TP Vectores en el espacio Ej 15

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UBA XXI Modalidad virtual 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
15. a. Indicá si el vector w

es combinación lineal de u

y v

siendo: w

=(38; 41; 29); u

=(6; 5; 1); 
v

=(2;4;6) . Explicá tu respuesta. 
b. Considerá los vectores u

= (2, -1, 3), v

 = (4, 1, 2) y w

= (1, 0, 0). Expresá, si es posible, el 
vector t

= (-1; 1; 1) como combinación lineal de ellos. 
 
 
Solución y comentarios 
 
Recordemos que dados en ℜ3 los vectores 21 vyv;v

, si se pueden encontrar números reales λ y µ de 
manera que v

se puede expresar como 
21 vvv

⋅µ+⋅λ= 
decimos que v

es una combinación lineal de 21 vyv

. 
Para resolver el ejercicio, debemos tratar de encontrar los escalares λ y µ. 
 
a. Indicá si el vector w

es combinación lineal de u

y v

siendo: w

= (38; 41; 29); u

=(6; 5; 1); 
v

=(2;4;6) . Explicá tu respuesta. 
Por lo anterior, debemos hallar si es posible λ y µ tal que 
w

= λu

 + µ v

 
Reemplazando por los datos: 
(38; 41; 29) = λ(6,5,1) + µ(2,4,6) 
Operando; 
(38; 41; 29) = (λ6, λ5, λ1) + (µ2, µ4, µ6) (producto de un escalar por un vector) 
 = (6λ + 2µ , 5λ+ 4µ, λ +6µ) (suma de vectores) 
Igualando componente a componente, resulta el sistema 





=µ+λ
=µ+λ
=µ+λ
296
4145
3826
 
cuyas incógnitas son los números reales que estamos buscando. 
La matriz ampliada del sistema es: 










29
41
38
6
4
2
1
5
6
 
 Hacemos 
3
2
1
F
F
F
29
41
38
6
4
2
1
5
6










 
Intercambiando la primera fila con la tercera: 
3
2
1
F
F
F
38
41
29
2
4
6
6
5
1










 
 
 
Práctico 10 – Parte 2-Vectores en R3_ Ejercicio 15 1 
UBA XXI Modalidad virtual 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
 Operamos con las filas: 5F1 – F2 = F2 y 6F1 – F3 = F3 
3
2
1
F
F
F
38
41
29
2
4
6
6
5
1










 
3
2
1
F
F
F
136
104
29
34
26
6
0
0
1










 
Haciendo: 34F2 – 26F3 = F3 
 
3
2
1
F
F
F
0
104
29
0
26
6
0
0
1










 
Resulta el sistema equivalente: 



=µ
=µ+λ
10426
296
 
De la última ecuación es µ= 4. 
Reemplazando en la primera es λ=5 
Luego, w

= 5 u

 + 4 v

 por lo que es combinación lineal de u

 y v

 
 
b. Considerá los vectores u

= (2, -1, 3), v

 = (4, 1, 2) y w

= (1, 0, 0). Expresá, si es posible, el vector 
t

= (-1; 1; 1) como combinación lineal de ellos. 
 
Se procede en forma análoga al anterior y se encuentra que w
5
19v
5
4u
5
1t

−+= 
 
 
 
 
Práctico 10 – Parte 2-Vectores en R3_ Ejercicio 15 2