Algebra lineal. Coordenadas

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Algebra 
lineal
 
5.6 Las coordenadas
y el cambio de base 
C O N T E N I D O
Tanto las coordenadas, como las matrices
que representan a transformaciones lineales,
dependen fuertemente de las bases
ordenadas elegidas. En esta entrada
hablaremos de las matrices de cambio de
base, pues nos ayudarán a pasar de unas
coordenadas a otras.
Siento más concretos, es posible que en
algunas aplicaciones de álgebra lineal
tengamos una transformación , y que los
vectores de o los de los tengamos que
entender en más de una base. 
I N T R O D U C C I Ó N
Los vectores son segmentos de una línea recta que
están orientados dentro de un plano bidimensional o
tridimensional, también conocido como un espacio
vectorial. Su expresión matemática se representa
mediante una letra con una flecha en la parte
superior y a nivel gráfico, también se utiliza el recurso
de la fecha para señalarlos.
Los vectores pueden representar magnitudes físicas
con intensidad y dirección, como la fuerza, el
desplazamiento y la velocidad. Además, suelen
representarse en planos a través de coordenadas.
C O O R D E N A D A S
El producto punto es una manera
fundamental en la que podemos combinar
dos vectores. De manera intuitiva, nos dice
algo acerca de qué tanto apuntan dos
vectores en la misma dirección. Un punto
define una posición en el espacio.
Ejemplo:
Las transformaciones lineales son funciones que preservan las
propiedades de linealidad entre espacios vectoriales.
Formalmente, una transformación lineal es una función 
T: V -> W, donde V y W son espacios vectoriales.
Tienen varias propiedades y características importantes como la
conservación de la combinación lineal de vectores, la preservación
de la dependencia lineal, la imagen y el núcleo, entre otros
conceptos fundamentales en álgebra lineal.
Las transformaciones lineales son ampliamente utilizadas en
diversas áreas de las matemáticas y la física, ya que permiten
modelar y analizar sistemas lineales y establecer relaciones entre
diferentes espacios vectoriales. Además, son la base para el
estudio de conceptos como:
Las matrices
Los determinantes 
Los valores y vectores propios, entre otros.
Transformaciones
lineales 
P U N T O S Y
V E C T O R E S
Un punto es una entidad básica
que no tiene dimensión ni magnitud. 
Se representa como una
coordenada en el espacio que
puede ser 
unidimensional (en una recta)
bidimensional (en un plano) o
tridimensional (en el espacio
tridimensional). 
se pueden utilizar para definir
geometría, trazar gráficos y
realizar cálculos matemáticos.
Un vector es una entidad matemática
que tiene magnitud (longitud) y dirección. 
Se representa mediante una flecha que
indica la dirección y una longitud
proporcional a su magnitud. 
Tambien para describir cantidades
físicas que tienen dirección y magnitud,
como la velocidad, la fuerza y el
desplazamiento.
 Y forma parte en diversos campos, como
la física, la ingeniería, la informática
gráfica y las ciencias de la computación.
Se llama base de un espacio (o subespacio)
vectorial a un conjunto linealmente independiente
que sea a la vez sistema generador de dicho
espacio o subespacio.
• La dimensión es el máximo número de vectores
linealmente independientes que podemos tener en
el espacio o subespacio.
En otras palabras, es el máximo rango que puede
tener un conjunto de vectores o el rango de
cualquier sistema generador de dicho espacio.
B A S E
El cambio de base es una aplicación lineal
que se relaciona con coordenadas dentro
de un espacio vectorial y son expresadas en
dos bases distintas. 
Esta definición depende a su vez del
concepto de base en álgebra lineal, que se
caracteriza como un conjunto de elementos
linealmente independientes entre sí, y lo que
constituye un sistema generador de espacio
vectorial.
¿QUÉ ES CAMBIO
DE BASE?
A P L I C A C I O N E S
C A M B I O D E B A S E 
El cambio de base es un concepto fundamental en
álgebra lineal y se utiliza en una amplia gama de
aplicaciones en matemáticas y ciencias. Algunas de
las aplicaciones más comunes incluyen:
1. Diagonalización de matrices: El cambio de base
permite encontrar una matriz diagonal equivalente
a una matriz dada, lo que simplifica los cálculos y
revela información importante sobre las
propiedades de la matriz original. Esta técnica es
especialmente útil en áreas como la teoría de
sistemas dinámicos, la física cuántica y el análisis de
redes.
2. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: El
cambio de base permite simplificar sistemas de
ecuaciones lineales al encontrar una base en la cual
las ecuaciones se vuelven más fáciles de resolver.
Esto es útil en problemas de optimización,
estadísticas y teoría de juegos, entre otros. 
3. Transformaciones lineales: El cambio de base
permite describir transformaciones lineales en
diferentes bases. Esto es útil para comprender cómo
las transformaciones lineales afectan los vectores y
los espacios vectoriales, y para encontrar
representaciones matriciales de las
transformaciones. Estas ideas son aplicables en
campos como la geometría computacional, el
procesamiento de imágenes y la robótica.
4. Análisis de datos y aprendizaje automático: El
cambio de base también se utiliza en el análisis de
datos y el aprendizaje automático. Permite realizar
reducción de dimensionalidad al encontrar una
nueva base en la que los datos se expresen de
manera más compacta o representativa. Esto ayuda
a visualizar y comprender conjuntos de datos
complejos, así como a mejorar la eficiencia de los
algoritmos de aprendizaje automático.
D E T E R M I N A R
M A T R I Z D E L
C A M B I O D E B A S E
La matriz del cambio de base de B’ a B es la matriz cuyas columnas
son coordenadas de los vectores de B’ respecto de B
 
Ejemplo:
Sí tenemos la base de R³: B={(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}
Y B'B’={(1,0,1),(0,2,0),(0,0,3)}
La matriz P del cambio de base de B’ a B se obtiene poniendo por
columnas las coordenadas de los vectores de B’ respecto a B
Queremos construir una matriz que nos
permita cambiar las coordenadas de un
vector en una base por las coordenadas del
mismo vector en otra base. Consideremos en
un espacio vectorial
La función identidad, que transforma cada
vector en sí mismo. Dejamos a cargo del
lector demostrar que es una
Bibliografías
Introducción 
Coordenadas
Coordenadas
Determinar matriz 
del cambio de base
Transformaciones
lineales 
Transformaciones
 lineales 
Puntos y vectores
Base
Aplicaciones
 cambio de base
Cambio de base
Determinar matriz 
del cambio de base
Determinar matriz 
del cambio de base
https://blog.nekomath.com/algebra-lineal-i-matrices-de-cambio-de-base/
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https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-6-transformaciones-lineales/
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https://aga.frba.utn.edu.ar/definicion-y-propiedades-de-las-transformaciones-lineales/
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https://es.m.wikipedia.org/wiki/Cambio_de_base
https://www.ugr.es/~lmerino/2-2.htmlhttps://www.ugr.es/~lmerino/2-2.html
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https://blog.nekomath.com/algebra-lineal-i-matrices-de-cambio-de-base/
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atención