Met num U2 - Solucion de ecuaciones p2

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Unidad 2: Métodos de solución de ecuaciones
Clasificación de métodos iterativos
MI
Cerrados
o
intervalos
Abiertos
o
puntos
Bisección*
Interpolación* 
Falsa posición
Aproximaciones sucesivas*
Punto fijo
Newton-Raphson
Secante
Raíces múltiples 
Iterativo general
Método de aproximaciones sucesivas 
Es un método abierto, es decir, no necesita de un intervalo que atrape una raíz, sino que requiere de un valor x0 que representa una aproximación a la raíz; de la cercanía de ésta a la raíz dependerá la velocidad en que se cumpla con una tolerancia preestablecida. 
Obtención de la ecuación de recurrencia:
1. Sea f(x) una función algebraica o trascendente:
2. Sin alterar la ecuación, se suma en ambos miembros la variable independiente:
3. Definiendo al término:
4. Sustituyendo (3) en (2) se tiene: 
5. La ecuación (4) representa el método de Aproximaciones sucesivas, por lo cual debe expresarse en forma iterativa: 
Implementación del método 
La aplicación del método consiste en proporcionar una aproximación inicial a la raíz de la ecuación (que puede obtenerse por medios gráficos o al detectar un cambio de signo en la función tabular) y sustituirla en la ecuación (5), obteniéndose una nueva aproximación. De nuevo deberá sustituirse esta última hasta que la diferencia entre dos aproximaciones sucesivas satisfaga determinada tolerancia preestablecida. Es importante aclarar que aún cuando se utilice la ecuación de recurrencia (5) las raíces corresponden a la función original f(x).
Ejemplo: f(x) = x 2 − 0,5
Valor inicial(raíz negativa): x0 = -1
G(xi = x2 + x − 0,5)
xi+1 = x2i + x − i − 0,5
Error sugerido:0.0003
Iteraciones : G(xi = x2 + x − 0,5)
	Iteraciones	xi+1 	G(xi)	Error
	0	-1	-0.5	0.5
	1	-0.5	-0.75	0.25
	2	-0.75	-0.6875	0.0625
	3	-0.6875	-0.7148	0.0273
	4	-0.7148	-0.7039	0.0109
	5	-0.7039	-0.7084	0.0045
	6	-0.7084	-0.7065	0.0019
	7	-0.7065	-0.7073	0.0008
	8	-0.7073	-0.7070	0.0003
Ejemplo: f(x) = x 2 − 0,5
Valor inicial(raíz negativa): x0 = 1