Respuesta ejercicios repaso para el segundo parcial (1)

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Respuestas a los ejercicios de repaso. 
1) Calcular: 
∫𝑥 · 𝑒5𝑥
2−4𝑑𝑥 
Lo resolvemos por sustitución: 
Tomando 𝑢 = 5𝑥2 − 4 
Tenemos que 𝑑𝑢 = 10𝑥 𝑑𝑥 ⟹ 
𝑑𝑢
10𝑥
= 𝑑𝑥 
∫𝑥 · 𝑒5𝑥
2−4𝑑𝑥 = ∫𝑥 · 𝑒𝑢
𝑑𝑢
10𝑥
= ∫𝑒𝑢
𝑑𝑢
10
=
1
10
∫𝑒𝑢𝑑𝑢 =
1
10
𝑒𝑢 + 𝐶 =
1
10
𝑒5𝑥
2−4 + 𝐶 
Luego: 
∫𝑥 · 𝑒5𝑥
2−4𝑑𝑥 =
𝟏
𝟏𝟎
𝒆𝟓𝒙
𝟐−𝟒 + 𝑪 
 
2) Se deben ubicar 7 hombres y 6 mujeres en una fila de manera tal que las mujeres ocupen los 
lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse? 
 
Hay 13 personas para ser ubicadas. Hay 6 lugares pares. 
6! 7! = 720*5.040 (= 3.628.800 maneras, pero esto último no hace falta que lo calculen dado que 
carecen de calculadora durante el examen) 
 
3) Hallar el valor de “k” para que la recta L: t(𝑘 , 3, 2) + (1, 3, 4) sea perpendicular al vector �⃗� =
(1,2,3). 
 
Basta con lograr que el vector (k, 3, 2) sea perpendicular al (1, 2, 3). 
O sea que (𝑘, 3, 2) ∙ (1, 2, 3) = 0 
𝑘 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 2 ∙ 3 = 0 ↔ 𝒌 = −𝟏𝟐 
 
4) Hallar el valor de “c” para que el paralelogramo formado por los lados de los vectores (c , 1, 0) y 
(0, 2, 1) tenga un área igual a √6. 
 
Recordemos que el módulo de la vector que se obtiene como producto vectorial de los dos vectores 
que son lados del paralelogramo es igual a dicha área. De manera que solo hay que calcular primero: 
(𝑐, 1, 0) 𝑋 (0, 2 1) = |
𝐼 𝐽 𝐾
𝑐 1 0
0 2 1
| = 𝐼 − 𝑐 𝐽 + 2𝑐 𝐾 
Y como |𝐼 − 𝑐 𝐽 + 2𝑐 𝐾| = √12 + (−𝑐)2 + (2𝑐)2 = √1 + 5𝑐2 
Entonces tendrá el área deseada si: √1 + 5𝑐2 = √6 
O sea sí: √1 + 5𝑐2 = √6 ↔ 𝑐2 = 1 ↔ 𝒄 = ±𝟏 (las dos respuestas) 
 
5) Hallar el valor de 𝑘 ∈ ℝ para que el siguiente sistema tenga infinitas soluciones 
 
 
(
1 1 2 + 𝑘 | 3
2 𝑘 + 4 1 | 1
0 𝑘 + 2 1 | −5
) fila 2 − 2 fila1⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑ (
1 1 2 + 𝑘 | 3
0 𝑘 + 2 −3 − 2𝑘 | −5
0 𝑘 + 2 1 | −5
) 
fila 3 − fila 2⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑ (
1 1 2 + 𝑘 | 3
0 𝑘 + 2 −3 − 2𝑘 | −5
0 0 4 + 2𝑘 | 0
) 
El sistema tendrá infinitas soluciones si 4 + 2𝑘 = 0 ↔ 𝒌 = −𝟐