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CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS 
 
Conjuntos Intuitivamente podemos decir que un conjunto es una colección cualquiera de 
objetos. 
Los objetos que están en el conjunto se denominan elementos del conjunto y 
se dice que pertenecen al conjunto. 
• A los conjuntos los nombramos con letras mayúsculas. A los 
elementos del conjunto con letras minúsculas. 
• Si a es un elemento del conjunto A escribiremos a∈A (y se lee a 
pertenece a A). En caso contrario a∉A (se lee a no pertenece a A). 
Dos conjuntos especiales son: 
• El conjunto universal o referencial, que representaremos con la 
letra U, es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos 
tratando. 
• El conjunto vacío, que se denota ∅, es el conjunto que no tiene 
elementos. 
En el caso de los conjuntos numéricos usaremos las siguientes notaciones: 
• N conjunto de los números naturales 
• N0 conjunto de los números naturales con el cero 
• Z conjunto de los números enteros 
• Q conjunto de los números racionales 
• R conjunto de números reales 
 
Definición de 
conjuntos por 
extensión 
Un conjunto puede definirse enumerando los objetos que lo forman. En este 
caso diremos que el conjunto ha sido definido por extensión o 
enumeración. 
Por ejemplo: 
B = {a; e; i; o; u} 
Sólo los conjuntos finitos pueden definirse de esta manera. (finitos: que 
podemos contar sus elementos) 
Definición de 
conjuntos por 
comprensión 
Otra forma de definir un conjunto es dando una propiedad que caracterice los 
objetos que están en él. Es decir, si todos los elementos de un conjunto 
satisfacen alguna propiedad que puede ser expresada como una proposición. 
 
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Por ejemplo: 
 M = {x/x es un múltiplo de 5} 
donde “x” representa a todos los elementos del conjunto y la expresión “x es 
un múltiplo de 5” es proposición que podemos simbolizar por p(x). 
 Para decidir si un elemento pertenece al conjunto M debemos comprobar si 
verifica o no ser múltiplo de 5. Así, 
• 3 no pertenece al conjunto M pues 3 no es múltiplo de 5 
• 15 pertenece al conjunto M pues 15 es múltiplo de 5. 
 Para representar gráficamente a los conjuntos suelen utilizarse los llamados 
diagramas de Venn que son figuras planas cerradas, dentro de las cuales se 
escriben los elementos del conjunto. 
Por ejemplo, si consideramos como conjunto universal 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 
y un conjunto A incluido en U tal que A ={2, 4, 6} 
la representación de esta situación es; 
 
 
Igualdad de 
conjuntos Diremos que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. 
 Por ejemplo: 
A = {1;3;5;7;9} 
B = {x/x número natural impar menor que 10} 
C = {5; 3; 7; 1; 9} 
D = {1;3;5; 5;7; 7; 9} 
Podemos escribir A = B = C = D ya que los conjuntos, sin importar la forma 
en que se los definió, tienen los mismos elementos. Como vemos no interesa 
el orden ni si están repetidos los elementos. 
Recordamos que la igualdad de conjuntos tiene las propiedades: 
• Reflexiva: Para todo conjunto A; A = A 
• Simétrica: Si A = B entonces B = A 
• Transitiva: Si A = B y B = C entonces A = C 
(Se dice que la igualdad de conjuntos es una relación de equivalencia) 
 
 
 
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Conjuntos 
disjuntos 
A y B se dicen disjuntos si no tienen ningún elemento en común. 
 
 
Inclusión 
 
A partir de un conjunto dado podemos definir nuevos conjuntos llamados 
subconjuntos de aquel. 
Consideremos el conjunto A = {1; 3; 5; 7; 9}. Entonces son subconjuntos de 
A los conjuntos: 
{1; 3; 5; 7; 9}, {1; 3; 5}, {1}, { } = ∅ 
 Se dice que un subconjunto B es subconjunto de A y 
escribimos B ⊂ A, cuando todo elemento de B 
pertenece también a A. 
El símbolo “⊂” se lee “incluido en“. 
Decimos que B está incluido en A o que A incluye a B. 
 
 Ejemplo: 
Consideremos los conjuntos 
 A = {1,0, 1} B = {-1, 0, 1} C = {0, 1, -1} D = {-1, 0} 
Son verdaderas las siguientes afirmaciones: 
• B = C ya que tienen los mismos elementos, aunque en distinto orden. 
• A ⊂ B ya que todo elemento de A pertenece a B 
• D es un subconjunto de B 
 Observamos que: 
• Todo conjunto está incluido en sí mismo 
• El conjunto vacío está incluido en cualquier conjunto. 
 Ejemplo: 
Todos los subconjuntos del conjunto M = {1, 2, 3, 4} son: 
• El conjunto vacío: ∅ 
• El mismo M 
• Los subconjuntos de M con un elemento: {1}, {2}, {3}, {4} 
• Los subconjuntos de M con dos elementos: {1, 2},{1, 3}, {1, 4}, 
 {2, 3}, {2, 4}, {3, 4} 
• Los subconjuntos de M con tres elementos: {1, 2, 3},{1, 3, 4}, 
{1, 2, 4}, {2, 3, 4} 
 
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Operaciones 
entre conjuntos. 
Consideremos los conjuntos A y B. A partir de ellos definimos las siguientes 
operaciones: 
 
Unión de 
conjuntos. 
La unión de A y B denotada como A ∪ B, es el conjunto formado por todos 
los elementos que pertenecen a A ó B ó a ambos. En símbolos; 
A ∪ B = {x/x∈ A ó x ∈ B} 
 Ejemplo: 
Si A = {1, 2}; B = {1; 3} y C = {0}, entonces: 
• A ∪ B = { 1, 2, 3 } 
• A ∪ C = {0, 1, 2} 
• B ∪ C = {1, 3, 0} 
 Propiedades. 
• A ∪ B = B ∪ A son conjuntos iguales ya que la unión de 
conjuntos es una operación conmutativa. 
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) lo que nos dice que la unión de 
conjuntos es asociativa 
• A ∪ A = A 
• A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B (lo enunciamos diciendo que cada 
conjunto está incluido en su unión con otro) 
• A ∪ B = A si B ⊂ A ya que si B ⊂ A todos los elementos de B 
pertenecen también a A. 
• A ∪ ∅ = A 
• A ∪ U = U 
 
Intersección de 
conjuntos 
La intersección de conjuntos que denotamos como A ∩ B, es el conjunto 
formado por todos los elementos que pertenecen a la vez a A y a B. 
En símbolos: 
A ∩ B = {x/x∈ A y x ∈ B} 
 
Ejemplo: 
Si A = {0, 1}; B = {1; 3} y C = {0,1, 3}, entonces: 
• A ∩ B = {1} 
• A ∩ C = {0, 1} 
• B ∩ C = {1, 3} 
 
 
 
 
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 Propiedades 
Es fácil ver que la intersección de conjuntos es conmutativa y 
asociativa. Lo que expresamos mediante: 
• A ∩ B = B ∩ A 
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 
También se verifica que: 
• A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B 
• Si A ⊂ B entonces A ∩ B = A 
• A ∩ U = A 
• A ∩ ∅ = ∅ 
• Si A y B son conjuntos disjuntos, A ∩ B = ∅ 
Existen dos leyes distributivas que ligan las operaciones de unión e 
intersección. Estas son: 
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 
 
Diferencia de 
conjuntos. 
Es el conjunto de elementos del 
conjunto A que no se encuentran en 
B. 
Lo notamos A – B. 
Simbólicamente: 
A – B = {x/x∈ A y x ∉B} 
 
 
Ejemplo: 
Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = { 2, 4, 8, 10} es: 
• A – B = {1, 3, 5, 6} 
• B – A = {8, 10} 
 
Complemento 
de un conjunto 
El complemento del conjunto A 
respecto al conjunto universal 
que incluye a A, es el conjunto de 
todos los elementos del universal 
que no pertenecen a A. 
Se lo denota; A o Ac. 
En símbolos: 
Ac = {x/x ∈ U y x∉A} 
 
 
 
Observación: si x∉A entonces x∈ AC. 
 
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 Ejemplo. 
Si es U = {x/x ∈ N y 1 ≤ x ≤ 10} y se definen 
 A = {x/x ∈ N y 1 ≤ x ≤ 2} y B = {1, 10} 
Hallá Ac y Bc 
 
Solución 
Escribimos por extensión cada conjunto y 
los representamos en un diagrama de 
Venn. 
• U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
• A = {1, 2} 
• B = {1, 10} 
 
 
 
. 
Ac son todos los elementos del 
conjunto universal que nopertenecen a 
A: (en amarillo en el gráfico) 
Ac = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
O bien: 
Ac = {x/ x ∈ N, 2 < x ≤ 10} 
 
 
 Bc son todos los elementos del 
conjunto universal que no pertenecen a 
B: (en celeste en el gráfico) 
Bc = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 
O bien: 
Bc = {x/ x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 9} 
 
 
 Propiedades. Sea U el conjunto universal o referencial y A un subconjunto de 
U. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: 
• U – A = Ac 
• A ∪ Ac = U 
• (Ac)c = A 
• A ∩ Ac = ∅ 
• Uc = ∅ 
• ∅c = U 
• (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc 
• (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc 
(Las dos últimas se conocen como leyes de De Morgan) 
 
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Conjuntos 
finitos 
Diremos que un conjunto es finito cuando contiene un número finito de 
elementos diferentes. En caso contrario diremos que el conjunto es infinito. 
Por ejemplo, 
• Es finito el conjunto de los alumnos de la universidad. 
• Pero es infinito el conjunto de los números naturales. 
Cardinalidad 
de un 
conjunto 
finito 
Supongamos que A es un subconjunto finito del conjunto universal U. 
Denominamos cardinal de A al número de elementos de A. 
Lo denotamos card(A). 
 Así, por ejemplo, 
• si A = {3, 5, 8}, card(A) = 3 
• si A = ∅, card(A) = 0 ya que el conjunto vacío no tiene 
elementos. 
 Propiedad. 
1. Si A ⊂ B, entonces card(A) < card(B) 
2. Si A y B son dos conjuntos finitos, entonces: 
card(A∪B) = card(A) + card(B) – card(A ∩ B) 
3. Si A y B son dos conjuntos finitos y disjuntos, entonces: 
card(A∪B) = card(A) + card(B) 
 
 En el caso de tres conjuntos, vale que 
card(A∪B∪C) = card(A) + card(B) + card(C) – card(A ∩ B) – 
- card(A ∩ C) - card(B ∩ C) + card(A ∩B ∩ C) 
 Ejemplo. 
Consideremos los conjuntos 
A = {3, 5, 8} y 
B = { 2, 4, 6, 10} 
• card(A) = 3 
• card(B) = 4 
 
Además es A ∩ B = ∅. (A y B son disjuntos) 
Por lo que: 
 card(A∪B) = card(A) + card(B) 
 = 3 + 4 = 7 
 
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 Ejemplo; 
Consideremos ahora los 
conjuntos 
M = {3, 4, 5, 6} , 
N = {2, 3, 4, 5, 7} 
• card(M) = 4 
• card(N) = 5 
 
 Además M∩N ≠∅ y es card(M∩N) = 3 
Luego es: 
card(M∪N) = card(M) + card(N) – card(M ∩ N) 
 card(M∪N) = 4 + 5 – 3 
 = 6 
 
Problemas 
aplicando 
conjuntos 
Mostramos algunos ejemplos que se resuelven utilizando operaciones entre 
conjuntos finitos. 
 
Problema 1 
El conjunto A tiene 20 elementos, A ∩B tiene 12 elementos y A∪B tiene 
60 elementos. ¿Cuántos elementos tiene B? 
 Solución. 
Del enunciado, se desprende que: 
• card(A) = 20 
• card(A ∩B) = 12 
• card(A∪B) = 60 
Como se conoce el cardinal de la unión y el de la intersección (que no es 
vacía) podemos usar la propiedad del cardinal de la unión: 
card(A∪B) = card(A) + card(B) – card(A ∩ B) 
Reemplazamos por los datos: 
 60 = 20 + card(B) – 12 
Por lo que es: 
card(B) = 60 – 20 + 12 
 = 52 
Luego B tiene 52 elementos. 
 
 
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 Problema 2. 
De 65 estudiantes de comisión B, 30 aprobaron Biología y 40 matemática, 
mientras que 10 aprobaron ambas materias. 
a. ¿Cuántos alumnos aprobaron al menos una de las materias? 
b. ¿Cuántos sólo Biología? 
c. ¿Cuántos alumnos aprobaron exactamente una de ellas? 
d. ¿Cuántos no aprobaron ninguna? 
 Solución: 
Consideremos como conjunto universal, 
• U = {x/x es alumno de la comisión B} 
 Y sean 
• B = {x/x aprobó Biología] 
• M = {x/x aprobó Matemática] 
Por lo que es: 
car(B) = 30, card(M) = 40 y card(B∩M) = 10 y card(U) = 65 
 
En el diagrama de Venn, se representa el enunciado: 
 
 
Los números que aparecen el gráfico se corresponden con los cardinales de 
los conjuntos que representan. 
Así: 
• card(B∩M) = 10 
• card(B – M) = 30 – 10 = 20 
• card(M – B) = 40 – 10 = 30 
 
Mientras que encontramos el cardinal de B ∪ M haciendo: 
card(B∪M) = card(B) + card(M) – card(B ∩ M) 
 = 30 + 40 – 10 
 = 60 
La cantidad de alumnos que no aprobó ninguna lo encontramos haciendo: 
card(U) - card(B∪M) = 65 - 60 = 5 
 
 
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 Contestamos las preguntas: 
a. ¿Cuántos alumnos aprobaron al menos una de las materias? 
Estos son los alumnos que aprobaron, Biología ó aprobaron 
Matemática o ambas. Estos alumnos pertenecen a la unión cuyo 
cardinal calculamos. 
Respondemos que 60 alumnos aprobaron al menos una de las 
materias. 
 b. ¿Cuántos sólo Biología? 
Los alumnos que sólo aprobaron Biología, pertenecen al conjunto 
B – M. 
Por lo tanto 20 alumnos aprobaron solo Biología. 
c. ¿Cuántos alumnos aprobaron exactamente una de ellas? 
Estos son los que aprobaron, Biología ó aprobaron Matemática pero no 
las dos. 
Esto es, pertenecen a: 
(B – M) ∪ (M – B) 
 
Como la unión es disjunta, el número de elementos de este conjunto 
es: 
card[(B – M) ∪ (M – B)] = card[(B – M) + card[(M – B) 
 = 20 + 30 = 50 
d. ¿Cuántos no aprobaron ninguna? 
Son los alumnos que pertenecen a 
U - (B∪M) ó bien (B∪M)c 
 que son 5 alumnos. 
 
Problema 3: 
De las 130 personas que participan en una excursión, 75 usan reloj, 62 
usan anteojos y 72 usan gorras, 40 usan reloj y anteojos, 35 usan reloj 
y gorras, 25 anteojos y gorras y 20 usan las tres prendas. ¿Cuántas 
personas no usan ninguna de las tres prendas? 
Solución. 
Consideremos los conjuntos: 
• U (universal) el de todas las personas que participan de la 
excursión. 
• R el de las personas que usan reloj 
• G el de las personas que usan gorras 
• A el de las personas que usan anteojos 
 
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 La unión de estos 3 conjuntos, se corresponde con las personas que 
usan anteojos ó relojes ó gorras ó más de una de estas prendas. 
El complemento de la unión es, en consecuencia, el de las personas 
que no usan ninguna de estas prendas. El número de elementos de 
este conjunto será: 
card(U) – card(R∪G∪A) 
• El card(U) = 130 ya que es el total de las personas que participan 
de la excursión. Debemos calcular card(R∪G∪A) 
 Sabemos que: card(R∪G∪A) es igual a: 
card(R) + card(G) + card(A) – card(R∩G) – card(R∩A) – card(A∩G) + 
card(R∩G∩A) 
Y por los datos del problema, 
card(R) = 75 card(G) = 72 card (A) = 62 
card(R∩G) = 35 card(R∩A) = 40 card(A∩G) = 25 
card(R∩G∩A) = 20 
Reemplazando es 
card(R∪G∪A) = 75 + 72 + 62 – 35 – 40 – 25 + 20 
 = 129 
Entonces el cardinal de las personas que no usan ninguna de las tres 
prendas es: 
card(U) – card(R∪G∪A) = 130 – 129 = 1 
Por lo que, de las 130 personas, sólo 1 no usa ninguna de las tres 
prendas. 
 
 
 
 
 
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