TP Derivadas Ej 11

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico 7– Derivadas - EJERCICIO11 1
SOLUCION Y COMENTARIOS
a. 3 2x1)x(f 
f es la composición de las funciones:
Es decir, f(x) = (goh)(x) siendo h(x) = 1 + x2 y g(x) = 3 x
Comenzamos derivando la última función que se aplicó última: calcular la raíz cúbica, evaluada
en 1+x2.
3
2
2 )x1(
3
1


Y la multiplicamos por la derivada de la primera función (2x)
x2)x1(
3
1 3
2
2










Luego
 3 22
3
2
2
x13
x2
x2)x1(
3
1
)x('f











b.  3x2sen)x(f 3 
f es la composición de las siguientes funciones:
Es decir, f(x) = (gokoh)(x) siendo h(x)= 2x – 3; k(x) = sen(2x – 3); g(x) = sen3(2x – 3)
Procediendo del mismo modo que antes, comenzamos derivando la última función que se
aplicó última: g(x) = sen3(2x – 3) evaluada en sen(2x-3):
3sen2(2x-3)
11. Calculá f’(x), aplicando la regla de la cadena.
a. 3 2x1)x(f  b.  3x2sen)x(f 3 
c. 3x7ln)x(f  d. 2x5e4)x(f 
e. 2xsen
3x4)x(f  f.   xcos23 e2xsenxln)x(h 
g. 1xtg)x(m  h. 31
2x xcos)2xln(e)x(g  
i.
)x(lnsen
3
e
2xcos)x(p  j. 








x-1
xln)x(q
2
x 1 + x2
3 2x1
h g
Elevar al cuadrado y
sumar 1
Calcular la raíz
cúbica
x 2x – 3
h k g
sen(2x -3)
3
sen3(2x -3)
3
Al doble de x le
resta 3
Calcula el seno
Elevar al
cubo
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La multiplicamos por la derivada de la k(x) = sen(2x – 3) evaluada en 2x -3:
3sen2(2x-3)· cos(2x-3)
Y finalmente la multiplicamos por la derivada de 2x -3
3sen2(2x-3)·cos(2x-3)·2
Por lo tanto su derivada es:
f’(x) = 6sen2(2x-3)·cos(2x-3)
c. 3x7ln)x(f 
f es la composición de las funciones:
Es decir, f(x) = (gokoh)(x) siendo h(x)= 7 + x3; k(x) = 3x7  ; g(x) = )x7ln( 3
Procediendo del mismo modo que antes, comenzamos derivando la última función que se
aplicó última: g(x) = )x7ln( 3 evaluada en 3x7 
3x7
1

La multiplicamos por la derivada de la k(x) = 3x7  evaluada en 7 + x3
33 x7
1
2
1
x7
1



Y finalmente la multiplicamos por la derivada de 7 + x3
2
33
x3
x7
1
2
1
x7
1 



Por lo tanto su derivada es:
2
33
x3
x7
1
2
1
x7
1
)x('f 




Operando:
)x7(2
x3)x('f
3
2


Como f es la composición de tres funciones, al derivar aplicamos sucesivamente la regla de la
cadena.
En general:
)x7ln( 3x
3x7 
h k g
3x7 
Al cubo de x
le suma 7
Calcula la raíz
cuadrada
Calcula el
logaritmo
natural
f(x) = (gokoh)(x)f ’(x) = g’(koh)(x)·k’(h)(x) ·h’(x)
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d. 2x5e4)x(f 
En este caso podemos ver que f es la suma de dos funciones, es decir:
f(x) = m(x) + r(x)
donde m(x) = 4 y r(x) = 2x5e 
Podemos aplicar la derivada de la suma de funciones:
f ’(x) = 0 + ( 2x5e  )’ = ( 2x5e  )’ (1)
Para derivar r(x) = 2x5e  tenemos en cuenta que r es una función compuesta:
Derivamos usando:
r(x) = (gokoh)(x)  r ’(x) = g’(koh)(x)·k’(h)(x) ·h’(x)
Entonces
r’(x) = ( 2x5e  )’· ( 2x5  )’ ·(x+2)’


  1
2x2
5e)x('r 2x5
2x2
e5 2x5

 
Reemplazando en (1) resulta:
2x2
e5)x('f
2x5



e. 2xsen
3x4)x(f 
Podemos ver que la función f es de la forma f(x) = ax en la que se realizó la composición con h(x) =
x3-senx +2.
Entonces siendo f’(x) =
g’(h)(x) · h’(x), se tiene:
)xcosx3(4ln4)x('f 2
2senx3x 

(la derivada de ax es ax.lna )
f.   xcos23 e2xsenxln)x(h 
Podemos pensar a h(x) como r(x) – s(x) donde r(x) = )senxxln( 23 y s(x) = xcose2 .
Por lo tanto h’(x) = [ )senxxln( 23 ]’ – [ xcose2 ]’ (1)
x
h k g
2x5 x + 2
2x5e 
( 2x5e  )’
Evaluada en
2x5 
( 2x5  )’
Evaluada en
x + 2
(x+ 2 )’
x x
3 - senx + 2 2senx3x4 
h g
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Primero buscamos la derivada de r(x) = )senxxln( 23 :
Observemos que r es una función compuesta:
Es decir r(x) = (gof)(x), por lo que su derivada es r’(x) = g’(f(x)) · f’(x):
Recordamos que (lnx)’ =
x
1))'x(ln(  . (2)
Y además para hallar (x3 · senx2 )’ usamos la regla del producto;
(x3 · senx2 )’ = (x3) ‘ · senx2 + x3 (senx2 )’ (3)
Pero (senx2 )’ es nuevamente la derivada de una función compuesta (pues x está elevado al
cuadrado).
(senx2 )’ = cosx2 · 2x (4)
Derivando el primer sumando de (3) y reemplazando por (4) es:
(x3 · senx2 )’ = 3x2 · senx2 + x3 cosx2 · 2x
= 3x2 · senx2 + 2x4 cosx2 (5)
Luego:
r’(x) = )cosxx2senx·3x(
senxx
1 2422
23


(6)
Buscamos la derivada de s(x) = xcose2 .
s’(x) = 2 ( xcose )’ = 2·(-senx). xcose (7)
Finalmente reemplazamos (6) y (7) en (1):
h’(x) = [ )senxxln( 23 ]’ – [ xcose2 ]’ =
= )cosx2xsenx·3x(
senxx
1 2422
23


- 2·(-senx). xcose
= cosx
23
2222
e2·senx.
senxx
)cosxx2senx(3x



= cosx
2
222
e2·senx.
senxx
cosxxsenx3 


Razonando en forma similar a lo hecho en los ítems anteriores hallamos las restantes derivadas.
g. 1xtg)x(m 

 
xxtgx4
xsec
x1xtg4
xsec
x2
1xsec
1xtg2
xm
2
2
2








x x3 · senx2
f g
)senxxln( 23 
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h. 31
2x xcos)2xln(e)x(g  
      
 
3 2
12x
12x
3 2
12x12x
xcos3
senx
2x
e
2xlnxe2
senx
xcos3
1
2x
1
e2xlnx2exg












i. )x(lnsen
3
e
2xcos
)x(p



       
 
     
 
   
 
 
 
 
 xlnsen
32
xlnsen
32
2xlnsen
32
xlnsen
2
xlnsen
xlnsen3xlnsen2
2xlnsen
xlnsen3xlnsen2
e2xx2
xlncos2xcos2x22xsen2xcosx3
e
x
xlncos2xcos
2x2
2xsen2xcos3
e
x
xlncos2xcos
2x2
2xsen2xcos3e
e
x
xlncose2xcos
2x2
e2xsen2xcos3
e
x
1xlncose2xcose
2x2
12xsen2xcos3
xp




















 





















j. 








x-1
xln)x(q
2
    
 
 
 
 
 
   
 
)x1(x
x2
x1x
x2xx1
x1x
xx2x1
x1
xx2
x
x1
x1
xx2x2
x
x1
x1
1xx1x2
x1
x
1xq
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2









 














