TP Unidad 3 FUNCIONES ESPECIALES

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UBA XXI Modalidad virtual 
 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
UNIDAD 5: FUNCIONES ESPECIALES 
 
 
Temas del Práctico 
Funciones especiales: Función exponencial, logarítmica. La función logarítmica como 
inversa de la exponencial. Aplicaciones al estudio de poblaciones. Funciones 
trigonométricas. Definición. Gráfico. Propiedades. Aplicación a la resolución de 
problemas. 
 
Bibliografía obligatoria 
 
 Material de apoyo de la cátedra 
 AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La 
Copia S.R.L., 1995; Capítulo V. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. 
 AA.VV., Matemática Teórica. Ciclo Básico Común, Buenos Aires, Centro de Copiado La 
Copia S.R.L., 1995; Capítulo VI. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS. 
 
 
Trabajo Práctico. Funciones Especiales 
 
 
1. a. ¿Entre qué valores, medidos en radianes varía la amplitud de un ángulo contenido en el 
primer cuadrante? 
b. ¿Y en el segundo, tercero y cuarto cuadrante respectivamente? 
2. En una circunferencia trigonométrica, determiná las coordenadas cartesianas de los 
siguientes puntos. 
 





 π




 π





 ππ
4
5P d. 
4
7 -P c.
 
2
11P b. )P(3 a.
 
 
3. Si t y t’ verifican que t’= t + 2kπ, hallá t’ para -1≤k≤2, (k ∈Ζ) en los siguientes casos: 
 
a. π= 
4
7 t b. 
5
 t π= c. 
3
2 t π= 
 
4. Una autopista describe un arco de circunferencia de 200 metros de longitud. 
¿Cuál es el radio de la circunferencia en cuestión, si el ángulo del centro mide 2 radianes? 
 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 1 
farmacia
Cuadro de texto
3
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5. Utilizando la circunferencia trigonométrica, calculá sen x y cos x para: 
π+
π
−=π+
π
=
π
=
π
−=π=π=
π=
π
==
3
6
 xi.2
3
 xh. 
3
2 x.g
6
 xf. 2 xe. 
2
3 xd.
 x.c 
2
 xb. 0 x.a
 
6. Encontrá los valores reales de x que verifican: 
 
[ ]
[ ]
[ ] 


 π∈=π∈=
ππ∈=ππ∈=



 π∈=π∈=
2
3 ;0 y x 0 x cos f. 2;0 y x 
2
2 x cos e.
 ] ;[- y x 1- x cos d. ;- y x 
2
3 x sen .c
2
 ;0 y x
2
3 x sen .b 2;0 y x 
2
1 x sen a.
 
7 A partir de las gráficas de las funciones seno y coseno, encontrá: 
a. Los ceros de la función seno que pertenecen al intervalo [-2π; 3π]. 
b. Todos los valores de x que pertenecen al intervalo [-2π; 4π] tales que sen x = sen 
4
π . 
c. Todos los valores de x que verifican sen x = cos x. 
d. 
2
1 x sen y 2 ;
2
3 x =


 ππ∈ 
 
8. Si se sabe que el cos ω =
3
1 y que ω ∈ ;
2
 0; 


 π hallá: 
 a. 
2
cos 




 ω−
π b. 
2
3sen 




 ω+
π c. sen (π − ω) 
9. Sabiendo que cos α =
5
3 y que α ∈ 


 π
π 2 ;
2
3 determiná: 
a. sen α b. sen 2α c. cos
2
 α 
 
10 Graficá las siguientes funciones, en un mismo sistema de coordenadas y en el intervalo 
[0; 2π], e indicá en cada caso: dominio, imagen, raíces y periodicidad. 
a. f(x) = sen x y g(x) = 1 + 2sen x 
b. f(x) = cos x y 




 π−=
2
xcos)x(g 
 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 2 
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11. Relacioná cada una de las siguientes funciones con el gráfico que le corresponde. Justificá tu 
decisión. 
1- x cos (x)f2x sen (x)f x2cos )x(fx
2
1sen (x)f 4321 ===




= 
 
12. Para las siguientes funciones, hallá C0; C+ y C- en los intervalos indicados. 
 
 
13. a. Si f(x) = 2 sen 3x + 1, determiná todos los valores de x ∈ [-π; π] tales que f(x) = 2. 
b. Hallá todos los valores de x ∈ [0; 2π] que verifican 1 + sen x = cos x. 
c. Determiná x ∈ [0; 5π] tales que 
4
xsen 2 )x(f si 2 )x(f 




 π+== . 
14. Para cada una de las siguientes funciones determiná: 
a. Amplitud, período y conjunto de imágenes. 
b. Su valor máximo y mínimo y en qué puntos se alcanzan dichos valores. 
( ) 2 x cos (x)f 
 )xcos(
2
1- )x(f 1 )x2(sen
2
1 )x(f
 
2
-xsen 2- )x(f )x3(sen
3
1 (x)f
5
43
21
+π=
π−=+−=





 π==
 
[ ]
[ ]
 ] ;2[- en x cos
2
1 - x cos f(x) .e
3 0; en 1- x2sen f(x) d.
 ] ;[- en 1-2x sen f(x) .c
2 0; en x cos -1 f(x) .b
2
 0; en x 2sen f(x) a.
2
2
π=
π=
ππ=
π=



 π=
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 3 
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15. La función f(x) = 2 sen (x + π) + b, está definida en el intervalo [-2π; 2π]. 
a. Hallá el valor de b para que Im f = [0; 4] 
b. Para ese valor de b, encontrá: 
b.1. m y n tal que f(m) = 0 y f(n) = 4 
b.2. Los intervalos de positividad y negatividad de f. 
16. A partir del gráfico de f(x) = ex, 
a. Graficá las siguientes funciones: 
 
1-x-
6
x-
5
x-
4
1x
3
1-x
2
x
1
e )x(f 1- e )x(f
 e )x(f e )x(f
 e )x(f 2e)x(f
==
==
=+=
+ 
 
 b. En cada caso, hallá Imf y da las ecuaciones de las asíntotas de f. 
17. A partir de la gráfica de f(x) = 3X graficá las siguientes funciones, hallá la imagen y la ecuación 
de la asíntota de cada una de ellas. 
 
2 3 )x(f3 )x(f 13 )x(f 3)x(f -x4
2-x
3
x
2
1x
1 +==−==
+− 
18. Obtené los siguientes números sin usar calculadora ni tabla. 
 
 
( ) 5loge333
5
3
23
1ln6ln2
99.i1log.h3loglog.g
4
9log.f10000log.e
9
1log.d
e2.ce.beln.a
 
19. Dada f(x) = 3x-4 – 7. 
a. Encontrá los valores de x tal que f(x) = -4. 
b. Hallá la intersección del gráfico de f con los ejes. 
c. Graficá la función. 
d. Encontrá los intervalos de positividad y negatividad. 
20. Escribí dominio e imagen de f. 
 
2 - 
e
1 m(x) d. e - 4 f(x) c.
e f(x) .b e f(x) a.
x
1
x
3
x
2
x2
1
−
−
−





==
==
 
21. Hallá, en cada caso, el dominio, los ceros y los conjuntos de positividad y de negatividad de f. 
 [ ] 




=π+=
−==+=
x-2
1ln f(x) e. 4 0; en cosx)ln(-1 f(x) .d
)4(x ln f(x) .c3) - |xln(| f(x) b. 3)ln(-x f(x) a. 2
 
 
 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 4 
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22. Dadas las funciones: 
)x(3log )x(f |)x(|log )x(f 3 2 )x(fe )x(f 2423
-x
2
2-x 
1 −==+==
+ 
 
Decidí cuáles de los siguientes gráficos corresponde a cada una de ellas. 
 
23. Para cada función, hallá la fórmula, el dominio y la imagen de la función inversa f -1. 
 
3)ln(-2x 2 m(x) e.
 2x)-n(4l k(x) .d
1- e 3 h(x) c.
e g(x) b.
 e f(x) a.
3x-2
1x2
1-x
++=
=
=
=
=
+
+
 
24. Encontrá las fórmulas de h y h-1, donde h = f o g para: 
a. f(x) = ln(x - 3), g(x) = 2(x -1) 
b. f(x) = ln(3 – 2x), g(x) = |x| 
25. La desintegración de un cierto material radiactivo está dada por Q = Q0 ⋅ 10-kt, donde Q está 
dado en gramos y t en años. Si Q0 = 500, encontrá k si Q = 450 cuando t = 1000. 
26. Una población de insectos crece según la ley P(t) = 1 + 2et donde P es la cantidad (en miles) 
de insectos y t es el tiempo en meses desde el instante inicial. 
a. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población inicial? 
b. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población existente después del primer mes? 
 
 
 
 
Gráfico 1 
Gráfico 2 
Gráfico 3 Gráfico 4 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 5 
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27. La recta de ecuación 3x
2
9y −= se corta con la gráfica de lafunción xa.k)x(f = en 2x −= y 
en el eje y. Encontrá k y a. 
28. Un cultivo de bacterias triplica su número cada media hora y originalmente había 2.500 de 
ellas. 
a. ¿Cuál es la expresión general del número de bacterias después de n horas? 
b. ¿Cuántas bacterias habrá después de 45 minutos? 
c. ¿Cuántas habrá al cabo de 10 horas? 
d. ¿Cuándo habrá 25.000 bacterias? 
 
29. Un compuesto químico A se reduce a 
5
2 de la cantidad inicial cada 6 horas transformando el 
resto en otro compuesto B. Originalmente se disponía de 16.000 gramos de compuesto A. 
a. ¿Cuántos gramos de A habrá después de 4 días? 
b. ¿Cuántos gramos de A habrá después de 40 días? 
30. En ciertas regiones la cantidad de agua dulce comenzó a reducirse un 4% cada 5 años desde 
1.990. 
a. Si llamamos x a la cantidad de agua dulce que había en 1.990, ¿cuál de las siguientes 
expresiones indica la cantidad de agua dulce en dichas regiones t años a partir de 
1.990? 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) t55
t
t5
5
x
t5
t
96,0tC96,0xtC96,0xtC
96,0ttC96,0xtC96,0tC
=⋅=⋅=
⋅=⋅== 
 
b. Obtené la expresión de la cantidad de agua dulce en función de x para el año 2.040. 
 
 
 
 EN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS SOLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA 
31. Tené en cuenta la función g definida en el intervalo [-2π; π], tal que g(x)= sen(x+π) + 1. 
Los ceros de la función g son: 
 
2
;
2
3.a π−π 
2
3;
2
.b ππ 
2
5;
2
.c ππ 
2
3;
2
.d π−π 
2
3;
2
.e π−π− 
32. Considerá la función dada por f(x) = 5 - ln(1+x) y su función inversa f -1. La imagen de f -1 es: 
 a. (-∞; 5) b. (-∞; +∞) c. (-1; +∞) d. (-∞; -1) e. (0; +∞) 
33. El conjunto de positividad de la función definida por g(x) = ln(25x2) es: 





 ∞+∪




 −∞− ;;
5
1
5
1;.a 




 ∞+∪




 − ;;
5
10;
5
1.b 





 ∞+∪




 −∞− ;;
5
1
5
1;.c 




 −
5
1;
5
1.d 




 ∞+ ;;
5
1.e 
 
 
 
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34. Tené en cuenta las funciones cuyas expresiones son: 
 f(x) = 2x+1; g(x) = sen(x) y h(x) = (f ◦ g)(x) 
La imagen de h es: 
a. [-1; 1] b. [-3; 1] c. [-2; 2] d. [-1; 3] e. [-3; 3] 
35. Un proceso de desintegración se describe mediante la fórmula D(t)= C. e–k(t – 1) . Se sabe que 
D(1)= 3 y D(3) = 3.e– 0,2. Los valores de las constantes C y k son: 
a. C = 3; k = -0,2 b. C = 3; k = 0,1 c. C = 1/3; k = 0,1 
 d. C = 1/3; k = - 0,1 e. C = -3; k = -0,1 
36. La expresión de la función inversa de f(x) = ln(2x+1) es: 
a. f -1(x) = ln-1(2x+1) b. f -1(x) = e2x+1 
2
1e)x(fc.
x
 1- −= 1
e
1)x(fd. 5,0
 1- += 
37. En el intervalo [-π; 2π] el conjunto solución de 
2
3)x(sen −= es: 





 ππππ=
3
5;
3
4;
3
-;
3
2- Sa. 





 πππ=
3
-;
3
2-;
3
4- Sb. 





 ππ=
3
-;
3
2- Sc. 





 ππππ=
3
2;
3
;
3
-;
3
2- Sd. 
38. El dominio de la función )x32ln(
1)x(f
−
= es: 
a. (0; +∞) b. (-∞; 1/3) ∪ (2/3; +∞) c. (-∞; 1/3) ∪ (1/3; +∞) d. (-∞; 1/3) ∪ (1/3; 2/3) 
39. En el intervalo [0; 3π] se define la función 




 π
2
-2xsen = f(x) . El conjunto solución de f(x) = 1 es: 
 





 πππ=
2
5;
2
3;
2
 Sa. 





 πππ=
4
5;
4
3;
4
 Sb. 





 ππ=
2
5;
2
 Sc. 





 πππ=
4
9;
4
7;
4
 Sd. 
40. El período (P) y la imagen (Im) de la función dada por f(x) = 3cos(2x) + 5 son, respectivamente: 
a. P = π; Im= [-3; 3] b. P = 2π; Im= [-3; 3] c. P = 2π; Im= [2; 8] 
d. P = π; Im= [2; 8] e. P = π; Im= [-3; 5] 
 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 7 
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Respuestas 
1. a. 0 < α < π/2 9 a.
5
4sen −=α 
b. Segundo Cuadrante: π/2 < α < π 
 Tercer Cuadrante: π < α < 3π/2 
b. 
25
242sen −=α Cuarto Cuadrante 3π/2 < α < 2π 
2. a. P(3π) = (-1; 0) 
c. 
5
52
2
cos −=α b. P(11π/2 ) = (0; -1) 








=




 π−
2
2;
2
2
4
7P.c 
 10. a. 
 
 
Domf =[0; 2π] ; Imf = [-1; 1] 
{ }ππ= 2;;0)f(C0 
Dom g = [0; 2π] ; Img = [-1; 3] 






ππ=
6
11;
6
7C0 
No son periódicas en [0; 2π] 
 








−−=




 π
2
2;
2
2
4
5P.d 
 
 
3. 
a. π−
4
1 ; π
4
7 ; π
4
15 ; π
4
23 
 
 
b. π−
5
9 ;
5
π ; π
5
11 ; π
5
21 
 
 
c. π−
3
4 ; π
3
2 ; π
3
8 ; π
3
14 
 
 
4. 100 metros 
5. a. sen0 = 0; cos0 = 1 
 
b. 0
2
cos;1
2
sen =π=π 
 
 
 c. 1−=π=π cos;0sen 
 
d. 1
2
3sen −=π ; 0
2
3cos =π 
 
 
 e. 1=π=π 2cos;02sen 10. b. 
 
 
Domf = =[0; 2π] ; Imf = [-1; 1] 





 π
π
=
2
3;
2
C0 
No es periódica en [0; 2π] 
Domg = =[0; 2π] ; Img = [-1; 1] 
{ }ππ= 2;;0)f(C0 
No es periódica en [0; 2π] 
 f. 
2
3
6
cos;
2
1
6
sen =




 π
−−=




 π
− 
 
 
 
g. 
2
1-=π=π
3
2cos;
2
3
3
2sen 
 
 
 
h. 
2
1
=





π+
π
=





π+
π 2
3
cos;
2
32
3
sen 
 
 
 
i. 
2
33
6
cos;3
6
sen −=





π+
π
−=





π+
π
−
2
1 
 
 
6. a. 





 π
π
=
6
5;
6
S 
 b. S = φ 
c. 





 ππ=
3
2;
3
1S 
 
 
 
 d. { }ππ−= ;S 
 
 e. 





 ππ=
4
7;
4
1S 
 11. 
1gráfico (x)f
3 gráfico (x)f
4 gráfico )x(f
2 gráfico (x)f
4
3
2
1
 →
→
→
→
 
 
 f. 





 ππ=
2
3;
2
1S 
 
 
7. a. { }ππππ−π−= 3;2;;0;;2S 12. a. { } φ=




 π
== −+ C 2
;0C 0C0 
b. { } ( ) φ=== −+ C,0;2πC ,2π;0C0 
c. 






∪





−∪





−−=φ=






−= −+ π;4
π
4
ππ;
4
3π
4
3π; CC ,
4
ππ;
4
3C0
 
d. 
 π;3π
4
11 π
4
9π;
4
7π
4
5π;
4
3 
4
π0;C
 π
4
11π;
4
9 π
4
7π;
4
5π
4
3;
4
π C ,π
4
11 π,
4
9 π,
4
7 π,
4
5 π,
4
3,
4
πC0






∪





∪





∪





=






∪





∪





=






=
−
+ 
e. 






∪





−∪





−−=






∪





−−=






−−=
+
−
π;
2
π
3
π;
3
π
2
π2;C
 
2
π;
3
π
3
π;
2
πC 
2
π ,
3
π,
3
π,
2
πC0 
 b. 






πππ
π
π−π−=
4
11;
4
9;
4
3;
4
;
4
5;
4
7S 
 
 c. 






∈π+
π
=ℜ∈= Zk;k
4
x/xS 
 d. S = φ 
8. 
a. 
3
22
2
cos =




 ω−
π 
 
 
b. 
3
1
2
3sen −=




 ω+π 
 
 
c. ( )
3
22sen =ω−π 
 
 
 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 8 
UBA XXI Modalidad virtual 
 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
13. 
a. 





 −−= π,
18
17π,
18
13π,
18
5,
18
ππ,
18
7π,
18
11S 
 16. -x
4 e )x(f = 
 
1- e )x(f -x5 = 
 
1--x
6 e )x(f = 
 
 
 
b. 





=
2
3π0,S 
 
 
c. { }π= 5S 
 
14. a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. a. b = 2 
b. 
2
3π;
2
πm





 −=





 π−=
2
3;
2
π n 






π
π
∪




 π
π−∪





π−π−=+ 2;22
;
2
3
2
3;2C φ=−C 
 16. b. Imf1 = (2; +∞); AH: y = 2 
Imf2 = (0; +∞); AH: y = 0 
Imf3 = (0; +∞); AH: y = 0 
Imf4 = (0; +∞); AH: y = 0 
Imf5 = (-1; +∞); AH: y = -1 
Imf6 = (0; +∞); AH: y = 0 
 
 
 
16. 
a. 2e)x(f x1 += 
 
 
1-x
2 e )x(f = 
 
 
1x
3 e )x(f
+= 
 
 
 
 17. Imf1 = (0; +∞); AH: y = 0 
Imf2 = (-1; +∞); AH: y = -1 
Imf3 = (0; +∞); AH: y = 0 
Imf4 = (2; +∞); AH: y = 2 
 
 
 
 18. a. 2 f. -2/5 
 b. 6 g. 1 
 c. 2 h. 0 
 d. -2 i. 5 
 e. 4 
 19. a. x = 5 
b.Intersección con eje x: (4 + log37; 0) ; 
 con eje y: (0; -566/81) 
c. 
. 
d. C+(f) = (4+log37; +∞) 
 C-(f) = (-∞; 4+log37) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 9 
UBA XXI Modalidad virtual 
 
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
20. a. Domf = ℜ - {0} Imf = { }1);0( −∞+ 24. a. )5x2ln()x(h −= 
 )5e(
2
1)x(h x1 +=− b. Domf = ℜ - {0} Imf = { }1);0( −∞+ 
 c. Domf = ℜ - {0} Imf = { }3)4;( −−∞ 
 d. Domf = ℜ - {0} Imf = (-2; +∞)-{-1} b. )x23ln()x(h −= 
No tiene inversa (no es inyectiva) 21. a. Domf = (–∞;3) C0 = {2} C+ = ( −∞ ; 2 ) 
 C - = ( 2 ; 3 ) 
 
 25. 61046k −⋅≅ 
b. Domf = [ ]3;3−−ℜ C0 = {-4; 4} C+ = [ ]4;4−−ℜ 
 C - = ( - 4 ; 4 ) – [ - 3 ; 3 ] 
 
 26. a. 




=
2
5lnt 
c. Domf = [ ]2;2−−ℜ C0 = { }5;5− 
 C+ = [ ]5;5−−ℜ C - = ( ) ]2;2[5;5 −−− 
 
 
b. 1e2
2
1lnt −




 += 
d. No existe una función que cumpla con que 
cosx)ln(-1+ pues debe ser -1 + cos x >0, con lo 
que cos x > 1 es falso para todo x. 
 (Recordar que -1<cosx<1) 
 
e. Domf = )2;(−∞ C0 = {1} C+ = (1; 2) 
 C - = )1;(−∞ 
27. 
k = -3 
2
1a = 
 
 28. a. f(n) = 2500. 32n 
b. Aproximadamente 12990 bacterias 
c. 2500. 320 
d. 1h 2min 53 seg 
 
 
22. f1gráfico 3 
f2gráfico 4 
f3gráfico 2 
f4 gráfico 1 
 29. 
a. 
n4
5
216000)n(f 




⋅= (n = días) 
 
16
5
216000)4(f 




⋅= 
 
 
23. a. )xln(1)x(f 1 −=− Dom 1f − = );0( +∞ Im 1f − = ℜ 
b. ( )1)xln(
2
1)x(g 1 −=− Dom 1g− = );0( +∞ 
 Im 1g− = ℜ 
c. )2
1x
3(ln
3
1)x(h 1 +
+
=− Dom 1h− = );1( +∞− 
Im 1h− = ℜ 
d. )e4(
2
1)x(k x1 −=− Dom 1k− = ℜ 
 Im 1k− = )2;(−∞ 
e. )e3(
2
1)x(m 2x1 −− −= Dom 1m− = ℜ 
 Im 1m− = )
2
3;(−∞ 
 
 
 
 
b. 
160
5
216000)40(f 




⋅= 
 
 30. 
a. 5
t
96,0x)t(C ⋅= 
 
 
b. 5
50
96,0x)50(C ⋅= = 1096,0x ⋅ 
 
 31. d 36. c 
 32. c 37. a 
 33. a 38. d 
 34. d 39. a 
 35. b 40. d 
 
 
 
 
Práctico Unidad 5. Funciones Especiales 10 
	UNIDAD 5: FUNCIONES ESPECIALES
	Temas del Práctico 
	Bibliografía obligatoria