > 0 y a ≠ 1 
DECRECIENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Son continuas y están definidas sobre 𝑅. 
Dom(f) = R y Ran (f) =< 0, + ∞ > 
f(0) = 1 
 
GRÁFICAS 
 Si a > 1 la función es 
estrictamente CRECIENTE. 
 En una función creciente se 
cumple: 
𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐚
𝐱𝟏 < 𝐚𝐱𝟐 
 La gráfica pasa por el punto 
 (0; 1). 
 La recta 𝐲 = 𝟎 es asíntota con la 
gráfica. 
 
 
 
 
 Si 0 < a < 1 la función es 
estrictamente DECRECIENTE. 
 En una función decreciente se 
cumple: 
𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐚
𝐱𝟏 > 𝐚𝐱𝟐 
 La gráfica pasa por el punto 
(0; 1). 
 La recta 𝐲 = 𝟎 es asíntota con la 
gráfica. 
 
 
 
 
 
19FUNCIÓN LOGARÍTMICA 
Una función logaritmo de base"𝒂" 
es aquella cuya regla de 
correspondencia es: 
CRECIENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐟 (𝐱) = 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱 
∀x ∈ R; a > 0 y a ≠ 1 
DECRECIENTE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = < 0, +∞ > 𝑦 𝑅𝑎𝑛 (𝑓) = 𝑅 
 
GRÁFICAS 
 Si a > 1 la función es 
estrictamente CRECIENTE. 
 En una función creciente se 
cumple: 
𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟏 < 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟐 
 La gráfica pasa por el punto 
 (1; 0). 
 La recta 𝐱 = 𝟎 es asíntota con la 
gráfica. 
 
 
 
 Si 0 < a < 1 la función es 
estrictamente DECRECIENTE. 
 En una función decreciente se 
cumple: 
𝐱𝟏 < 𝐱𝟐 ⟺ 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟏 > 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐱𝟐 
 La gráfica pasa por el punto 
 (1; 0). 
 La recta 𝐱 = 𝟎 es asíntota con la 
gráfica. 
 La función exponencial es la inversa de la función logarítmica y 
viceversa. 
f(x) = ax ⇒ f−1(x) = logax 
 Por ser inversas el dominio y el rango queda definido. 
Dom(f) = R ∧ Ran (f) =< 0, + ∞ > 
Dom(f−1) < 0, + ∞ >∧ Ran (f−1) = R 
 Las dos curvas son simétricas en la línea y = x. 
 
 
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 
 
 
20 
EJEMPLOS: 
 
1. La gráfica representa una función exponencial, indica cuáles son las 
características que le corresponden 
A) f(x) = 4. 2x 
Dominio = ℝ 
Recorrido = [0;+∞⟩ 
Asíntota: y = 0 
Corte OY: (4; 0) 
Es decreciente 
 
B) f(x) = 4. 2x 
Dominio = ℝ 
Recorrido = 〈0;+∞〉 
Asíntota: x = 0 
Corte OX: (0; 4) 
Es Creciente 
C) f(x) = 2. 4x 
Dominio = ℝ+ 
Recorrido = 〈0; +∞〉 
Asíntota: x = 0 
Corte OX: (0; 4) 
Es Creciente 
D) f(x) = 4. 2x 
Dominio = ℝ 
Recorrido = 〈0; +∞〉 
Asíntota: y = 0 
Corte OY: (0; 4) 
Es Creciente 
E) f(x) = 4. 2x 
Dominio = ℝ− 
Recorrido = 〈0; +∞〉 
Asíntota: x = 0 
Corte OX: (0; 4) 
Es decreciente 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Sea: f(x) = n. ax 
Tenemos los pares ordenados que pertenecen a la función 
(−2; 1) y (−1; 2) 
Cuando (−2; 1) tenemos: y = n. ax ; 
 1 = n. a−2 → a2 = n … . . (I) 
Cuando (−1; 2) tenemos: y = n. ax ; 
2 = n. a−1 → 2a = n …… (II) 
Igualando (I) = (II) 
a2 = 2a → a = 2; n = 4 Entonces la función es f(x) = 4. 2x 
Analizando la gráfica 
Dominio = ℝ 
Recorrido o Rango de la función = 〈0; +∞〉 
Asíntota: y = 0 
Corte con el semi eje positivo “y”: (0; 4) 
Es Creciente 
Respuesta D 
 
2. Hallar el dominio y rango de la función: 
 F(x) = 1 + 2√x−2 
A) Df = [2; +∞[ ; Rf = [2; +∞[ B) Df = [−2; +∞[ ; Rf = [2; +∞[ 
C) Df = [−2; +∞[ ; Rf = [−2; +∞[ D) Df = [0; +∞[ ; Rf = [3; +∞[ 
E) Df = [−1; +∞[ ; Rf = [1; +∞[ 
 
RESOLUCIÓN 
 
Se aplica la restricción de la raíz de índice par 
x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2 Df = [2;+∞⟩ 
Entonces el rango es: 
x = 2 → F(2) = 1 + 2√2−2 → F(2) = 2 
 Rf = [2;+∞⟩ 
 
Respuesta: A 
 
3. La figura muestra la bifurcación 
de dos carreteras interestatales, 
cuyas curvas están representadas 
por: 
F(x) = m− 3. 2
x−2
3 
G(x) = 2
x
3 + n ; 
indica como respuesta 
“m + n” 
A) 5 B) 10 
C) 0 D) -5 
E) 2 
 
 
 
 
 
21 
RESOLUCION 
 
Debido a que F(x) = m − 3. 2
x−2
3 tiene valores negativos para el término 
exponencial; la gráfica es decreciente (obviamente que se trata de la curva 
entrecortada) y debido a que “m” representa la traslación vertical hacia arriba; 
observando la gráfica y=5 una asíntota horizontal (que se puede evidenciar 
según el siguiente análisis) 
 Verificar x → ±∞ la función f(x) se comporta como una recta, para x → −∞ 
y=5 es asíntota 
 Para x → +∞ no hay asíntotas horizontales 
Por lo tanto m=5 
Debido a que G(x) = 2
x
3 + n tiene valores positivos para el término exponencial; 
la gráfica es creciente y debido a que “m” representa la traslación vertical 
hacia arriba; observando la gráfica y=5 una asíntota horizontal (que se puede 
evidenciar como el análisis anterior) 
Por lo tanto n=5 
 5+5=10 
Respuesta: B 
 
4. Indica verdadero o falso, según corresponda 
a) f(x) = log5(−7x
2 + 21x) su dominio es [0; 3] 
b) f(x) = log3(49 − x
2) su dominio es 〈−5; 5〉 
c) f(x) = log1
3
(24 + x2) su dominio es ℝ 
A) VVV B) FFF C) FFV D) FVV E) FVF 
 
RESOLUCIÓN: 
 
a) Falso: f(x) = log5(−7x
2 + 21x) dominio es [0; 3] 
−7x2 + 21x > 0 → 7x2 − 21x < 0 
→ 7x(x − 3) < 0 → x(x − 3) < 0 
Puntos críticos: 0; 3 
∴ Dom(f) = 〈0; 3〉 
b) Falso f(x) = log3(49 − x
2) dominio es 〈−5; 5〉 
49 − x2 > 0 → x2 − 49 < 0 
→ (x − 7)(x + 7) < 0 
Puntos críticos: −7; 7 
∴ Dom(f) = 〈−7; 7〉 
c) Verdadero f(x) = log1/3(24 + x
2) su dominio es ℝ 
24 + x2 > 0 ∀x ∈ ℝ 
Respuesta: C 
 
5. Dada la función y = f(x) = 2log൫x
2+1൯, x ϵ [3;∞⟩. Determine: Rf. 
A) [3;∞⟩ B) [−1;∞⟩ C) [−2;∞⟩ D) [
1
2
;∞⟩ E) [2;∞⟩ 
 
RESOLUCIÓN: 
f(x) = 2log൫x
2+1൯, x ϵ [3;∞⟩ 
Hallamos el rango a partir del dominio por medio de la construcción de la 
función: 
x ≥ 3 → x2 ≥ 9 
x2 + 1 ≥ 10 
log(x2 + 1) ≥ log10 
log(x2 + 1) ≥ 1 
2log൫x
2+1൯ ≥ 21 
f(x) ≥ 2 → y ∈ [2;∞⟩ 
Respuesta: E 
 
 
6. Las estrellas se clasifican de acuerdo a su magnitud de brillo “m” y flujo 
luminoso “L”. A las estrellas más débiles con flujo luminoso L0 se les asigna 
una magnitud igual a 6. La relación entre la magnitud de brillo “m” y el flujo 
luminoso “L” está dada por la fórmula: 
m = Ko −
5
2
log (
L
Lo
) . Calcular “m” si: L =
log(1000)10
16 log7 7
𝐿0
3
1014
 
A) 5 B) 4 C) 8 D) 0 E) 1 
 
 
 
22 
RESOLUCIÓN 
 
De acuerdo con el enunciado podemos hallar la constante “Ko” teniendo en 
cuenta los datos para las estrellas más débiles donde m = 6 ; L = L0, veamos: 
6 = Ko −
5
2
log (
Lo
Lo
) → 6 = Ko −
5
2
log(1) 
6 = Ko −
5
2
(0) → Ko = 6 
Ahora hallaremos “m” cuando L =
log(1000)10
16 log7 7
𝐿0
3
1014
 
m = 6 −
5
2
log (
log(1000)10
16 log7 7
L0
3
1014 Lo
) 
m = 6 −
5
2
log (
log(103)10
16 . 
L0
3
1014. Lo
) → m = 6 −
5
2
log (
log(10)10
16 . L0
1014. Lo
) 
m = 6 −
5
2
log (
1016 . L0
1014. L0
) → m = 6 −
5
2
log(102) 
m = 6 −
5
2
(2) → m = 1 
 
Respuesta: E 
 
4. POLIEDROS 
 
4.1. DEFINICIÓN: 
 
Es un sólido formado por polígonos situados en distintos planos, para 
ser poliedro debe tener como mínimo 4 caras, además debe cumplir con 
las siguientes condiciones: 
 Cada arista pertenece a dos caras, y estas se denominan contiguas. 
 Dos caras contiguas están ubicadas en planos distintos. 
 Al lado común a dos caras contiguas se le denomina arista y al punto 
de concurrencia de tres o más aristas, vértice del poliedro. 
 Al segmento que tiene por extremos dos vértices que no pertenecen a 
una misma cara se denomina diagonal del poliedro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLIEDRO CONVEXO 
Un poliedro se llama convexo, si determina sobre una recta secante a su 
superficie, como máximo dos puntos de intersección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
POLIEDRO NO CONVEXO O CONCAVO 
Es aquel que determina sobre 
una recta secante más de dos 
puntos de intersección. 
El nombre de poliedro depende 
del número de caras y puede ser: 
tetraedro (4 caras); pentaedro 
(5caras); hexaedro (6 caras), etc. 
 
 
PROPIEDADES: 
 
Si “V”,”C” y “A” , representan los números de vértices, caras y aristas de 
un poliedro: 
a. Las medidas de los ángulos, en todas las caras suman: 
S = 360°(v - 2) 
b. La suma del número de caras y vértices, excede en dos al total de 
aristas: 
C + V = A + 2 
TEOREMA DE EULER 
c. En todo poliedro se cumple: 
D =
V (V - 1)
2
 - A - d 
D: Número de diagonales del poliedro 
V: Número de vértices 
A: Número de aristas 
d: Número de diagonales de todas las caras 
 
d. El número de aristas de un poliedro formado por “k” polígonos de 
“n” lados, K1 polígonos de n1 lados , hasta Km polígonos de nm lados 
está dado por: 
A=
k.n + k1.n1+ …+ Km.nm
24.2. POLIEDROS REGULARES 
 
Son aquellos que tienen por caras, regiones poligonales regulares y 
congruentes entre si, además, en cada vértice concurren el mismo 
número de aristas. 
Todo poliedro regular se puede inscribir y circunscribir en una esfera. 
 
 
 
 
Poliedros Regulares Forma de las caras Caras Vértices Aristas 
TETRAEDRO 
Triángulos 
Equiláteros 
4 4 6 
OCTAEDRO 
Triángulos 
Equiláteros 
8 6 12 
HEXAEDRO Cuadrados 6 8 12 
DODECAEDRO Pentágonos 12 20 30 
ICOSAEDRO 
Triángulos 
Equiláteros 
20 12 30 
 
 
 
24 
EJEMPLOS 
 
1. En un poliedro convexo, el número de caras, más el número de vértices, 
y más el número de aristas, es 28. Si Las medidas de los ángulos en todas 
las caras suman 1800°. Hallar el número de caras. 
A) 4 B) 8 C) 10 D) 9 E) 12 
 
RESOLUCIÓN: 
 
S = 360(V − 2) = 1800° → V = 7 
Por Teorema Euler: C + V = A + 2 
A = C + 5 
C + V + A = 28 → C + 7 + A = 28 → C + A = 21 
 
Reemplazando: C + C + 5 = 21 → C = 8 
 
Respuesta: C 
 
2. La suma de las medidas de las caras de un poliedro convexo, es 3600°, 
el número de aristas excede en 2 al doble del número de caras. Hallar el 
número de caras. 
 
A) 8 B) 6 D) 10 D) 7 E) 14 
 
RESOLUCIÓN: 
 
S = 360(V − 2) = 3600° → V = 12 
A = 2C + 2 
Por Euler: C + V = 2C + 2 + 2 → C = 8 
 
Respuesta: A 
4.3. PRISMA 
 
Es el poliedro limitado por la superficie prismática cerrada y por dos 
planos paralelos y secantes a dicha superficie, las cuales son polígonos 
congruentes y con igual cantidad de paralelogramos como lados tenga 
cada una de las bases las cuales se llaman caras laterales. 
PRISMA RECTO 
 
Es el prisma cuyas aristas laterales son 
perpendiculares a las bases. 
ÁREA LATERAL 
𝐀𝐋 = 𝐏𝐁. 𝐡 
PB = Perímetro de la base 
h = altura 
ÁREA TOTAL 
𝐀𝐓 = 𝐀𝐋+𝟐𝐀𝐁 
AL = Área Lateral 
AB = Área de la base 
VOLUMEN 
𝐕 = 𝐀𝐁. 𝐡 
AB = Área de la base 
h = altura 
PRISMA REGULAR 
Sus bases son polígonos regulares. 
 
 
 
 
PRISMA IRREGULAR 
Sus bases son polígonos irregulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR (Ortoedro o Rectoedro) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
1. A un carpintero le llevan un cajón de madera en forma de cubo para que 
aumente sus aristas en 2 m; 4 m. y 6 m. respectivamente, el volumen del 
paralelepípedo obtenido excede en 568 m3 al volumen del cubo dado. 
Hallar la longitud de la diagonal del cubo. 
 
A) 2√3 B) 3√3 C) 5√3 D) 6√3 E) 7√3 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Se “a” la longitud de la arista del cubo: 
(a + 2)(a + 4)(a + 6) − a3 = 568 
a3 + 12a2 + 44a + 48 − a3 − 568 = 0 
12a2 + 44a − 520 = 0 
(3a + 26)(a − 5) = 0 → a = 5 
d = a√3 → d = 5√3 m 
 
Respuesta: C 
 
2. En la siguiente figura se muestra a un prisma recto. HE = 4m;AE =
16m y BC = 14m, área de ∆CEB = 140 m2. Calcular el volumen del 
prisma. 
 
 
 
A) 1320 
B) 1240 
C) 1680 
D) 1450 
E) 1540 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN: 
 
 
 
∆ CEB: 
14a
2
= 140 → a = 20 
AEQ: Pitágoras: 
202 − 162 = h2 → h = 12m 
Luego: Vp = 
(14)(12)
2
(20) = 1680m3 
 
Respuesta: C 
 
 
 
AL = 2ac + 2bc 
AT = 2ac + 2bc + 2ab 
V = a · b · c 
D2 = a2 + b2 + c2 
Área lateral 
 
Área total 
 
Volumen 
Diagonal 
 
 
26 
4.4. PIRÁMIDE 
 
Las pirámides son poliedros que tienen una sola base, que es un polígono 
cualquiera y sus otras caras son triángulos que se unen en un vértice 
común que se llama cúspide o vértice de la pirámide. 
 
 Las pirámides se denominan de acuerdo al polígono de su base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Las pirámides 
pueden ser recta 
u oblicuas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Las pirámides 
pueden ser 
regulares e 
irregulares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIRÁMIDE RECTA REGULAR 
En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae 
al punto medio de la base. La cara que es una región poligonal cualquiera se llama 
base de la pirámide y las otras, se denominan caras laterales. El vértice común de 
las caras laterales es el vértice de la pirámide. 
 
ÁREA LATERAL 
AL = 
1
2
(Pbase) .Ap 
 
ÁREA TOTAL 
 
AT = Al + Abase 
 
VOLUMEN 
V=
1
3
 (A
base
).h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
 
1. Para el cumpleaños de Juanito se hace elaborar envases en forma de 
pirámide regular hexagonal cuya área lateral es el doble del área de la 
base, el circunradio de la base mide 4m. Hallar la capacidad de 100 
envases (considerar √3 = 1,73) 
 
A) 8304 B) 7980 C) 6740 
D) 8540 E) 5490 
 
 En una pirámide regular las aristas laterales tienen longitudes iguales. 
 En la pirámide regular la altura de la cara lateral trazada del vértice 
de la pirámide se denomina apotema de la pirámide. 
 En la pirámide regular las caras laterales son congruentes. 
 
 
 
27 
RESOLUCIÓN: 
Apotema de la base: ApB = 
R
2
√3 
AL = 6
Rh
2
 
AB = 6
R2√3
4
 
Por dato: AL = 2AB 
6
Rh
2
= 2.6
R2√3
4
→ h = R√3 
Por Pitágoras. h2 = H2 + (
R√3
2
)2 
(R√3)2 − (
R√3
2
)2 = H2 → H =
3R
2
 
V =
1
3
3R2√3
2
3R
2
= 48√3 
Luego por 100 envases: V = 100(1,73)48 = 8304 m3 
 
𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: 𝐀 
 
2. Hallar el área total de una pirámide cuadrangular regular, si su altura 
mide √3m y el área de la cara lateral igual a la cara de la base. 
A) 2 B) 5 C) 4 D) 7 E) 
3,5 
 
RESOLUCION: 
 
Del gráfico: H2 = h2 − (
a
2
)2 
Por dato: ADOC = AABCD →
ah
2
= a2 
a =
h
2
 
Reemplazando: a = 
2H√15
15
 
h =
4H√15
15
 
AT = 4(
ah
2
) + a2 → AT =
4H2
3
 reemplazando H = √3 
AT =
4√3
2
3
 → AT = 4m
2 
 𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: 𝐂 
 
4.5. SOLIDOS DE REVOLUCIÓN 
 
 
CILINDRO CIRCULAR RECTO 
Denominado también “cilindro de revolución” debido a que puede generarse por 
una región rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados. 
 
ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL VOLUMEN 
AL = 2πrg 𝐀𝐓 = 𝟐𝛑𝐫(𝐠 + 𝐫) 𝐕 = 𝛑𝐫𝟐. 𝐡 
CONO CIRCULAR RECTO 
Denominado también “cono de revolución” debido a que puede generarse por una 
región triangular recta al girar una vuelta en torno a uno de sus catetos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA LATERAL ÁREA TOTAL VOLUMEN 
𝐀𝐋 = 𝛑. 𝐫. 𝐠 𝐀𝐓 = 𝛑. 𝐫(𝐠 + 𝐫) 𝐕 =
𝟏
𝟑
 𝛑𝐫𝟐. 𝐡 
 
g 
r 
O 
h 
r 
g 
360° 
h 
g 
r 
r 
 
 
28 
 
ESFERA 
Es el sólido generado por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su 
diámetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUPERFICIE ESFÉRICA VOLUMEN 
𝐀 = 𝟒𝛑𝐫𝟐 𝐕 =
𝟒
𝟑
𝛑𝐫𝟑 
 
 
EJEMPLOS: 
 
1. En el punto A de la intersección de la base y la generatriz AB̅̅ ̅̅ de un 
cilindro de revolución se encuentra situada una hormiga, ésta debe 
llegar al extremo superior de la generatriz opuesta cruzando dos veces 
AB̅̅ ̅̅ , después de salir de A y recorriendo sus superficie lateral, si AB̅̅ ̅̅ = h, y 
la longitud de la circunferencia de la base es L, halle el recorrido mínimo 
de la hormiga para ir de A a B. 
A) √
25
4
h2 + L2 B) √
25
4
L2 + h2 C) 3√L2 + h2 
 
D) √9L2 + h2 E) √L2 + h2 
 
 
RESOLUCIÓN: 
El menor recorrido: 
L(1) + L(2) + L(3) = 3L1 
 
Desarrollando la superficie 
Del tramo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
(L1)
2 = L2 + (
h
3
)2= 
9L2+ h2
9
 
L1 = 
√9L2 + h2
3
 
Luego la longitud total: LT = 3
√9L2+h2
3
 = √9L2 + h2 
Respuesta: D 
2. Un stand en una feria de libros tiene un piso rectangular de 2880 m2 y 
el techo tiene una forma semicilíndrica. ¿Cuántos m2 de lona se 
necesitarán para el techo, si el largo del stand esel quíntuple del ancho? 
A) 1240π B) 1340π C) 1440π D) 1540π E) 1640π 
 
RESOLUCIÓN: 
AL = 2πRh 
se pide el área de la superficie 
semicilíndrica = ASL 
DC = 5AD = 10R 
Área de la base: 
AABCD = 2880 
ASL = πR(10R) = 10πR
2 
AABCD = 2880 → 
(2R)(10R) = 2880 → R = 12 
ASL = 1440π Respuesta: C 
 
 
29 
3. Dado un cono de revolución de vértice “E” y volumen 54 cm3, se traza un 
diámetro AC en el círculo de la base. Hallar el volumen del tronco de cono 
que se determina al trazar un plano paralelo a la base por el baricentro 
de la región triangular AEC. 
A) 25 cm3 
B) 36 cm3 
C) 38 cm3 
D) 42 cm3 
E) 30 cm3 
RESOLUCIÓN: 
 
Como “G” es baricentro del 
∆AEC: 
h
H
=
2
3
 
VTRONCO = VTOTAL − VPARCIAL 
VTRONCO = 54 − VPARCIAL 
Por semejanza entre los cono: 
VPARCIAL
VTOTAL
= (
h
H
)3 →
VPARCIAL
54
=( 
2
3
)3 
VPARCIAL = 16cm
3 → VTRONCO = 38cm
3 
 
𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: 𝐂 
 
4. En un cono de revolución, las longitudes de su altura y la generatriz son 
21 y 29 respectivamente. Calcular el volumen del cono. 
A) 600π B) 860π C) 2800π D) 1600π E) 2400π 
 
RESOLUCIÓN: 
 
V = 
1
3
πr221 = 7πr2 
Por Pitágoras 
r2 + 212 = 292 → r = 20 
Luego: V = 2800π 
 
Respuesta: C 
 
5. Una esfera es equivalente a un cilindro equilátero cuyo radio mide 2u. 
Calcule el área de la superficie esférica. 
 
A) 4π√6 B) 8π√18
3
 C) 2π√3 D) 12√3
3
 E) 6π√3 
 
RESOLUCIÓN: 
 
VESFERA = VCILINDRO 
4
3
πR3 = π22(4) → r = √12
3
 
Área esfera: S = 4π(√12
3
)2 = 8π√18
3
u2 
 
𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: B 
 
6. Dos esferas de metal cuyos radios miden 3 y 9 cm respectivamente se 
funden juntas para obtener una esfera mayor. ¿Cuál será la longitud del 
radio de la nueva esfera? 
 
A) 3√3 B) 3√28
3
 C) 3√15
3
 D) 2√15 E) 4√12
3
 
 
RESOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del gráfico: 
4
3
π33 +
4
3
π93 = 
4
3
πR3 
33 + 93 = R3 
R = 3√28
3
cm 
 
𝐑𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚: B 
 
 
 
30 
7. Un plano P corta a una esfera de centro “O” y de radio 5u, determinando 
una circunferencia C y la distancia de O a P es 4u. Entonces el volumen 
del cono con vértice O y base el círculo limitado por C es igual a: 
A) 8π u3 B) 10π u3 C) 12π u3 D) 14π u3 E) 
6π u3 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Graficando la situación: 
Luego: 
V = 
π
3
r2. h 
V = 
π
3
32(4) = 12π𝑢3 
 
Respuesta: C 
 
8. La punta de un taladro minero tiene forma de octaedro regular P − ABCD −
Q, se ubican los puntos medios: M,N, T y H, de 
AQ,DQ, CQ y QB, respectivamente, interiormente en el octaedro se formó 
una pirámide cuadrangular de diamante, calcular la razón de volúmenes 
entre el octaedro y la pirámide: P − MHTN. 
A) 14/3 B) 7 C) 6 D) 16/3 E) 8/3 
 
RESOLUCIÓN: 
Se pide: 
V1(OCTAEDRO)
V2(PIRAMIDE)
 
A∎MHTN = S 
AB = 2(MH) 
A∎ABCD = 4S 
V1 = 2V(P−ABCD) 
V1 = 2 [
(4s)2h
3
] = 
16
3
(Sh) 
V2 = 
S(3h)
3
= Sh 
V1
V2
= 
16
3
 
Respuesta: D 
9. 
Un niño estaba jugando con un bloque sólido de bronce en forma de 
cilindro, y por curiosidad lo introdujo en un envase de jugo en forma de 
tetraedro de arista ”a”. De manera que dos puntos opuestos de la base 
superior del cilindro coinciden con los baricentros de las caras laterales 
del tetraedro. Entonces cuál será el área lateral del cilindro? 
A) 
πa2√2
27
 B) 
2πa2√2
27
 C) 
4πa2√2
27
 D) 
5πa2√2
27
 E) 
7πa2√2
27
 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Se pide el área lateral del cilindro: 
3h = 
a√6
3
 
h = 
a√6
9
 
Por triángulos semejantes: 
r
n
= 
2n
3n
 → r = 
2
3
n 
2n√3 = a → 2n = 
a√3
3
 ; 
r = 
a√3
9
 
 
 
 
31 
5. GEOMETRÍA ANALÍTICA 
5.1. SISTEMA DE COORDENADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEGMENTO DE RECTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS BIDIMENSIONAL 
 
Es un sistema de 
coordenadas formado por 
dos rectas perpendiculares 
entre sí que se cortan en 
un punto de origen. Al eje 
horizontal o eje “x” se le 
llama eje de las abscisas, 
mientras que al eje vertical 
“y” se le conoce como el de 
las ordenadas. 
 
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 
Si: A(x1; y1) y B(x2; y2) 
𝐝(𝐀, 𝐁) = √(𝐱𝟐 − 𝐱𝟏)
𝟐 + (𝐲𝟐 − 𝐲𝟏)
𝟐 
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 
Si: A(x1; y1) y B(x2, ; y2) 
𝐌(𝐀,𝐁) = (
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐
𝟐
;
𝐲𝟏 + 𝐲𝟐
𝟐
) 
BARICENTRO: 
 
G: Baricentro 
G= (
x1 + x2 + x3
3
;
y
1
 + y
2
 + y
3
3
) 
 
 
32 
5.2. LA RECTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por ejemplo: 
Hallar la pendiente de una recta que pasa por la intersección de las 
rectas 
L2 ∶ y = 2x + 1 ; L1 ∶ y = −x + 4; y por el punto (−3; 2). 
 
Hallamos el punto de intersección de las rectas resolviendo un sistema 
de ecuaciones: 
2x + 1 = −x + 4 
3𝑥 = 3 → 𝑥 = 1 
Reemplazando “x” en: y = 2x + 1 
y = 2(1) + 1 → y = 3 
 
Entonces la recta pasa por los puntos: (1; 3) ; (−3; 2) 
Hallando la pendiente: 
 
m =
3−2
1−(−3)
 → m =
1
4
 
 
 
 
 
 
Rectas Horizontales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐲 − 𝐤 = 𝟎 
 
En una recta horizontal la pendiente es cero. 
Rectas Verticales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐱 − 𝐤 = 𝟎 
 
Una recta vertical no tiene pendiente. 
Rectas de pendiente negativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛 
 
Donde “m” es negativa. 
Rectas de pendiente positiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛 
Donde “m” es positiva. 
 
 
 
RECTA 
Pendiente de una 
Recta 
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta 
con la dirección positiva del eje de abscisas. 
𝐦 = 𝐭𝐠 ∝ =
𝐲𝟐 − 𝐲𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
 
La recta es la representación geométrica de los números reales 
Es importante distinguir entre rectas horizontales, verticales, 
rectas de pendiente negativa y positiva. (m: pendiente) 
 
 
33 
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación Punto –Pendiente 
Si la recta L pasa por el punto 𝑷𝟎(𝒙𝒐, 𝒚𝟎) y tiene una 
pendiente “m”, entonces: 𝐋: 𝐲 − 𝐲𝟎 = 𝐦(𝐱 − 𝐱𝟎) 
Forma Cartesiana 
Si la recta pasa por 𝑷𝟎(𝒙𝒐, 𝒚𝟎) 𝒚 𝑷𝟏(𝒙𝟏, 𝒚1) 
𝐋: 𝐲 − 𝐲𝟎 =
𝐲𝟏 − 𝐲𝟎
𝐱𝟏 − 𝐱𝟎
(𝐱 − 𝐱𝟎) 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟎 
Forma Ordinaria 
“b”: ordenada en el origen 
𝐋: 𝐲 = 𝐦𝐱 + 𝐛 
Forma Simétrica 
La recta L corta a los ejes coordenados en los puntos (a;0) 
y (0;b); (a, es intercepto con el eje “x” y b, es intercepto con 
el eje “y”) 
𝐋: 
𝐱
𝐚
+
𝐲
𝐛
= 𝟏 
ECUACIONES DE LA RECTA 
Ecuación General de una Recta 
L: Ax + By + C = 0 Pendiente: 𝐦 = −
𝐀
𝐁
 
 
Ángulo entre dos Rectas 
 
𝐭𝐚𝐧𝛂 =
𝐦𝟏 −𝐦𝟐
𝟏 +𝐦𝟏.𝐦𝟐
 
Se considera a 𝐦𝟏 como la 
pendiente que tiene el mayor 
ángulo de inclinación 
𝐝 =
|𝐀𝐱𝟏 + 𝐁𝐲𝟏 + 𝐂|
√𝐀𝟐 + 𝐁𝟐
 
 
 
34 
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 
 
Rectas Paralelas: Rectas Perpendiculares 
 
 
𝐒𝐢: �⃡�𝟏 ∥ �⃡�𝟐 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬: 𝐦𝟏 = 𝐦𝟐 𝐒𝐢: �⃡�𝟏 ⊥ �⃡�𝟐 𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬: 𝐦𝟏. 𝐦𝟐 = −𝟏 
 
EJEMPLOS: 
1. La caida (inclinación) de la tubería de drenaje de una casa debe ser de 
2,4 %. ¿Cuál es la caida vertical (altura) que debe haber en una distancia de 
25 m.? 
A) 0,5 m. B) 0,8 m. C) 1 m. D) 0,9 m. E) 0,6 m. 
RESOLUCIÓN: 
Graficamos la situación 
considerando que la caída 
representa la pendiente del 
tubo: 
 
Entonces: m =
∆y
25
 
2,4% =
∆y
25
 →
24
10
 .
1
100
=
∆y
25
 → 0,6 = ∆y 
 
Respuesta E2. Se construyen dos carreteras para exportar ciertos productos; 
representadas por las rectas L1: x − y − 2 = 0 y L2; ambas se intersecan en la 
posición del terminal terrestre. Calcule la ecuación de recta L2, sabiendo que 
su pendiente m2 < 0 y que el área de la región triangular determinada por 
las rectas y el eje “y” es 7,5 u2. Considere que el análisis se realiza en un plano 
cartesiano y que la posición del terminal terrestre es (3; 1) 
A) x + 3y − 9 = 0 B) 2x − 3y − 9 = 0 C) 3x + 2y − 9 = 0 
D) 2x + 3y + 19 = 0 E) 2x + 3y − 9 = 0 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Graficamos según las condiciones 
establecidas en la situación: 
 
A =
1
2
|
0 −2
3 1
0
0
b
−2
| → 
15
2
=
1
2
|
0 −2
3 1
0
0
b
−2
| 
 
 
15 = |(0)(1) + (3)(b) + (0)(−2) − (3)(−2) − (0)(1) − (0)(b)| 
15 = |3b + 6| → 15 = 3b + 6 ∨ −15 = 3b + 6 
15 = 3b + 6 ∨ −15 = 3b + 6 
9 = 3b ∨ −21 = 3b 
3 = b ∨ −7 = b 
3 = b porque m2 < 0. 
Entonces la ecuación de la recta L2, cuyos puntos de paso son: (3; 1) y (0; 3) 
m2 =
1 − 3
3 − 0
 → m2 = −
2
3
 
Aplicando la ecuación punto pendiente: L: y − y0 = m(x − x0) 
siendo P(x0; y0) ∈ L 
Entonces tenemos: P = (0; 3); m2 = −
2
3
 
L1: y − 3 = −
2
3
(x − 0) → 2x + 3y − 9 = 0 
Respuesta E 
 
 
35 
 
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 
 
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA: 
 
 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA 
𝐂: 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐃𝐱 + 𝐄𝐲 + 𝐅 = 𝟎 
D= -2h 
E= -2k 
F = 𝐡𝟐 + 𝐤𝟐 − 𝐫𝟐 
Centro (h;k); r: radio: Centro: 𝐂 (−
𝐃
𝟐
 ; −
𝐄
𝟐
) 
Radio: 𝐫 = 
𝟏
𝟐
√𝐃𝟐 + 𝐄𝟐 − 𝟒𝐅 
Nota: 
 Si D2 + E2 − 4F = 0, la ecuación solo representa un 
punto: C (−
D
2
 ; −
E
2
) 
 Si D2 + E2 − 4F < 0; no es un conjunto en el plano (representa un 
círculo imaginario) 
 Si D2 + E2 − 4F > 0; representa una circunferencia 
 
 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA 
 
Centro (h;k); r > 0 (𝐱 − 𝐡)𝟐 + (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝐫𝟐 
 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA CIRCUNFERENCIA 
 
Centro (0;0); r > 0 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 = 𝐫𝟐 
Rectas Tangentes a una circunferencia 
La tangente a una circunferencia se puede determinar siguiendo dos 
criterios: 
I. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto 
de contacto, y, por lo tanto, el radio es igual a la distancia de la tangente 
al centro de la circunferencia 
II. La condición de tangencia establece que al reemplazar la recta tangente 
en la ecuación de la circunferencia al momento de despejar x ó y el 
discriminante se iguala a cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Lo anterior puede resumirse en colocar la ecuación de la 
circunferencia en función de una de sus variables. Por tanto, tendremos 
una ecuación de segundo grado con una incógnita. Esa ecuación puede 
resolverse por el método de la discriminante. Bastará analizar el 
discriminante para determinar: 
 
 𝐒𝐢 𝚫 < 0 , se trata de la recta L1 
 𝐒𝐢 𝚫 = 𝟎; L es tangente a la circunferencia 
 𝐒𝐢 𝚫 > 0; L2 es secante a la circunferencia 
 
Ejemplo: 
Determinar si la recta y = 2x + 3 es tangente de la circunferencia 
(x − 1)2 + (y − 3)2 = 16 
Resolución: 
Ponemos la ecuación de la circunferencia en función de una variable, 
así: 
(x − 1)2 + (2x + 3 − 3)2 = 16 
5x2 − 2x − 15 = 0 
Analizando la discriminante: ∆= (−2)2 − 4(5)(−15) = 304 
Como ∆> 0; entonces la recta es secante a la circunferencia, porque 
existen dos puntos de corte. 
 
 
36 
EJEMPLOS: 
1. El gráfico mostrado representa 
un sistema de 3 carreteras 
tangentes a las circunferencias, se 
requiere saber la ecuación de la 
circunferencia C para determinar 
la ubicación de su centro de 
acuerdo a la distancia OP. Además, 
T, R, P y Q son puntos de 
tangencia. OH = HP = a; mTER̂ =
233°. 
 
A) (x − 2a)2 + (y − 16)2 = 16 
B) (x − 2)2 + (y + 16)2 = 36 
C) (x − 2a)2 + (y + 16)2 = 16 
D) (x − 2a)2 + (y + 16)2 = 256 
E) (x − 4a)2 + (y + 16)2 = 256 
 
RESOLUCIÓN: 
 
El arco TER̂ = 233° = TM̂ + MR̂ =
143° + 90°. 
El triángulo rectángulo 
sombreado es notable de 
37° y 53° 
→ TH = HT, = 8 
OH:Mediatriz del ∆OTT, 
Usando la simetría y la base 
media HT´ del ⊿OPO, , 
encontramos el radio de C y por 
ende, también su centro (2a; −16) 
 
Luego: (x − 2a)2 + (y + R)2 = (R)2 
(x − 2a)2 + (y + 16)2 = (16)2
→ (x − 2a)2
+ (y + 16)2 = 256 
 
Respuesta D 
 
2. Los agroglifos de Chibolton como se muestra en la figura están 
representados por las ecuaciones de las circunferencias: 
C1: x
2 + y2 = 4, y C2: x
2 + y2 − 12x + 20 = 0, donde A, B,y C son puntos de 
tangencia, calcular la distancia 
entre A y B. 
 
A) 3√2 
B) 2√3 
C) 4√3 
D) 4√2 
E) 2√2 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN: 
 
 Las ecuaciones se les puede escribir: 
 C1: x
2 + y2 = 4, y C2: (x − 6)
2 + y2 = 16 
 De C1: r
2 = 4 → r = 2 
 De C2: R
2 = 16 → R = 4 
 Por propiedad se cumple: AB = 2√Rr = 2√2.4 
 AB = 2√8 = 4√2 
 
 
 
 
Respuesta: D 
 
 
 
37 
5.3. PARÁBOLA 
 
ELEMENTOS: 
 
 Vértice: V( h, k ) 
 Foco: F( h ; k + p) 
 Lado Recto: 𝐋𝐑̅̅ ̅̅ = |𝟒𝐩| 
 Ecuación de la directriz: L: y = k – p 
 Ecuación del eje focal: x = h 
 Coordenadas de los extremos del Lado Recto 
𝐋(𝐡 + |𝟐𝐩|; 𝐤 + 𝐩); 
𝐑(𝐡 − |𝟐𝐩|; 𝐤 + 𝐩) 
 Si Q es un punto que 
pertenece a la parábola; 
entonces: d(F,Q) = d(Q,L) 
 AA’̅̅ ̅̅̅ : Cuerda focal 
 CC’̅̅ ̅̅ : Cuerda 
 𝐋: Recta Directriz 
 P: parámetro de la 
parábola 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA 
 
Vertical Horizontal 
 
 
Ecuación General de la Parábola 
𝐀𝐱𝟐 + 𝐁𝐱 + 𝐂𝐲 + 𝐃 = 𝟎 𝐀𝐲𝟐 + 𝐁𝐱 + 𝐂𝐲 + 𝐃 = 𝟎 
Ecuación Ordinaria de la Parábola 
(𝐱 − 𝐡)𝟐 = 𝟒𝐩(𝐲 − 𝐤) (𝐲 − 𝐤)𝟐 = 𝟒𝐩(𝐱 − 𝐡) 
Ecuación Canónica de la Parábola 
𝐱𝟐 = 𝟒𝐩𝐲 𝐲𝟐 = 𝟒𝐩𝐱 
 
L 
P 
L 
C 
F 
A 
A 
, 
C 
, 
R 
Q 
P 
0 x 
Y 
V 
Eje focal 
 
 
38 
EJEMPLOS: 
1. Hallar la ecuación ordinaria de la parábola que pasa por los puntos 
A(−1; 4) y B(9;−1), si tiene como recta directriz y = −6 
A) (x − 9)2 = 20(y + 1) 
B) (x + 9)2 = 20(y − 1) 
C) (x − 6)2 = 8(y + 4) 
D) (x + 9)2 = 20(y − 1) y (x + 5)2 = 4(y − 5) 
E) (x − 9)2 = 20(y + 1) y (x − 5)2 = 4(y + 5) 
 
RESOLUCIÓN: 
Si se tiene una recta directriz y = −6 (horizontal), entonces se trata de una 
parábola vertical: 
Según la recta directriz y los puntos de paso: A(−1; 4) y B(9;−1) se deduce 
que es una parábola cóncava hacia arriba 
El vértice es: (h; k) = (h;−6 + p) 
Pasa por los puntos: A = (−1; 4) y B = (9;−1) 
Reemplazando se tiene: 
(x − h)2 = 4p(y − k) 
(−1 − h)2 = 4p(4 + 6 − p) → (1 + h)2 = 4p(10 − p)… . (I)
(9 − h)2 = 4p(−1 + 6 − p) → (9 − h)2 = 4p(5 − p)… . (II)
 
 
(I) − (II) miembro a miembro: 
 (1 + h)2 = 4p(10 − p)
 −[(9 − h)2 = 4p(5 − p)]
_____________________________________________
 1 + 2h + h2 = 4p(5) + 4p(5 − p)
−81 + 18h − h2 = −4p(5 − p) 
_____________________________________________
h = p + 4
 
Reemplazamos “h” en (I) 
(1 + p + 4)2 = 4p(10 − p) 
(p + 5)2 = 4p(10 − p) → p2 + 10p + 25 = 40p − 4p2 
 5p2 − 30p + 25 = 0 
 p2 − 6p + 5 = 0 
p = 5 v p = 1 
Reemplazamos: 
Si h = p + 4 ; k = −6 + p 
Para p = 5 → h = 9 ; k = −1 → (x − 9)2 = 20(y + 1) 
Para p = 1 → h = 5 ; k = −5 → (x − 5)2 = 4(y + 5) 
 
Se cumple para las dos funciones 
Respuesta: E 
 
2. La longitud del lado recto de una parábola que pasa por el punto 
(12;−11) es 12 m, si la ecuación de su recta directriz es x + 3 = 0, hallar la 
ecuación de la parábola si es cóncava hacia la derecha y k > 0. 
A) (y − 2)2 = 12(x + 4) B) (y − 1)2 = 12x 
C) (y + 1)2 = −12x D) (y + 23)2 = 12x 
E) (y − 1)2 = 3(x − 11) 
 
RESOLUCIÓN:Es una parábola horizontal por x = -3 es directriz 
(y − k)2 = 12(x − h) → h = −3 + p → h = −3 + 3 = 0 
Pasa por el punto (12;−11) ; entonces: 
(−11 − k)2 = 12(12 − 0) 
(11 + k)2 = 144 → k = 1 
(y − 1)2 = 12x Respuesta: B 
 
 
 
39 
3. Se quiere unir dos carreteras con un tramo vehicular de doble vía, una de 
ellas tiene forma parabólica cuya ecuación es: y2 − 4y − 12x − 44 = 0 y la otra 
es una autopista recta ubicada detrás de la curva en forma perpendicular a 
su eje focal, además se sabe que las longitudes desde cualquier punto de la 
curva a la recta (en forma perpendicular) y la longitud de ese punto al foco, 
son siempre iguales. ¿cuál es la longitud mínima del tramo doble vía? 
A) 30u B) 4u C) 70u D) 3u E) 12u 
 
RESOLUCIÓN: 
Según la situación lo que te pide hallar es “p”: 
y2 − 4y − 12x − 44 = 0 
Completando cuadrados se tiene: 
(y − 2)2 = 12(x + 4) 
Entonces: 4p = 12 → p = 3 
Respuesta: D =3u 
 
4. El esquema adjunto pretende facilitar el “análisis visual de opciones para 
intersecciones en carreteras de diseño” este análisis permite identificar 
ángulos muertos o zonas con error de viabilidad de un sistema de carreteras, 
donde la viabilidad se ve dificultada por obstrucciones. Sabiendo que la 
carretera parabólica mostrada tiene una ecuación de (y − 3)2 = 8x y la que 
tiene forma recta está determinada por y = ax − 2; indica qué condiciones debe 
cumplir “a” para que ambas carreteras sean de transporte continuo sin 
intersecciones. 
 
 
A) a > −0,4 
B) a < −0,4 
C) a < 0,4 
D) a ≠ −0,4 
E) a = −0,4 
 
A) a = −
5
3
 B) a ≠ −
2
5
 C) a = −
2
5
 D) a ≠ −
4
3
 E) a ≠ −5 
 
RESOLUCIÓN: 
 
Para hallar la intersección entre la parábola y la recta se efectuará un 
sistema de ecuaciones: 
Reemplazamos y = ax − 2 en (y − 3)2 = 8x 
⟹ (ax − 2 − 3)2 = 8x 
(ax − 5)2 = 8x → a2x2 − 10ax + 25 = 8x 
a2x2 − (10a + 8)x + 25 = 0 
Como sabemos que no pueden haber intersecciones, entonces la ecuación 
cuadrática no debe tener soluciones reales. Por lo tanto: 
∆ < 0 
(10a + 8)2 − 4(a2)(25) < 0 
100a2 + 160a + 64 − 100a2 < 0 
160a < −64 → a < −0,4 
 
Respuesta: B 
 
 
 
 
 
40 
5.4. ELIPSE 
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y ) cuya ubicación en el plano 
es tal, que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos F y F´) es siempre igual a 
una constante “2a”. Es decir 
d(P; F) + d(P; F´) = 2a 
 
F; F’ : focos 
FF’ : 2c 
V; V’ : vértices 
VV’ : eje mayor = 2a 
xx’ : eje focal 
O : centro. 
yy’ : eje normal 
AA’ : eje menor= 2b 
DD’ : cuerda 
L : directriz 
 
ECUACIONES DE LA ELIPSE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lado Recto 
Si una cuerda pasa por cualquiera de los dos focos, se le llama 
cuerda focal. Si la cuerda focal es perpendicular al eje focal la 
cuerda se llama lado recto. 
𝐋𝐑 =
𝟐𝐛𝟐
𝐚
 
Área de la Elipse: 
Aelipse= π a b 
 
 
 
41 
EJEMPLOS: 
1. Un parque tiene forma de elipse y concéntrica a ella una loza circular 
como se muestra en la figura, se sabe que la ecuación de la elipse es: 
x2
25
+
y2
16
= 1. 
Si en la región sombreada se colocará 
césped ¿Cuál será la cantidad de césped 
que se necesita si F1F2 es el diámetro de la 
circunferencia y F1 y F2 son focos de la 
elipse? 
A)10πu2 B)11πu2 C)12πu2 
D)13πu2 E)14πu2 
 
RESOLUCION: 
Según la ecuación: 
x2
25
+
y2
16
= 1 → a = 5 ; b = 4 
Aelipse = πab 
Aelipse = π5.4 → Aelipse = 20π 
Acircunferencia = πr
2 
En la elipse: a2 = b2 + c2 
25 = 16 + c2 
25 − 16 = c2 
√9 = c → 3 = c 
Área sombreada: 20π − 9π = 11π 
La cantidad de césped que se necesita es 11πu2 
Respuesta: B 
 
2. Un parque Nacional del Perú tiene forma elíptica, colocamos su centro en 
el origen de coordenadas y su eje mayor contenido en el eje x, si el borde del 
parque pasa por los puntos P ( 10√6;-10) y Q (20;10√2), y en uno de los focos 
de dicha elipse de colocará una malla de metal perpendicular al eje mayor 
¿Cuál será la longitud de dicha malla si sus extremos llegan al borde del 
parque? 
 A) 20√2 m B) 20√3 m C) 20√5 m D) 4√2 m E) 20 m 
RESOLUCIÓN: 
Según los datos la ecuación sería: 
x2
a2
+
y2
b2
= 1 
Sustituyendo los puntos que pertenecen a la elipse: 
(10√6)2
a2
+
(−10)2
b2
= 1………I 
600
a2
+
100
b2
= 1 → 6b2 + a2 =
1
100
a2b2 
(20)2
a2
+
(10√2)2
b2
= 1………II 
400
a2
+
200
b2
= 1 → 4b2 + 2a2 =
1
100
a2b2 
Igualando: 6b2 + a2 = 4b2 + 2a2 → 2b2 = a2 
Sustituyendo: 6b2 + 2b2 =
1
100
(2b2)b2 
Efectuando operaciones:b2 = 400 y a2 = 800 
 a = 20√2 ; b = 20 
Por lo tanto lo que se solicita es el lado recto: L. R.= 
2b2
a
 
L. R. = 
2(20)2
20√2
→ L. R.= 20√2 m. 
Respuesta: A 
 
3. En la elipse cuyo centro se ubica en (-3;1) ,un extremo del eje menor está 
en (-1;1) y pasa por el punto (-2,-2). Hallar su excentricidad. 
 
A) 
2√3
6
 B) 
√3
5
 C) 
√6
3
 D) 
1
4
 E) 2 
RESOLUCIÓN: 
Por los datos: Centro (-3,1), el extremo es (-1,1) entonces b = 2 
Además, a >b 
La ecuación sería así: 
(x+3)2
4
+
(y−1)2
a2
= 1 
Si pasa por el punto (-2,-2), se reemplaza en ecuación 
(−2+3)2
4
+
(−2−1)2
a2
= 1 resolviendo se obtiene: 
a2 = 12 → a = 2√3 
Por lo tanto, en la elipse: a2 = b2 + c2 
Reemplazando: 12 = 4 + c2 → c = 2√2 
Entonces la excentricidad es: e =
c
a
→ e =
2√2
2√3
 
e =
√2.
√3
 entonces e =
√6
3
 
Respuesta: C 
 
 
42 
 
6. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 
 
6.1. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS: 
1. Se colocan 3 esferas sobre un plano, tangentes entre sí, sus radios forman 
un triángulo cuyas medidas de sus lados a, b y c se encuentran en la 
siguiente igualdad : 
3sen x + 2 cos x
− 3cos3x − 2 sen3x + 5 (senx + cosx)
= 
sec2x
a + btan2x + ctanx
 
 
Determina el perímetro de dicho triángulo 
A) -1 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 
 
RESOLUCIÓN: 
Por dato 
3sen x + 2 cos x
− 3cos3x − 2 sen3x + 5 (senx + cosx)
= 
sec2x
a + btan2x + ctanx
 
 
Dividiendo al numerador y denominador por cos3x 
= 
3senx+2cosx
cos3x
−3cos3x−2sen3x+5(senx+cosx)
cos3x
 
Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene 
expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible 
de la variable. 
 
 
I. IDENTIDADES PITAGÓRICAS: 
 𝑆𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶𝑜𝑠2𝑥 = 1 
1 + 𝑇𝑎𝑛2𝑥 = 𝑆𝑒𝑐2𝑥 
1 + 𝐶𝑜𝑡2𝑥 = 𝐶𝑠𝑐2𝑥 
 
II. IDENTIDADES RECÍPROCAS: 
𝑆𝑒𝑛𝑥. 𝐶𝑠𝑐𝑥 = 1 → ൞
𝐶𝑠𝑐𝑥 = 
1
𝑆𝑒𝑛𝑥
𝑆𝑒𝑛𝑥 =
1
𝐶𝑠𝑐𝑥
 
𝐶𝑜𝑠𝑥. 𝑆𝑒𝑐𝑥 = 1 → ൞
𝐶𝑜𝑠𝑥 = 
1
𝑆𝑒𝑐𝑥
𝑆𝑒𝑐𝑥 =
1
𝐶𝑜𝑠𝑥
 
𝑇𝑎𝑛𝑥. 𝐶𝑜𝑡𝑥 = 1 → ൞
𝑇𝑎𝑛𝑥 = 
1
𝐶𝑜𝑡𝑥
𝐶𝑜𝑡𝑥 =
1
𝑇𝑎𝑛𝑥
 
III. IDENTIDADES POR 
COCIENTE: 
Tanx = 
Senx
Cosx
 ; Cotx = 
Cosx
Senx
 
 
IDENTIDADES AUXILIARES: 
 
Sen4x + Cos4x = 1 − 2Sen2x. Cos2x 
Sen4x − Cos4x = Sen2x − Cos2x 
Tan2x − Sen2x = Tan2x. Sen2x 
Sen6x + Cos6x = 1 − 3Sen2x. Cos2x 
Tanx + Cotx = Secx. Cscx 
Sec2x + Csc2x = Sec2x. Csc2x 
(Senx ± Cosx)2 = 1 ± 2Senx. Cosx 
(1 ± Senx ± Cosx)2 = 2(1 ± Senx)(1 ± Cosx) 
 
 
43 
Resolvemos 
= 
1
cos2x
(3tanx + 2)
−3 − 2tan3x + 
5
cos2x
(tanx + 1)
 
= 
(tan2x + 1)(3tanx + 2)
−3 − 2tan3x + 5(tan2x + 1)(tanx + 1)
 
= 
(tan2x + 1)(3tanx + 2)
3tan3x + 5tan2x + 5 tanx + 2
 
 
Factorizamos y simplificamos= 
(tan2x + 1)(3tanx + 2)
(3tanx + 2)(tan2x + tanx + 1)
 
sec2x
tan2x + tanx + 1
= 
sec2x
a + btan2x + ctanx
 
a =1 b = 1 c = 1 
a+b+c = 3 
Respuesta: D 
2. Para escuchar un sonido debemos tener en cuenta sus propiedades como 
la altura, la intensidad y el timbre; la altura del sonido se mide en Hertz ; 
el oído humano es capaz de captar las ondas comprendidas desde los 20 
hasta 20 000 Hertz. José estaba en un parque y la caída de un objeto 
produjo una onda sonora cuya altura fue N = (1 + senx)(1 + cosx)Hertz; 
además se sabe que senx + cosx = a ¿Cuál debe ser el menor valor positivo 
de “a” para que pueda ser escuchado por José? 
 
A)2√5 B)( √5 + 1) C) (2√10 − 1) D) √10 + 1 E) 2√5 − 1 
 
RESOLUCIÓN: 
 Iniciamos con la condición: senx + cosx = a 
 Elevamos al cuadrado: 
(senx + cosx)2 = a2 
 Luego : sen2x + 2senx. cosx + cos2x = a2 
 Utilizando identidades: 
2senx. cosx + 1 = a2entonces senx. cosx =
a2 − 1
2
 
 Luego: N = (1 + senx)(1 + cosx) 
 Luego: N = (1 + senx)(1 + cosx) 
 Efectuando operaciones: 
N = 1 + cosx + senx + senx. cosx 
 Sustituyendo: N = 1 + a +
a2−1
2
 
 Resolviendo:2 N = 2 + 2a + a2 − 1 
N =
(a + 1)2
2
 
 Ahora para que sea escuchada la onda sonora: 
(a+1)2
2
≥ 20 resolviendo a2 + 2a − 39 ≥ 0 
𝑎 =
−2 ± √(2)2 − 4(1)(−39)
2(1)
 
𝑎 =
−2 ± 4√10
2(1)
→ −1 ± 2√10 
 Los puntos críticos son:a = −1 + 2√10 v a = −1 − 2√10 
 El C. S. = ]∞;−1 − 2√10] ∪ [−1 + 2√10;∞[ 
 
Por lo tanto el menor valor positivo de “a” sería: 2√10 − 1 
 
Respuesta: C 
 
 
 
44 
6.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLO 
1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son incorrectas? 
I. Si √2sen2° + cos47° = cosθ; 0 < θ < 90° entonces θ = 43° 
II. S i: sen(a + b) =
4
5
 y sena. cosb =
3
5
 entonces sen (a − b) =
2
5
 
III. Si tg(4x − 5y) = 4 ∧ tg(3x − 6y) = 6 → tg(x + y) =
1
2
 
A) I B) II C) III D) I y II E) II y III 
 
RESOLUCIÓN 
 
I. Si √2sen2° + cos47° = cosθ; 0 < θ < 90° entonces θ = 43° 
Por dato 
√2sen2° + cos47° = cosθ 
√2sen(47° − 45°) + cos47° = cosθ 
√2(sen47°cos45° − cos47°sen45°) + cos47° = cosθ 
sen47° − cos47° + cos47° = cosθ 
De donde 
sen47° = cosθ 
cos43° = cosθ → θ = 43° (V) 
II. Si: sen(a + b) =
4
5
 y sena. cosb =
3
5
 . entonces sen (a − b) = 
2
5
 
Como sena. cosb + cosa. senb =
4
5
 
3
5
+ cosa. senb =
4
5
 → cosa. senb =
1
5
 
Se pide: sen(a − b) = sena. cosb − cosa. senb 
sen(a − b) =
3
5
−
1
5
 → sen(a − b) =
2
5
 (V) 
III. Si tg(4x − 5y) = 4 ∧ tg(3x − 6y) = 6 → tg(x + y) =
1
2
 (F) 
Si 4x − 5y = α → tgα = 4 
3x − 6y = β → tgβ = 6 
Restando y sustituyendo: 4x − 5y − (3x − 6y) = α − β = x + y 
tg(α − β ) =
tgα−tgβ
1+tgα.tgβ
 → tg(α − β ) =
4−6
1+(4)(6)
 
tg(α − β ) =
−2
25
 → tg(x + y ) →
−2
25
 (F) 
Respuesta: C 
2. En un sistema de coordenadas cartesianas se ubican dos calles: Grau y 
Cáceres que parten del mismo punto ubicado en el origen de coordenadas si 
la calle Grau pasa por el punto M (2;7) y la calle Cáceres pasa por el punto 
P(3;1) .¿Cuál es la tangente del ángulo θ que forman las dos calles? 
A) 15/13 B) 16/13 C) 17/13 D) 18/13 E) 19/13 
 
RESOLUCIÓN: 
Incógnita: tan θ 
Del gráfico 
tanβ = 
7
2
 y tan α = 
1
3
 
tanθ = tan (β − α) 
Por definición 
tanθ = 
7
2
−
1
3
1 +
7
2
(
1
3
)
 
Simplificamos 
tanθ = 
19
6
13
6
 → tanθ = 
19
13
 
Respuesta: E 
DE LA SUMA Y DIFERENCIA: 
sen(α + β) = senα. cosβ + cosα. senβ 
sen(α − β) = senα. cosβ − cosα. senβ 
cos(α + β) = cosα. cosβ − senα. senβ 
cos(α − β) = cosα. cosβ + senα. senβ 
tan(α + β) =
tanα + tanβ
1 − tanα. tanβ
 
tan(α − β) =
tanα − tanβ
1 + tanα. tanβ
 
 
 
45 
6.3. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MULTIPLES 
 
 
 
EJEMPLOS: 
1. Si x = 5π ; entonces el valor de M = 
Cos (
x
8
)+Sen (
x
8
)
Cos (
x
8
)−Sen (
x
8
)
; es 
A) √2 + 1 B) −√2 + 1 C) 
√2
2
− 1 D) √2 − 1 E) 
√2
2
+ √3 
RESOLUCIÓN: 
M = 
Cos (
x
8
)+Sen (
x
8
)
Cos (
x
8
)−Sen (
x
8
)
 todo entre Cos (
x
8
) 
M = 
1 +
Sen (
x
8
)
Cos (
x
8
)
1 −
Sen (
x
8
)
Cos (
x
8
)
=
1 + Tg (
x
8
)
1 − Tg (
x
8
)
 
Buscando equivalencias: 
Tg 45º+Tg (
x
8
)
1−Tg 45º.Tg (
x
8
)
 = Tg (45 +
x
8
) 
Como x = 5π 
 Tg (45 +
5π
8
) = tg (
315°
2
) 
Aplicando la identidad del ángulo mitad: tg (
315°
2
) = −√
1−𝑐𝑜𝑠315°
1+𝑐𝑜𝑠315°
 
tg (
315°
2
) = −√
1 − cos 45°
1 + 𝑐𝑜𝑠45°
 → tg (
315°
2
) = −√
1 −
√2
2
1 +
√2
2
 
tg (
315°
2
) = −√
2 − √2
2 + √2
 
Racionalizando: tg (
315°
2
) = −√
൫2−√2൯൫2−√2൯
൫2+√2൯൫2−√2൯
 
Transformando a radicales simples: tg (
315°
2
) = −√3 − 2√2 
tg (
315°
2
) = −൫√2 − 1൯ = 1 − √2 
Respuesta: B 
ÁNGULO DOBLE: 
sen2α = 2senα. cosα 
cos2α = cos2α − sen2α 
cos2α = 1 − 2sen2α 
cos2α = 2cos2α − 1 
tan2α =
2tanα
1 − tan2α
 
 
ÁNGULO TRIPLE 
Sen3x = 3senx − 4sen3x 
cos3x = 4cos3x − 3cosx 
tan3x =
3tanx − tan3x
1 − 3tan2x
 
 
ÁNGULO MITAD 
sen
α
2
= ±√
1 − cosα
2
 
cos
α
2
= ±√
1+ cosα
2
 
tan
α
2
= ±√
1 − cosα
1 + cosα
 
cot
α
2
= ±√
1 + cosα
1 − cosα
 
Nota:() Depende del cuadrante al cual “
𝛼
2
 ” 
 
 
46 
2. En temporada de lluvia la temperatura en Arequipa tiene variaciones 
constantemente, cierto lunes la temperatura fue de 15°C, al día siguiente 
la temperatura varió en Hº C. determina la temperatura el día martes si: 
H =
sec2x
sec 2x
+
sec3x
sec 3x
−
8tanx
tan2x
 
A) 20°C B) 14°C C) 13°C D) 12°C E) -
13°C 
RESOLUCIÓN: 
H =
sec2x
sec 2x
+
sec3x
sec 3x
−
8tanx
tan2x
 
Escribiendo en términos de sen y cos : 
H =
1
COS2X
1
COS2X
+
1
COS3X
1
COS3X
−
8
senx
cosx
sen2x
cos2x
 
Aplicando identidades: 
H =
cos2x
cos2x
+
cos3x
cos3x
−
8(senx)(cos2x − sen2x)
cosx(2senx. cosx)
 
H =
2cos2x − 1
cos2x
+
4cos3x − 3cosx
cos3x
−
8(senx)(2cos2x − 1)
cosx(2senx. cosx)
 
H = 2 − sec2x + 4 − 3sec2x −
4(2cos2x − 1)
cos2x
 
H = 2 − sec2x + 4 − 3sec2x − 8 + 4sec2x 
H = −2 
Entonces la temperatura del día martes sería 15ºC - 2ºC = 13 ºC 
Respuesta: C 
 
3. La amplitud y frecuencia de una onda registrada por un sismógrafo está 
representado por “A” y “k” en la siguiente expresión: 
2 (2cos
α
2
+ 1) (2cos
α
2
− 1) − 2 = Acos(kα) 
Determina la suma de éstos dos elementos de la onda. 
A)6 B)7 C)3 D)4 E)5 
 
RESOLUCIÓN: 
Efectuando operaciones en el primer miembro: 
2(2cos
α
2
+ 1) (2cos
α
2
− 1) − 2 = Acos(kα) 
2 (4cos2
α
2
− 1) − 2 = Acos(kα) 
2 (2cos2
α
2
+ 2cos2
α
2
− 1) − 2 = Acos(kα) 
Aplicando identidades : 
2cos2
α
2
− 1 = cos 2 (
α
2
) = cosα 
cos
α
2
= √
1 + cosα
2
 
Elevando al cuadrado: (cos
α
2
)
2
= (√
1+cosα
2
)
2
 
cos2
α
2
=
1 + cosα
2
 
Sustituyendo: 
2 (2 (
1 + cosα
2
) + cosα) − 2 = Acos(kα) 
2(1 + cosα + cosα) − 2 = Acos(kα) 
2 + 4cosα − 2 = Acos(kα) 
Comparando: 
4cosα = Acos(kα) 
A = 4 ; k = 1 → 4 + 1 = 5 
Respuesta: E 
 
 
47 
7. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 
 
Ecuación Trigonométrica 
Una ecuación trigonométrica es una igualdad, en la cual todas las 
variables están afectadas por funciones trigonométricas y se verifica para 
determinados valores de la variable. 
Ecuación Trigonométrica Elemental (E.T.E.) 
Una ecuación trigonométrica se llama Elemental o Simple si tiene la 
siguiente estructura: 
𝐹. 𝑇. (𝐴𝑥 + 𝐵) = 𝑁 
F.T.= Función Trigonométrica. 
(𝐀𝐱 + 𝐁) = Argumento. 
“x”, variable angular. 
N = Valor numérico. 
A los valores de la variable que verifican dicha igualdad se les denomina 
Soluciones o Raíces de la Ecuación. 
 
 Conjunto Solución: Es el conjunto de todas las soluciones de una 
ecuación trigonométrica. 
 Solución General: Es el conjunto de