TP Derivadas Ej 34

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico 7 – Derivadas - EJERCICIO 34 1
SOLUCIÓN Y COMENTARIOS
Para contestar resolvemos cada ítem y vemos si se cumplen o no las respuestas propuestas.
a. 1
)senx(
e1
lím
2
2x
0x

 

En este caso se trata del cociente de dos funciones que tienden a cero cuando x tiende a cero
(indeterminación del tipo 0/0). Resolvemos aplicando L’Hopital.
xcossenx
exlím
xcossenx2
e)x2(lím
)senx(
e1lím
2x
0x
2x
0x2
2x
0x









Con lo que llegamos a otra indeterminación del mismo tipo. Volvemos a usar L’Hopital.
xsenxcos
e).x21(
lím
)senx.(senxxcos.xcos
e).x2.(xe.1lím
xcossenx
exlím
22
2x2
0x
2x2x
0x
2x
0x











Al hacer tender a cero la función, tanto el numerador como el denominador tienden a 1. Por lo
que es
1
xsenxcos
e).x21(
lím
22
2x2
0x


 

Y, en consecuencia, es correcto que 1
)senx(
e1lím
2
2x
0x



b. 


 2x3x
)1x(senlím
21x
-1
Al reemplazar x por 1, en la expresión, tanto el numerador como el denominador tienden a cero.
Por lo que si aplicamos L’Hopital es:



 2x3x
)1x(sen
lím
21x 3x2
)1xcos(
lím
1x 


Con lo que es:



 2x3x
)1x(senlím
21x
1
1
0cos 


Pero, no es correcto, resolver este límite aplicando esta regla, ya que podemos resolverlo
utilizando recursos algebraicos. Lo que mostramos a continuación.
34. Verificá los siguientes límites aplicando la regla de L’Hopital.
a. 1
)senx(
e1
lím
2
2x
0x

 

b. 1
2x3x
)1x(sen
lím
21x




c. 0
e
)xln(x
lím
xx



d. existeno
ex
lím xx
:
1
11
0 


e.
2
1
xln
1
1x
x
lím
1x








f. 2
x
2
2
0x
e
senx22
2x
lím 










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Práctico 7 – Derivadas - EJERCICIO 34 2
 


 2x3x
)1x(sen
lím
21x
-1
Observamos que al reemplazar x por 1 en el denominador, éste se hace cero. Lo que significa
que x2 - 3x + 2 es divisible por x – 1.
Entonces podemos escribir x2 - 3x + 2 como producto de dos factores: (x -1) y otro desconocido
Q(x).
x2 - 3x + 2 = (x -1)Q(x)
Donde Q(x) resulta ser el cociente de la división de x2 - 3x + 2 por x – 1.
Calculamos Q(x) usando la regla de Ruffini.
1 -3 2
1 1 -2
1 -2 0
Por lo tanto Q(x) = x – 2
Y x2 - 3x + 2 = (x -1)(x – 2)
Reemplazamos en la expresión del límite:
)2x()1x(
)1x(senlím
2x3x
)1x(senlím
1x21x 




(1)
Expresión que es indeterminada. Pero en este caso no es correcto usar L’Hopital, ya que
podemos seguir utilizando recursos algebraicos. Vemos cómo.
Hacemos x – 1 = y.
Entonces, cuando x  1 y  0
Y además x – 2 = y + 1 – 2 = y – 1
Y reemplazamos en (1):
1y
1
y
)y(sen
lím
)1y(y
)y(sen
lím
)2x()1x(
)1x(sen
lím
0y
0y1x








Por propiedad de límite:
1y
1lím
y
)y(senlím
1y
1
y
)y(senlím
0y0y0y 




= -1
Al aplicar L’Hopital se llega al mismo resultado pero no es correcto hacerlo en este caso.
c.
xx e
xlnx
lím


Al hacer tender x a más infinito, resulta una indeterminación de la forma / (observar que ex
tiende a más infinito cuando x tiende a más infinito). Resolvemos usando L’Hopital.
xxxx e
x
1
xxln.1
lím
e
xlnx
lím




(derivamos numerador y denominador)
xxxx e
1xln
lím
e
xlnx
lím




Como persiste la indeterminación, usamos nuevamente L’Hopital.
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Práctico 7 – Derivadas - EJERCICIO 34 3
xx e
xlnx
lím

 xx e
x
1
lím


Derivamos numerador y denominador y calculamos el límite.
xx e
xlnxlím 
 xx xe
1lím


xx e
xlnxlím 

0
Entonces,
xx e
xlnxlím 

= 0
d. existeno
1e
1
x
1
lím
x
0x 


Cuando intentamos calcular el límite llegamos a la suma de dos infinitos de distinto signo, lo que
es una indeterminación (de la forma - ).
Podemos efectuar la resta sacando común denominador:
)1e(x
x)1e(
lím
1e
1
x
1
lím
x
x
0x
x
0x 










Con lo que logramos el cociente de dos funciones que tienden a cero (indeterminación de la
forma 0/0) y podemos usar L’Hopital.
Lo hacemos:








 1e
1
x
1lím
x
0x
xx
x
0x ex1e
1elím



(derivamos numerador y denominador)
Como la indeterminación persiste, volvemos a aplicar L´Hopital, derivando numerador y
denominador.








 1e
1
x
1
lím
x
0x
xxx
x
0x xeee
e
lím



Al calcular el límite resulta:








 1e
1
x
1
lím
x
0x
=
xxx
x
0x xeee
e
lím









 1e
1
x
1
lím
x
0x 2
1

Por lo que no es cierto que no existe
1e
1
x
1
lím
x0x 


.
e.
2
1
xln
1
1x
x
lím
1x




 

Al evaluar el límite en 1 nos encontramos con una suma de dos infinitos de signos contrarios,
(indeterminación del tipo - ). Operamos para llevar la función a una indeterminación donde
podamos aplicar L’Hopital.










 
  xln)1x(
)1x(xlnxlím
xln
1
1x
xlím
1x1x
Llegamos al cociente de dos funciones que tienden a cero cuando x tiende a 1 por lo que
aplicamos L’Hopital.
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Práctico 7 – Derivadas - EJERCICIO 34 4























x
1
)1x(xln
)1
x
1xxln
lím
xln)1x(
)1x(xlnx
lím
1x1x
(derivamos numerador y
denominador)
Operando























 1xxlnx
xlnx
lím
x
1xxlnx
)11xln
lím
1x1x
Como llegamos a una nueva indeterminación, volvemos a aplicar L’Hopital
1
x
1
xxln
x
1
xxln
lím
1xxlnx
xlnxlím
1x1x 










(derivamos numerador y denominador)
2xln
1xlnlím
1x 


(Operamos)
Y calculamos el límite
2
1
2xln
1xln
lím
1x





Por lo que es verdadero que
2
1
xln
1
1x
x
lím
1x








f. 2
x
2
2
0x
e
senx22
2xlím 











Estamos en presencia de una indeterminación del tipo 1.
Llamamos L al límite buscado.
L =
x
2
2
0x senx22
2xlím











Aplicamos logaritmo natural en ambos miembros.
ln(L) = ln
x
2
2
0x senx22
2x
lím 










(1)
O bien:
ln(L) =
x
2
2
0x senx22
2xlnlím











ln(L)










 senx22
2xln
x
2lím
2
0x
(propiedad de los logaritmos)
ln(L) 











 x
senx22
2xln2
lím
2
0x
La última expresión resulta ser el cociente de dos funciones que tienden a cero cuando x
tiende a cero.
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Práctico 7 – Derivadas - EJERCICIO 34 5
ln(L) =
x
)]senx22ln()2x[ln(2
lím
x
senx22
2x
ln2
lím
2
0x
2
0x














(logaritmo del
cociente)
Ahora usamos L’Hopital y derivamos en la última expresión numerador y denominador con lo
que resulta:
ln(L)
1
senx22
xcos2
2x
x2
2
lím
2
0x


























De este modo el numerador tiende a 2 cuando x tiende a cero y es:
ln(L)
1
senx22
xcos2
2x
x2
2
lím
2
0x

























ln(L) = 2
Por lo tanto:
x
2
2
0x senx22
2x
lnlím 










= 2
Reemplazando en (1)
ln(L) = 2
Entonces L= e2
Con lo que:
x
2
2
0x senx22
2x
llím 










= e2