1 Límites de funciones (1)

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UBA XXI – MÁTEMATICA - Límite de funciones
1
Límite de una función en un punto
Noción de límite Cuando se trabaja con funciones,
frecuentemente nos interesa averiguar el
comportamiento de una determinada función
cuando la variable x se aproxima a un cierto
valor, por ejemplo a.
Podría pensarse que para averiguarlo bastaría con calcular el valor de la
función en el punto que se está considerando, es decir calcular f(a). Sin
embargo, en muchos casos ese cálculo no responde a la pregunta que nos
hacemos por diferentes motivos:
 Algunas veces a no pertenece al dominio
de la función, en este caso no es posible
calcular f(a) pero sí tiene sentido
interesarse por el comportamiento de la
función en las cercanías de a.
 En otras ocasiones a pertenece al
dominio de la función, pero el
comportamiento de la función cerca de a
difiere bastante del valor de f(a).
 Puede suceder también que el
comportamiento de la función sea
diferente a la izquierda y a la derecha del
punto a.
Trabajaremos con algunos ejemplos que nos permitan analizar las distintas
situaciones.
Ejemplo 1
Consideremos la función f(x) = x2 – 1, cuyo dominio son los números
reales. Nos interesa conocer el comportamiento de la función para
valores cercanos a 2 pero no iguales a dos.
Para poder analizar este comportamiento nos ayudamos construyendo
tablas que nos den el valor que toma la función si nos acercamos a 2
con valores de x cada vez más pequeños que 2 y con valores de x
cada vez mas grandes que 2.
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Si nos acercamos a 2 con
valores de x más pequeños que
2, tenemos
x f(x) = x2 -1
1 0
1,5 1,25
1,75 2,0625
1,9 2,61
1,99 2,9601
1,9999 2,99960001
1,9999999 2,99999960
Si nos acercamos a 2 con valores
de x más grandes que 2, tenemos
x f(x) = x2 -1
3 8
2,75 6,5625
2,5 5,25
2,1 3,41
2,005 3,020025
2,000005 3,00002
2,0000001 3,0000004
En las tablas, observamos que:
 Si nos acercamos a 2 con
valores de x más pequeños
que 2 (nos acercamos a 2 por
izquierda) los valores de f(x)
se acercan cada vez más a 3.
 Y si nos acercamos a 2 con
valores de x, más grandes
que 2 (nos acercamos a 2 por
la derecha) los valores de f(x)
se acercan cada vez más a 3.
Lo vemos gráficamente
Para esta función, vemos que a medida que x toma valores más
próximos a 2, f(x) toma valores cada vez más cercanos a 3.
Esto se escribe simbólicamente de la siguiente manera:
3)x(flím
2x


Y se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 3”
Es importante señalar que al número 2 nos hemos aproximado
acercándonos por la izquierda (valores de x menores que 2) y por la
derecha (valores de x mayores que 2).
 Cuando queremos simbolizar, que x toma valores cercanos a 2
pero más pequeños que 2 esto es, x se aproxima a 2 por la
izquierda, lo indicamos así:
3)x(flím
2x


Que se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por izquierda es
3” y se lo llama límite lateral por izquierda.
 Y, del mismo modo, cuando x toma valores cercanos a 2, pero
mayores que 2, esto es, x se aproxima a 2 por la derecha, lo
indicamos así:
3)x(flím
2x


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Que se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por derecha es 3”
y se lo llama límite lateral por derecha.
Como ambos límites laterales son iguales, decimos que la función
tiende 3 cuando x tiende a 2. Se expresa simbólicamente
3)x(flím
2x


Llamamos límite de una función f cuando x tiende a un valor x0 al valor L al
que se acerca la función cuando x toma valores cada vez más próximos a x0.
Simbólicamente lo anotamos:
L)x(flím
0xx


Observación.
Al estudiar el límite de una función no se menciona el valor que toma
la función exactamente en el punto.
En el ejemplo, no importa cuál es el valor de f(2) sino el valor de f(x)
cuando x tiende a 2 (se acerca a 2).
Puede suceder que en ese punto, la función no esté definida.
Vemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Consideremos la función
1x
2x2
)x(f
2


 .
Su dominio es Dom(f) = - {1}
Como 1 no pertenece al dominio de la función y por lo tanto f(1) no
está definida, nos interesa estudiar cuál es el valor al que se
aproximan los valores de la función cuando x se aproxima a 1.
Construyamos una tabla en la que x se aproxime a 1 por la izquierda
de él y otra en la que se aproxime a 1 por la derecha.
x < 1 x > 1
x
1x
2x2
)x(f
2



0 2
0,5 3
0,75 3,5
0,9 3,8
0,99 3,98
0,9999 3,9998
0,9999999 3,9999998
x
1x
2x2
)x(f
2



2 6
1,75 5,5
1,5 5
1,1 4,2
1,005 4,01
1,000005 4,00001
1,0000001 4,0000002
Observamos que cuando nos acercamos a x = 1 por la izquierda o
por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 4 (tienden a 4).
Podemos escribir:
4)x(flím)x(flím
1x1x


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Graficamos la función:
Puede observarse que aunque
la función no está definida para
x = 1, cuando nos acercamos
por la izquierda o por la derecha
a 1, la función se acerca a 4.
Esto es cuando x toma valores
muy cercanos a 1, la función se
aproxima a 4.
Lo expresamos:
4)x(flím
1x


Límites laterales Decimos que f tiende a M cuando x tiende a x0 por la izquierda si a medida
que x toma valores cada vez más próximos a x0 pero menores que él (x < x0)
entonces f toma valores cada vez más próximos a M.
Simbólicamente lo expresamos:
M)x(flím
0xx


Análogamente, decimos que f tiende a N cuando x tiende a x0 por la derecha
si a medida que x toma valores cada vez más próximos a x0 pero mayores
que él (x>x0) entonces f toma valores cada vez más próximos a N.
Simbólicamente lo expresamos:
N)x(flím
0xx


Los límites laterales no siempre coinciden pero si lo hacen, son iguales al
límite de la función.
Decimos que una función f tiene límite x tiende a x0 si y sólo si los límites por
izquierda y por derecha a x0 coinciden. O sea;
L)x(flím)x(flím
0xx0xx


Si los límites laterales cuando x tiende a x0 existen pero no son iguales,
decimos simplemente que la función no tiene límite cuando x tiende a x0
Interesa hacer notar que el hecho de que los límites laterales cuando x tiende
a x0 existan no implica que la función esté definida en x0.
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Ejemplo 3
Consideremos ahora la función:






1xsi1x
1xsix)x(f
2
El dominio de esta función son los números reales: Dom(f) = .
La función tiene la particularidad que a la izquierda de 1 y a la
derecha de 1 los valores de f(x) se calculan usando distintas
fórmulas.
Así, si x = -1, como es x < 1, debemos calcular su imagen usando
que f(x) = x2.
Por lo que es f(-1) = (-1)2 = 1
Y si x = 2, al ser x > 1; buscamos su imagen usando que para x > 1
f(x) = -x + 1.
Por lo que es f(2) = -1
En particular, la función está definida para x = 1 y es f(1) = 0.
(Calculamos su imagen sabiendo que para x 1 es f(x) = -x + 1).
Nos interesa analizar qué sucede con los valores de la función
cuando x se aproxima a 1 por izquierda y por derecha.
Construyamos una tabla en la que x se aproxime a 1 por la izquierda
y otra en la que se aproxime a 1 por la derecha de 1.
x < 1
X f(x) = x2
0 0
0,5 0,25
0,75 0,5625
0,9 0,81
0,99 0,9801
0,9999 0,99980001
0,9999999 0,9999998
x > 1
x f(x) = -x+1
2 -1
1,75 -0,75
1,5 -0,5
1,1 -0,1
1,005 -0,005
1,000005 -0,000005
1,0000001 -0,0000001
Observamos que cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, la
función toma valores cada vez más cercanos a 1.
1)x(flím
1x


Y cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la función toma valores
cada vez más cercanos a 0.
Escribimos: 0)x(flím
1x


Como los valores a los que tiende la función cuando x se aproxima a
1 son distintos si lo hace por la derecha o por la izquierda,decimos
que la función no tiene límite para x = 1.
El gráfico de la función es:
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Ejemplo 4
Para la función del
gráfico, determiná:
a) Su dominio
b) )x(flím
0x 
)x(flím
3x 
)x(flím
1x
Respondemos observando el gráfico:
a) Al observar el gráfico vemos que f está definida para todos los
valores de x excepto para x = -3 .
Por lo tanto es Dom(f) = - {-3}
b) )x(flím
0x 
Cuando x tiende a cero por la izquierda los valores de la
función se acercan a -2.
2)x(flím
0x


Del mismo modo, cuando x tiende a cero por la derecha los
valores de la función se acercan a -2.
2)x(flím
0x


Como es 2)x(flím)x(flím
0x0x


,
entonces f(x) tiende a -2 cuando x tiende a cero:
2)x(flím
0x


Calculamos )x(flím
3x 
La función no está definida para x = - 3. Pero, al acercarnos a –
3 tanto por la izquierda como por la derecha, los valores que
toma f(x) se acercan cada vez más a 1.
1)x(flím)x(flím
3x3x


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Entonces f(x) tiende a 1 cuando x tiende a -3:
1)x(flím
3x


Y calculamos )x(flím
1x 
Si nos acercamos a 1 por la izquierda, los valores de la función
se aproximan a cero.
El límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda es 0.
0)x(flím
1x


Pero si nos acercamos a x = 1 por la derecha, los valores de la
función se aproximan a 4.
El límite de función cuando x tiende a 1 por la derecha es 4.
4)x(flím
1x


Como los límites laterales son distintos, decimos que la función
no tiene límite cuando x tiende a 1.
Cálculo de
límites
En la práctica para calcular límites reemplazamos en la función la variable x por
la coordenada del punto donde estudiamos el límite.
Por ejemplo:
 5213lím2x3lím
1x1x


 162lím2lím2lím 4
2x
22
2x
2x
2x






Propiedades y
álgebra de
límites
1. El límite de una función es único.
2. El límite de la función constante en cualquier punto es dicha constante
kklím
0xx


Si 2
0xx
1
0xx
L)x(glímyL)x(flím 

y L1 y L2 entonces:
3. 21
0xx
LL)]x(g)x(f[lím 

4. 21
0xx
LL)]x(g)x(f[lím 

5. 21
0xx
LL)]x(g)x(f[lím 

6. 0Lsi
L
L
)x(g
)x(flím 2
2
1
0xx


7. 0Lsi]L[)]x(f[lím 12
L
1
)x(g
0xx


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Veremos algunos ejemplos utilizando estas propiedades.
Ejemplo 5.
110
11ln
xlímxlnlím)xx(lnlím
2
2
1x1x
2
1x




Por propiedad del límite de la suma de funciones.
Ejemplo 6.
12
)2/2cos(12
)x2cos(lím)12(lím)x2cos(12(lím
2
x
2
x
2
x




Por propiedad del límite de una constante y del producto de funciones.
Ejemplo 7.
0
2
0
xlím
)16x(lím
x
16xlím
2x
4
2x
4
2x






Por propiedad del límite del cociente de funciones.
Limites infinitos En los ejemplos anteriores, al buscar a qué valores tiende la función,
cuando x se acerca a un número x0, vimos que dichos valores se
acercan a un número real.
Pero esto no siempre es así. Analizaremos a continuación algunos
ejemplos.
Ejemplo 8
Consideremos la función
3x
1)x(f

 cuyo dominio es Dom(f) =  -{3}
Como la función no está definida para x = 3, nos interesa estudiar qué
sucede con los valores de la función cuando x se aproxima a 3.
Para ello, buscaremos de acercarnos a 3 por izquierda y por derecha.
Ayudémonos con tablas:
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x < 3
x
3x
1
)x(f


2 -1
2,5 -2
2,75 -4
2,9 -10
2,99 -100
2,9999 -10000
2,9999999 -10000000,02
x > 3
x
3x
1
)x(f


4 1
3,75 1,333333333
3,5 2
3,1 10
3,005 200
3,000005 200000
3,0000001 10000000,02
Observamos que:
 a la izquierda de 3, y cerca de él, la función toma valores negativos,
cada vez más grandes en valor absoluto.
En este caso decimos que cuando x tiende a 3 por la izquierda la
función tiende a menos infinito.
Lo simbolizamos:

 3x
1
lím
3x
 a la derecha de 3, la función toma valores positivos cada vez más
grandes.
En este caso decimos que cuando x tiende a 3 por la derecha la
función tiende a más infinito.
Lo simbolizamos

 3x
1lím
3x
A la derecha mostramos la gráfica de la
función.
Observamos que cuando nos acercamos a 3 por la izquierda la función toma
valores cada vez más pequeños. Pero si lo hacemos por la derecha, la función
toma valores cada vez mayores.
En este caso, podemos decir que dado un intervalo que contenga a x0 podemos
encontrar un número real M > 0 tal que |f(x)| > 0
Decimos que una función f tiende a infinito cuando x tiende a x0 si a
medida que x toma valores cada vez más próximos a x0, la función f toma
en valor absoluto valores cada vez más grandes.
En este caso escribimos:


)x(flím
0xx
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Ejemplo 9
Analizamos el comportamiento de la
función cerca de x = 0 en el gráfico
adjunto.
La función está definida para los números
reales distintos que cero:
Dom(f) =  - {0}
Al acercarnos a x = 0 por la izquierda, la
función toma valores negativos, cada vez
más grandes en valor absoluto.


)x(flím
0x
También, al acercarnos a x = 0 por la derecha, la función toma valores
negativos, cada vez más grandes en valor absoluto.


)x(flím
0x
En este caso es: 

)x(flím)x(flím)x(flím
0x0x0x
Notemos que a veces, no disitnguimos entre +ó - . Cuando ponemos (sin
signo) estamos suponiendo que puede ser +ó - .
Si es necesario distinguirlo, le colocaremos el signo que corresponda.
Ejemplo 10.
Tomemos la función
3 x4
2)x(f

 definida en  -{4}
Calculamos sus límites laterales para x tendiendo a 4 sin hacer tablas.
Vemos que:
 si x se aproxima a 4 por la izquierda 3 x4  se aproximará a cero ya
que 4 –x > 0. Así f(x) se hará tan grande como se quiera si tomamos
x < 4 suficientemente próximo a 4.
De esta forma

 34x x4
2
lím
 En forma similar, si x se aproxima a 4 por la derecha, 3 x4  se
aproximará a cero pero por valores negativos, ya que 4 –x < 0.
Así f(x) se hará negativa y en valor absoluto tan grande como se
quiera si tomamos x > 4 suficientemente próximo a 4.
De esta forma

 34x x4
2
lím
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 Nos preguntamos cuánto vale
34x x4
2
lím

Como ambos límites laterales son infinitos pero de distinto signo sólo
podremos afirmar que en valor absoluto la función tiende a infinito.
Asíntota vertical En general si f es una función tal que


)x(flímó)x(flím
axax
decimos que la recta x = a es una asíntota vertical de f.
En el ejemplo 10 la recta x = 4 es una
asíntota vertical de la función dada por
3 x4
2)x(f


Observamos en este caso, que la
gráfica de la función (en azul) se
acerca infinitamente a la recta x = 4
pero no la interseca.
Límites en el
infinito
Diremos que x tiende a más infinito cuando toma valores positivos “muy
grandes” y diremos que x tiende a menos infinito cuando toma valores negativos
que considerados en valor absoluto son “muy grandes”
En estos casos, podemos calcular límite de la función para esos valores a los
que tiende la variable independiente.
Podrá suceder que los límites hallados sean o no finitos.
Decimos que una función f tiende a un número L cuando x tiende a infinito si a
medida que |x| toma valores cada vez más grande, f(x) tiende a L.
Simbolizamos:
L)x(flímóL)x(flím
xx


Decimos que una función f tiende a infinito cuando x tiende a más infinito si a
medida que |x| toma valores cada vez más grande, |f(x)| toma valores cada vez
más grandes.
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Ejemplo 11
Consideremos nuevamente la función
3x
1
)x(f

 cuyo dominio es
Dom(f) =  -{3}
Nos interesa conocer qué es lo que sucede con los valores de la
función cuando x toma valores cada vez más grandes en valor
absoluto.
Hacemos una tabla, para valores de x positivos suficientemente grandes
y otra para valores de x negativos, cada vez más pequeños.
Para valores de x positivos suficientemente grandes
x 3x
1
)x(f


10 0,142857142857143
100 0,0103092783505155
1000 0,00100300902708124
10000 0,000100030009002701
100000 0,0000100003000090003
1000000 0,00000100000300000900
Para valores de x negativos suficientemente pequeños
x
3x
1
)x(f


-10 -0,07692307692307690000
-100 -0,00970873786407767000
-1000 -0,00099700897308075800
-10000 -0,00009997000899730080
-100000 -0,00000999970000899973
-1000000 -0,00000099999700000900
Observamos que:
 Para valores positivos de x suficientemente grandes los valores de
3x
1)x(f

 son positivos y tan cercanos a cero como se desee.
En este caso decimos que cuando x tiende a más infinito la función
tiende a cero.
Lo simbolizamos
0
3x
1lím
x


 Para valores negativos de x suficientemente pequeños los valores de
3x
1)x(f

 son negativos y tan cercanos a cero como se desee.
En este caso decimos que cuando x tiende a menos infinito la función
tiende a cero.
Lo simbolizamos
0
3x
1
lím
x


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En el dibujo, observamos que
a medida que nos alejamos de
x = 3 hacia la derecha o hacia
la izquierda, el gráfico de la
función se acerca cada vez
más a la recta y = 0
En este caso, decimos que la
recta y = 0 es una asíntota
horizontal de la función
Asíntota
horizontal
En general si f es una función tal que
k)x(flímók)x(flím
xx


siendo k un número real, y = k es una asíntota horizontal de f.
Ejemplo 12
Encontrar la asíntota horizontal de
3x
2x
)x(f



Resolvemos:
Primero que nada vemos que el dominio de f es Dom(f) =  -{-3}.
Para hallar la asíntota horizontal, debemos ver qué pasa con la función
cuando x tiende a más infinito y cuando x tiende a menos infinito.
Tratemos de hacerlo sin recurrir a una tabla.
Busquemos primero
3x
2x
lím
x 


Cuando x toma valores cada vez más grandes (x+) tanto el tanto el
numerador como el denominador de
3x
2x

 se hacen infinitamente grandes,
por lo que no podemos decir cómo se comporta la función.
Intentamos otro camino.
Si en la expresión
3x
2x

 dividimos numerador y denominador por x 0,
podemos escribir:
x
3
1
x
21
x
3x
x
2x
3x
2x








Observamos que cuando x toma valores cada vez más grandes, (x+),
tanto
x
3
como
x
2 se acercan a cero (tienden a 0) y
x
3
1y
x
2
1  se
acercan a 1 (tienden a 1), por lo que el cociente
x
3
1
x
2
1


también tiende a 1
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Por lo tanto;
1
x
3
1
x
2
1
lím
3x
2x
lím
xx







De manera análoga, si x toma valores cada vez más pequeños (x  -) es
1
x
31
x
21
lím
3x
2x
lím
xx







Luego, como es 1)x(flím)x(flím
xx


la función tiene una asíntota
horizontal de ecuación y = 1.