3 Funciones continuas

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FUNCIONES CONTINUAS
Funciones
continuas
Se dice que una función es continua en un intervalo abierto (a; b) si para todo x0 en
(a; b) es:
)x(f)x(flím 0
0xx


La continuidad de la función f en x0 significa:
 Existe (y es finito) )x(flím
0xx
 Está definida f(x0) esto es, x0 pertenece al dominio de la función
 Los números dados en los dos ítems anteriores son iguales.
( )x(flím
0xx
= f(x0) son iguales)
Ejemplo 1
La función f(x) = x2 es continua para cualquier
x0 que pertenezca a su dominio.
Mientras que la función definida por









3xsi1
3xsi2
)x(f
es discontinua en x0 = 3
Para afirmar que una función es continua en x = x0 debe cumplirse ante todo que x0
pertenezca al dominio de la función, es decir debe estar f(x0) definida siendo un
número real.
Ejemplo 2
La función definida por
x
1)x(f  cuyo
dominio es Domf =  -{0} es continua
para todo x0 de su dominio, siendo x0 0.
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Observación.
Que una función sea continua en un conjunto (por ejemplo, en el intervalo [a; b])
significa que es continua en cada uno de los puntos de dicho conjunto.
En particular si f es continua en cada uno de los puntos de su dominio diremos
simplemente que f es continua.
Aceptaremos sin demostrar, las siguientes propiedades de las funciones
continuas:
Propiedades de
las funciones
continuas
Dadas dos funciones, f y g continuas en x0, se cumple entonces que:
 La suma y la resta de ambas es una función continua en x0.
 El producto de las dos funciones es una función continua en x0
 El cociente entre ambas funciones g/f es una función continua en x0 si es
g(x0)0
 Si f es continua en x0 y g es continua en f(x0), entonces la composición de
funciones )x)(fg(  es también continua en x0.
Para recordar:  Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.
 Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son
continuas para todo número real, salvo en aquellos en los que se anula el
denominador.
 Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas
en todo su dominio de definición.
 Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo su
dominio.
 La función tangente es continua en el intervalo (-,) o en intervalos
equivalentes a él.
Ejemplo 3.
La función f está definida mediante:









1xsix3
1xsi2
1xsi5x3
)x(f
Analizar la continuidad de f en x0 = -1
Solución
Para analizar la continuidad de la función en x0 = -1, debemos ver que se verifiquen
tres condiciones:
 La función esté definida en x0 = -1
 Exista el límite de la función para x0 = -1
 )1(f)x(flím
1x


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Vemos que:
 La función esté definida en x0 = -1 ya que es f(-1) = -2
 Analizamos si tiene límite para x0 tendiendo a -1.
Como la función está definida por partes para estudiar la existencia del
mismo, calculamos los límites laterales.
o Cuando x se acerca a -1 por la izquierda, esto es para los
x < -1, es
2)5x3(lím)x(flím
1x1x


o Cuando x se acerca a -1 por la derecha, esto es para los
x > -1, es
2)x3(lím)x(flím
1x1x


Luego es
2)x(flím)x(flím
1x1x


por lo que la función tiene límite para x tendiendo a -1:
2)x(flím
1x


 Pero la función no es continua en x = -1 ya que no se verifica que
)1(f)x(flím
1x


Se dice que una función que no es continua en x0 es discontinua en x0.
Los siguientes gráficos muestran algunos ejemplos de funciones que no son
continuas en x0 = 1
 La función no es continua en
x0 = 1 pues no está definida
allí.
Observamos que existen y son
iguales los límites laterales para
x tendiendo a 1:
0)x(flím)x(flím
1x1x


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 Existe 

)x(flím
1x
0
 La función está definida
para x0 = 1 pues f(1) = 3
Pero )1(f)x(flím
1x


por lo
que la función no es continua
en x0 = 1
 La función está definida
en x0 = 1 ya que f(1) = 3
 Pero 

)x(flím
1x
+
Por lo que la función no es
continua en x0 = 1
Recordar que la continuidad
se refiere a límite finito en el
punto.
 La función está definida
en x0 = 1 ya que f(1) = 3
 Pero la función no tiene
límite en x0 = 1 ya que los
límites laterales no son
iguales.
3)x(flím
1)x(flím
1x
1x




Luego la función no es
continua en x0 = 1
Tipos de
discontinuidad
Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias
para la continuidad se denomina discontinua.
 Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de
la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo,
se habla de discontinuidad evitable.
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Ejemplo 4:
La función f: - {1} /
1x
1x)x(f
2

 tiene límite finito en x = 1 ya que:
2
)1x(lím
1x
)1x()1x(lím
1x
1xlím
1x
1x
2
1x








La función no está definida para x = 1 pero sí tiene límite finito en ese punto.
Es una discontinuidad evitable. Luego podemos redefinir la función
asignándole como imagen a x = 1 el valor del límite:









1xsi2
1xsi
1x
1x
)x(g
2
 Existen otros tipos de discontinuidades que no pueden resolverse,
por lo que se llaman discontinuidades no evitables. Estas
discontinuidades se clasifican en:
 Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites
laterales (por la derecha y por la izquierda), pero no
coinciden.
 Discontinuidades asintóticas: cuando el límite es
infinito.
 Discontinuidades por el dominio de definición: cuando
existe el límite y la función está definida en el punto, pero
ambos valores no coinciden.
En sentido genérico, se llama discontinuidad de segunda
especie a la que tiene lugar cuando uno de los límites laterales es
finito y el otro es infinito o no existe.
Ejemplo 5
La función






 0xsi
x
1
0xsi1
)x(f presenta una discontinuidad esencial en el
origen ya que:
 f(0) = 1
 1)x(flím
0x




x
1lím)x(flím
0x0x
Por lo que no existe el límite en x0 = 0
En este caso no podemos redefinir la función
para evitar la discontinuidad.
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Propiedades de las funciones continuas
Al trabajar con las funciones polinómicas enunciamos el teorem de Bolzano y sus
conseceuncias. Las recordamos aquí.
Teorema de
Bolzano
Si una función f es continua en un intervalo [a; b] y tiene distinto signo en los
extremos del mismo, entonces tiene por lo menos una raíz en el intervalo (a; b).
Simbólicamente
0)c(f/)b;a(cexiste
0)b(f).a(f
]b;a[encontinuaf





Gráficamente, interpretamos que si una función
continua cambia de signo en los extremos de un
intervalo, entonces necesariamente tiene un cero en
ese intervalo.
 El teorema de Bolzano asegura que existe al
menos un cero, pero no nos dice cuántos ceros
tiene la función en ese intervalo.
Consecuencia
del teorema de
Bolzano
1. Sea f una función continua en un intervalo [a; b] y k un valor intermedio
entre f(a) y f(b), f(a) < k < f(b), entonces existe un punto c en (a; b) tal que
f(c) = k
2. Si una función f es continua y no tiene ceros en un intervalo (a; b) entonces
es f(x) > 0 en todo el intervalo o bien f(x) < 0 en todo el intervalo.
3. Si f es una función continua y x1 y x2 son dos ceros consecutivos de f,
entonces (x1; x2) es un intervalo de positividad o bien (x1; x2) es un intervalo
de negatividad.
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Teorema de
Weierstrass
Si una funciónf(x) está definida y es continua en un intervalo cerrado [a, b],
entonces f(x) alcanza al menos un máximo y un mínimo absolutos en el
intervalo [a, b].
El teorema no nos indica
donde se encuentra el
máximo y el mínimo, sólo
afirma que existen.
Veamos algunos ejemplos en donde usamos estos teoremas.
Ejemplo 6.
Comprobar que la ecuación x3 + x – 1 tiene al menos una solución real en el
intervalo [0; 1]
Solución
Consideremos la función f(x) = x3 + x – 1 que, por ser polinómica es
continua en todo su dominio y en particular en el intervalo [0; 1] y
estudiemos el signo que toma la función en los extremos del intervalo.
f(0) = -1 y f(1) = 1
Luego, por el teorema de Bolzano, si una función es continua en un
intervalo cerrado y toma valores de signos contrarios en los extremos del
mismo existe un punto c en (a; b) tal que f(c) = 0.
Por lo que la ecuación tiene al menos una solución real en ese intervalo.
Ejemplo 7.
Probar que la ecuación x = cos x tiene solución positiva.
Solución
Consideremos la función: f(x) = x - cos x
f(x) es continua en todo  puesto que es la suma de dos funciones
continuas en todo por lo que es continua en el intervalo [0, 1] .
Además,
• f(0) = 0 - cos 0 = 0 - 1 = - 1 < 0
• f(1) = 1 - cos 1 = 1 - 0,54 = 0,46 > 0
Según el teorema de Bolzano, existe un c(0, 1) tal que f(c) = 0, por lo
tanto la ecuación x = cos x tiene al menos una solución positiva.
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Ejemplo 8.
Demostrar que la ecuación 4x3 – 4x +1 = 0 tiene una solución real.
Solución
Consideremos la función f(x)= 4x3 – 4x +1. Por se runa función polinómica
es continua en todo su dominio, por lo tanto en todo intervalo cerrado que
se considere.
Tratamos de encontrar el intervalo en el que se verifique el teorema de
Bolzano. Para ello necesitamos un intervalo en el que la función tome
valores de signos contrarios.
 Para x = 0 es f(0) = 1
 Para x = 1 es f(1) = 1
 Para x = -1 es f(-1) = 1
 Para x = -2 es f(-2) = -23
Luego en el intervalo [-2; -1] la función toma valores de signos opuestos.
Por lo que podemos asegurar que en ese intervalo la ecuación
4x3 – 4x +1 = 0
tiene una solución real.
Ejemplo 9
Analizá si la función dada por






2x0si1x2
0x2si1x)x(f
2
alcanza un
máximo y un mínimo en el intervalo [-2; 2].
Solución
Para aplicar el teorema de Weirstrasss debemos analizar si la función es
continua en el intervalo [-2; 2]. El posible punto de discontinuidad es x = 0
ya que en las fórmulas que definen la función son polinómicas y ya
sabemos que estas funciones son continuas en todo .
Vemos si es continua en x = 0.
Para ello debemos analizar si:
 Existe límite de f cuando x tiende a cero.
 Si existe f(0)
 Si el límite para x tendiendo a cero es igual al valor de la función en
x = 0.
Calculamos )x(flím
0x
.
Para ello, buscamos los límites laterales de f.
 11xlím)x(flím 2
0x0x


 11x2lím)x(flím
0x0x


Por lo que el )x(flím
0x
= -1
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Calculamos f(0):
f(0) = 2. 0 = -1
Como es f(0) = )x(flím
0x
= -1 la función es continua en x = 0
Por lo tanto podemos afirmar por el teorema de Weirstrass, que la función alcanza
un máximo y un mínimo en el intervalo [-2; 2].