5 Aplicaciones de la derivada parte 3

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
UBA XXI – MÁTEMATICA - Aplicaciones de la derivada_L’Hopital 1
Aplicaciones de la Derivada. Regla de L’Hopital
En la unidad anterior nos encontramos con el caso de límites de funciones a los que
llamamos formas indeterminadas. Para calcularlos se intentó volver a escribir la
expresión utilizando distintos procedimientos matemáticos. Pero no siempre podemos
aplicar estos procedimientos.
Por ejemplo, al querer calcular
x
1e
lím
x
0x


, tanto el numerador como el denominador
tienden a cero cuando x tiende a cero, produciéndose una indeterminación (de la
forma 0/0) que no podemos evitar con procedimientos algebraicos.
Para resolver límites como este, se puede usar el teorema llamado la regla de
L’Hopital, que enunciamos a continuación:
Regla de
L’Hopital
Sean f y g son dos funciones continuas y derivables en x = x0 de su dominio y g’(x)
distinto de cero.
Y 0)x(glím)x(flím
0xx0xx


y existe
)x(g
)x(f
lím
0xx 


finito, entonces se verifica que:
)x(g
)x(f
lím
)x(g
)x(f
lím
0xx0xx 



Análogamente
Sean f y g son dos funciones continuas y derivables en x = x0 de su dominio y g’(x)
distinto de cero.
Y 

)x(glím)x(flím
0xx0xx
y existe
)x(g
)x(f
lím
0xx 


finito, entonces se verifica que:
)x(g
)x(f
lím
)x(g
)x(f
lím
0xx0xx 



La regla también se cumple en el caso en que x tienda a infinito.
A continuación proponemos varios ejemplos en los que usamos directamente la regla
o que siendo indeterminados, debemos reducirlos a los casos anteriores.
Ejemplo1
Calculamos
x
1e
lím
x
0x


del cual sabemos que es una indeterminación.
Vemos si podemos aplicar L’Hopital
 0xlímy0)1e(lím
0x
x
0x


 Además existen las derivadas de ambas funciones siendo la
derivada de x distinta de cero.
En estas condiciones, podemos aplicar la regla:
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x
1e
lím
x
0x


=
1
e
lím
x
0x
(derivamos numerador y denominador)
Ahora el numerador y el denominador tienden a 1 cuando x tiende a cero. Por
lo que
x
1e
lím
x
0x


=
1
e
lím
x
0x
= 1
Ejemplo 2
Calculamos
x
xln
lím
x 
En este caso:
 cuando x tanto el numerador como el denominador tienden a
infinito. (Nos aseguramos que existen los límites de las funciones)
 Además existen ambas derivadas y la derivada del denominador es
distinta de cero.
Aplicamos la regla:
0
1
x
1
lím
x
xlnlím
xx


ya que cuando xel numerador tiende a cero.
Por lo tanto es:
x
xln
lím
x 
= 0
Observación:
En ocasiones es necesario aplicar la regla de L’Hopital más de una vez para quitar la
indeterminación. Veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3
Calculamos
x2cos1
2ee
lím
xx
0x 
 

Observamos que al calcular el límite para x tendiendo a cero, tanto el
numerador como el denominador tienden a cero. Además existen las
derivadas de las dos funciones.
Estamos en las condiciones de la regla de L’Hopital. La usamos.
x2sen2
ee
lím
x2cos1
2ee
lím
xx
0x
xx
0x







 (derivamos separadamente numerador
y denominador)
Pero al usar la regla, y volver a sustituir por x = 0, la indeterminación persiste.
Por lo que –verifiquen condiciones- usamos nuevamente la regla.
x2cos4
e2lím
x2sen2
eelím
x2cos1
2eelím
x
0x
xx
0x
xx
0x 







Volvemos a evaluar en x = 0 y resulta que el numerador tiende a 2 mientras
que el denominador tiende a 4. Por tanto es;
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2
1
4
2
x2cos4
e2
lím
x
0x


Y
2
1
x2cos1
2ee
lím
xx
0x


 

Además de las indeterminaciones de la forma 0/0 y /, hay otras indeterminaciones
que se suelen simbolizar: 0 ; - ; 1; 0; 00.
Los ejemplos siguientes muestran algunos de estos casos. Básicamente se intenta
convertir cada expresión en otra en la que sea aplicable la regla de L’Hopital.
Ejemplo 4
 Calcular
1x
1
xln
1lím
1x 


Solución
La función está definida para los valores de x mayores que cero y distintos de 1. Al
hacer tender x a 1, resulta una indeterminación (suma de dos infinitos de distinto
signo) por lo que para poder aplicar L’Hopital, escribimos la expresión de otra manera.
)1x(xln
xln1xlím
1x
1
xln
1lím
1x1x 




Al hacerlo, tanto el numerador como el denominador tienden a cero, (indeterminación
del tipo 0/0) por lo que estamos en condiciones de usar L’Hopital.
xln)1x(
x
1
x
1
1
lím
)1x(xln
xln1x
lím
1x
1
xln
1
lím
1x
1x1x










Operando:
xlnx1x
1xlím
x
xlnx1x
x
1x
lím
1x
1x







Como este límite también es indeterminado (numerador y denominador
tienden a cero cuando x tiende a uno) volvemos a aplicar L’Hopital;
1xln1
1
lím
1x 


Ahora, el denominador tiende a 1 y el denominador tiende a 2 cuando x tiende
a 1 por lo que
2
1
1xln1
1
lím
1x


Y
2
1
1x
1
xln
1lím
1x




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Ejemplo 5.
Resolvemos
xlnxlím 3
0x 
Al tender x a menos infinito el primer factor tiende a infinito y el segundo tiende
a cero. Es esta una indeterminación (habitualmente llamada de la forma 0).
Intentamos escribir la expresión de la función de manera equivalente.
3
0x
x
1
xln
lím

Ahora tanto el numerador como el denominador tienden a infinito, y como son
funciones derivables podemos usar la regla de L’Hopital.
xlnxlím 3
0x 
3
0x
x
1
xln
lím


4
0x
x
1
3
x
1
lím



(derivamos numerador y denominador)
3
0x
x
3
1
lím



(Cociente de potencias de igual base)
Por lo que es:
3
0x
3
0x
x
3
1
límxlnxlím



Pero en esta última expresión podemos calcular el límite por simple sustitución
y concluimos:
0x
3
1
límxlnxlím 3
0x
3
0x




Ejemplo 6
x
2senxlím
x


Es este ejemplo, cuando x tiende a infinito, nuevamente se produce una
indeterminación de la forma 0 
Para aplicar L’Hopital, escribimos la función como cociente de dos funciones
que tienden a cero:
x
1
x
2sen
lím
x
2
senxlím
xx 

Y derivamos numerador y denominador
2
2
xxx
x
1
x
2
cos.2.
x
1
lím
x
1
x
2
sen
lím
x
2
senxlím




Operando es:
x
2
cos.2lím
x
2
senxlím
xx 
 = 2
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Para calcular )x(g
0xx
))x(f(lím

en los casos de indeterminación (1, 00, 0) suele ser útil
calcular el logaritmo de dicho límite haciendo:
)x(g/1
))x(fln(
lím
))x(fln()x(glím
))x(fln(lím))x(f(límln
0xx
0xx
)x(g
0xx
)x(g
0xx














Y aplicar si es posible L’Hopital. Si el límite resulta ser L, el límite original será eL
Ejemplo 7
 Calcular x
0x
)senx(lím

Solución
Al hacer tender x a cero, tenemos una indeterminación del tipo 00.
Planteamos:
y = (senx)lím x
0x







Y tomamos logaritmo natural en ambos miembros.
ln(y) = 




x
0x
(senx)lnlím (1)
= senx)ln(xlím
0x
Con lo que llegamos a otra indeterminación (de la forma 0).
Reescribimos el producto:
x
1
)senxln(límsenx)ln(xlím
0x0x 

Con lo que llevamos la expresión a las condiciones del teorema de L’Hopital:
tenemos el cociente de dos funciones que tienden a infinito cuando x tiende a
cero. Aplicamos el teorema:
senx
xcosx
lím
x
1
xcos
senx
1
lím
x
1
)senxln(
lím
2
0x
2
0x0x







Como persiste la indeterminación, volvemos a aplicar L’Hopital.
xcos
)senx()x(xcosx2lím
2
0x


= 0
Ya que cuando x tiende a cero, el numerador tiende a cero pero el
denominador tiende a 1. Por lo que el cociente tiende a cero.
Luego, en (1)
ln(y) = ln (senx)lím x
0x






= 0
por lo que es
y= e0 = 1
de donde
x
0x
)senx(lím

= 1
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Ejemplo 8
Calcular x
2
x2
0x
xelím 



 

Solución
Al hacer tender x a cero más infinito tenemos una indeterminación del tipo 1.
Planteamos:
y = x
2
x2
0x
xelím 



 

Y tomamos logaritmo natural en ambos miembros.
ln(y) = x
2
x2
0x
xelnlím 



 

x)ln(e
x
2
lím 2x
0x


(propiedad logaritmos)
Ahora tenemos una indeterminación de la forma 0.. Hacemos:
x
x)ln(e2
límx)ln(e
x
2
lím
2x
0x
2x
0x



En la última expresión llegamos a una indeterminación del tipo 0/0 por lo que
podemos usar L’Hopital. Derivando numerador y denominador, es:
1
)1e2(
xe
12
lím
x
x)ln(e2lím
x2
2x
0x
2x
0x



Vemos que:
por lo que el numerador tiende a 6 y en consecuencia.
6
x
x)ln(e2
lím
2x
0x



Y
x
2
x2
0x
xelím 



 

= e6