Rtas (EP TP4)

Vista previa del material en texto

Matemática 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
PRÁCTICO 4. FUNCIONES ESPECIALES 
 
RESPUESTAS EJERCICIOS DE PARCIALES 
 
 
• Las formas de resolución de los problemas y ejercicios 
pueden no ser únicas. Si pensás que los podes 
resolver de otra manera y no estás seguro consúltanos 
en los foros. 
 
 
 
1. Dada f(x) = 52x-1 – 125 
a. Hallá analíticamente la intersección del gráfico de f con los ejes. 
b. Escribí el conjunto de negatividad. 
 
Solución y comentarios 
La función f(x) = 52x-1 – 125 es una función de tipo exponencial. Su dominio son los números reales 
Contestamos: 
a. Hallá analíticamente la intersección del gráfico de f con los ejes 
La intersección con el eje de ordenadas ¨y¨ la hallamos buscando el valor que toma la función 
cuando x = 0. 
Luego es; 
f(0) = 5-1 – 125 
 = 125
5
1
− 
f(0) = 
5
624
− = -124, 8 
La intersección con el eje de abscisas ¨x¨, la encontramos buscando para qué valores de x la 
función es igual a cero. 
52x-1 – 125 = 0 
 Por lo que es: 
52x-1 = 125 
Como 125 = 53 podemos escribir, 
52x-1 = 53 
Luego debe ser: 
2x – 1 = 3 
 Por lo tanto: x = 2 
Entonces es f(x) = 0 sí y sólo sí es x = 2 (verificarlo) 
 
 
 
 
Matemática 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
 
b. Escribí el conjunto de negatividad. 
Para contestar nos apoyamos en el teorema de Bolzano y sus consecuencias. 
Ubicamos el cero sobre la recta real y observamos que el 
dominio (el conjunto de los números reales) nos queda dividido 
en dos intervalos: (-∞; 2) y (2; +∞). 
Consideremos en cada intervalo un número real y vemos que signo toma la función: 
• En (-∞; 2), x = 0 y es f(0) = -124, 8. Luego en (-∞; 2), la función es negativa. 
• En (2; +∞), x = 3 y es f(3) = 3000. Luego en (2; +∞), la función es positiva. 
Por lo que la función es negativa en el intervalo (-∞; 2), 
 
 
 
Contenidos 
involucrados 
 
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a: 
• Función exponencial. 
• Intersección con los ejes de la función exponencial. 
• Teorema de Bolzano y sus consecuencias. 
 
 
 
 
 
2. Considerá las funciones f(x) = cos3x y g(x) = 8 lnx. 
a. Hallá la función compuesta fg o . 
b. Escribí su dominio. 
 
 
Solución y comentarios 
a) Buscamos la función fg o : 
( )
)x3ln(cos8
)x3(cosg
fg)x)(fg( )x(
=
=
=o
 
b) La función )x3 está definida para cos 3x > 0, por definición de la función 
logaritmo. Por lo que tenemos que analizar para que valores de x se verifica que cos3x > 0, es 
decir cunado es positiva. 
ln(cos8)x)(fg( =o
Como la función coseno es una función periódica, analizamos lo que sucede en un período y 
luego lo ampliamos a todo el dominio. (Recordemos que el dominio de la función coseno es el 
conjunto de los números reales). 
La función cos 3x tiene período 
3
2T π= . 
Podemos analizar la función en el intervalo ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ π
3
2;0 
Hagamos 3x = t y busquemos los ceros de la función: 
 
 
 
Matemática 
 
Material clusivamente educativo 
cos t = 0 si t = π+π k
2
 (siendo k un número entero) 
Como t = 3x, es: 
3x = π+π k
2
 
Dividiendo miembro a miembro por 3: 
Ζ∈
π
+
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
=
kcon
3
k
6
3:k
2
x
 
 
Damos valores a k, para ver qué valores de
3
k
6
x π+π= se encuentran en el intervalo ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ π
3
2;0 
 
 k = -1 k = 0 k = 1 k = 2 
3
k
6
x π+π= 
6
x π−= 
6
x π= 
26
3x π=π= 
6
5x π= 
¿Pertenece a ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ π
3
2;0 NO SÍ SÍ NO 
 
Luego, en el intervalo ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ π
3
2;0 , el conjunto de ceros es C0 = 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ππ
2
;
6
 
Al ubicar los ceros en la recta numérica, nos quedan determinados los intervalos 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
3
2;
2
y
2
;
6
;
6
;0 . Analizamos el signo de la función en cada uno de ellos. 
 
• En ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
6
;0 x =
12
π ; 
2
2
4
cos
12
3cos =π=π , por lo que la función es positiva en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
6
;0 
• En ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
2
;
6
x =
3
π ; 1cos
3
3cos −=π=π , por lo que la función es negativa en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
2
;
6
 
• En ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
3
2;
2
x = 
12
7π ; 
2
2
4
7cos
12
73cos =π=π por lo que la función es positiva en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
3
2;
2
 
Por lo tanto, en el intervalo ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ π
3
2;0 la función es: 
• Positiva en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
6
;0 ∪ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
3
2;
2
 
• Negativa en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ππ
2
;
6
 
Como solamente estudiamos el conjunto de positividad y negatividad para un período, lo 
extendemos ahora a todo el dominio de la función, sumando a los extremos de la función el período 
 de uso ex
 
3
2T π= 
 
 
Matemática 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
Entonces si cos 3x está definida para todos los reales es: 
• Positiva en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
ππ
+
π
∪⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
ππ
+ k
3
2
3
2;k
3
2
2
k
3
2
6
;k
3
20 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
ππ
+
π
∪⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
ππ k
3
2
3
2;k
3
2
2
k
3
2
6
;k
3
2 con k entero. 
• Negativa en ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
ππ
+
π k
3
2
2
;k
3
2
6
 con k entero. 
Para dar el dominio de la función que estamos estudiando, )x3ln(cos8)x)(fg( =o nos interesan los 
intervalos de positividad de cos 3x. 
Por lo que dominio de es )x3ln(cos8)x)(fg( =o ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
ππ
+
π
∪⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
ππ
+ k
3
2
3
2;k
3
2
2
k
3
2
6
;k
3
20 con 
k entero. 
 
 
Contenidos 
involucrados 
 
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a: 
• Composición de funciones 
• Función logaritmo. Dominio de definición. 
• Función trigonométrica. Ceros. Intervalos de positividad y 
negatividad. 
• Teorema de Bolzano y consecuencias. 
 
 
 
3. Considerá la función g: [-π;π] ℜ tal que. g(x) = sen2x – 1. 
a. Encontrá el conjunto de ceros de la función g. 
b. ¿En qué puntos del intervalo [-π; π] la función alcanza sus valores mínimos? 
 
 
Solución y comentarios 
La función g: [-π;π] ℜ tal que. g(x) = sen2x – 1, está definida en el intervalo [-π;π]. Las respuestas 
las daremos dentro de este intervalo de definición. 
a. Encontrá el conjunto de ceros de la función g. 
Para hallar los ceros de la función igualamos la fórmula a cero: 
sen2x – 1 = 0 
Luego: 
sen2x = 1 
Si hacemos 2x = u, queda: 
sen u = 1 
Y esto es cierto para )enteronúmerounksiendo(k2
2
u π+π=
Y como es u = 2x: 
 
 
 
Matemática 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
)enteronúmerounksiendo(k
4
x
2:k2
2
x
)enteronúmerounksiendo(k2
2
x2
π+
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
=
π+
π
=
 
Damos valores a k, para ver qué valores de π+π= k
4
x se encuentran en el intervalo [-π;π] 
 
 k = -2 k = -1 k = 0 k = 1 
π+
π
= k
4
x 
4
7x π−= 
4
3x π−= 
4
x π= 
4
5x π= 
¿Pertenece a [-π;π]? NO SÍ SÍ NO 
 
Luego es C0= 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ ππ−
4
;
4
3 
 
b. ¿En qué puntos del intervalo [-π; π] la función alcanza sus valores mínimos? 
Busquemos la imagen de la función. 
La función sen2x tiene como imagen el intervalo [-1; 1] (¿Por qué?) 
Podemos escribir: 
-1 ≤ sen2x ≤ 1 
Sumando miembro a miembro -1: 
-1 - 1 ≤ sen2x – 1 ≤ 1 – 1 
 - 2 ≤ sen2x – 1 ≤ 0 
Luego la función sen2x – 1 tiene como imagen el intervalo [-2; 0]. 
El valor mínimo que alcanza es f(x) = -2. 
Veamos para qué valores de x se alcanza este valor: 
 sen 2x – 1= -2 
 sen 2x = - 2 + 1 
 sen 2x = - 1 
Si hacemos 2x = u, queda: 
sen u = -1 
Y esto es cierto para )enteronúmerounksiendo(k2
2
3u π+π= 
Y como es u = 2x: 
)enteronúmerounksiendo(k4
3x
2:k2
2
3x
)enteronúmerounksiendo(k2
2
3x2
π+
π
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π+
π
=
π+
π
=
 
 
 
 
Matemática 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
Damos valores a k, para ver qué valores de π+π= k
4
3x se encuentran en el intervalo 
[-π;π] 
 
 k = -2 k = -1 k = 0 k = 1 
π+
π
= k
4
3x 
4
5x π−= 
4
x π−= 
4
3x π= 
4
7x π= 
¿Pertenece a [-π;π]? NO SÍ SÍ NO 
Luego la función alcanza su valor mínimo cuando es: 
4
3xó
4
x π=π−= . 
 
 
 
Contenidos 
involucrados 
 
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a: 
• Función trigonométrica. 
• Ceros de la función seno. 
• Mínimos de la función seno. 
 
 
 
 
4. La desintegración de un cierto material radiactivo está dada por Q(t) = Q0.10- kt donde Q está 
dado en gramos y t en años. 
a. Si gramos, encontrá el número real k, si 500Q0 = 450Q = gramos cuando 
1000t = años. 
b. ¿Cuánto vale Q para t = 1000 años? 
 
Solución y comentarios 
a. Nos dan Q(t) = Q0.10- kt y como datos: 500 y Q(1000) = 450. Entonces para hallar k 
reemplazamos en la fórmula. 
Q0 =
Q(1000) = 500 . 10 – k1000 = 450 
Resolvemos: 
500. 10–1000 k = 450 
 10–1000 k = 9,0
500
450
= 
 10–1000 k = 0,9 
Para hallar k, tomamos logaritmo decimal en ambos miembros. 
 log(10–1000 k) = log 0,9 
 -1000 k. log 10 = log 0,9 
 -1000 k = log 0, 9 
 -1000 k = -0, 0457575 
 k = (-0, 0457575) : (-1000) 
 
 
 
Matemática 
 
Material de uso exclusivamente educativo 
 k = 0,00004575 
Luego es k = 0, 00004575 
Y Q(t) = 500.10- 0,00004575t 
 
b. ¿Cuánto vale Q para t = 1000años? 
En realidad esta información es dato, ya que nos dicen que para t = 1000 es Q(t) = 450. 
Lo verificamos, reemplazando en la fórmula por t = 1000. 
Q(t) = 500.10- 0,00004575. 1000 
Q(t) = 500.10- 0, 04575 
Q(t) ≡ 450,008 
 
 
 
 
Contenidos 
involucrados 
 
En este ejercicio se usan los contenidos relativos a: 
• Función exponencial y logarítmica. 
• Propiedades de estas funciones.