AM1_TP 1

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TRABAJO PRÁCTICO N°1: 
FUNCIONES REALES 
ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 
UTN – Facultad Regional Haedo 
 
U.T.N - Facultad Regional Haedo - Análisis Matemático I - TP 1 – Ciclo lectivo: 2023 
 
 
1 
 
TRABAJO PRÁCTICO 1: FUNCIONES REALES 
 
COMPETENCIAS 
 
 
❖ Identificar, formular y resolver situaciones problemáticas que involucren distintos 
tipos de funciones. 
❖ Utilizar de manera efectiva las técnicas y herramientas de la ingeniería 
❖ Aprender en forma continua y autónoma 
❖ Comunicar con efectividad 
 
Ej.1-01-Resuelve las siguientes ecuaciones y determina el conjunto solución 
 
a) − |x + 3| + 2 = 0 b) x3 + 2 = 0 c)√2x − 1 = x d) |5x + 2| = −x + 4 
 
𝑒) ln( x2 − 2x) = 0 f)ex+1 − ex = 2 g) 
3𝑥+1
𝑥+1
+ 𝑥 = 1 h) 0 =
|𝑥+1|
𝑥2−1
 
i) log2( − 3x + 2) = 3 j)√(1 + 3𝑥)
2 = 2 k) ln( x2 + 1) − ln x2 = 0 l) ln|2x + 1| = 0 
m) 
1−√1−𝑥
𝑥
 = 0 𝑛 ) 0 =
3x3−2x−1
x−1
 
Ej.1-02-Resuelve las siguientes inecuaciones y determina el conjunto solución 
 
𝑎) − 4𝑥 + 1 < −2𝑥 𝑏)(𝑥 − 1)(2 − 𝑥) < 0 𝑐) 𝑥2 − 1 > 0 𝑑)
𝑥2−1
𝑥3+8
≥ 0 
𝑒)|2 − 𝑥| − 15 ≥ 0 𝑓) 
−𝑥 − 9
𝑥 + 5
≥ 1 𝑔) 
3x3 − 6x
x + 1
< 0 ℎ) 9 − 𝑥2 < 0 
𝑖)
(𝑥 + 2)2 − 1
𝑥 − 1
> 0 𝑗)4 (𝑥 −
5
2
)
2
− 1 > 0 𝑘) |𝑥2 − 1| ≤ 0 𝑙)
4𝑥 − 12
𝑥2 − 5𝑥 + 6
< 1 
𝑚)5𝑥2 − 8 ≥ −6𝑥 𝑛) − 3x + 2 > 1 ñ) √2x − 1 − x < 0 o) |
𝑥
𝑥+2
| > 1 
p) 4𝑒𝑥+1 − 2 < 0 
Ej.1-03-Observando las siguientes gráficas, reconoce las que corresponden a 
función y establece su: Dominio, Imagen, Intersección con los ejes 
coordenados, intervalos de positividad y negatividad, intervalos de 
crecimiento y decrecimiento. 
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2 
 
 
 
 
 
 
Ej. 1-04-Observando la gráfica de una función f responde: 
 
a) 𝑓 (2) = … . 𝑓 (−1) = ⋯ . 𝑓 (0) = …. 
b) Encontrar {x ϵℝ / 𝑓(𝑥) = 0} 
c) Encontrar {x ϵℝ/𝑓(𝑥) = 4} 
d) Establecer {x ϵℝ/𝑓(𝑥) > 0} 
e) Establecer {x ϵℝ/𝑓(𝑥) < 0} 
f) Encontrar las preimágenes de -1 y la imagen de 3. 
 
 
(1) (2) 
(𝟓) 
(3) 
(𝟔) 
(4) 
 
 
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3 
 
Ej. 1-05- A) Para las siguientes funciones, use la gráfica dada de 𝒚 = 𝒇(𝒙) y 
dibuje las curvas generadas por las siguientes transformaciones: 
 
a) 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 2 b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 2 c) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 2) d) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 5) e) 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
f) 𝑦 = 𝑓(−𝑥) 
 
f1(x)
 
f2(x)
 
f3(x) 
 
f4(x)
 
 
B) En los siguientes ítems, considere una función cuya gráfica pasa por los 
puntos P (-2; 1) y Q (3; -4). Encuentre los puntos correspondientes a P y Q 
luego de las transformaciones gráficas que resultan de las siguientes 
operaciones: 
a) La gráfica de 𝑓 desplazada 2 unidades hacia arriba 
b) La gráfica de 𝑓 desplazada 5 unidades hacia abajo. 
c) La gráfica de 𝑓 desplazada 6 unidades hacia la izquierda. 
d) La gráfica de 𝑓 desplazada 1 unidad hacia la derecha. 
e) La gráfica de 𝑓 desplazada 1 unidad hacia arriba y 4 unidades hacia la 
izquierda. 
f) La gráfica de 𝑓 desplazada 3 unidades hacia abajo y 5 unidades hacia la 
derecha. 
g) La gráfica de 𝑓 reflejada en el eje y. 
h) La gráfica de 𝑓 reflejada en el eje x. 
 
Ej. 1-06- Realiza la gráfica de las siguientes funciones a partir de: 
 
 
 
Función 
básica 
𝒂. 𝒇(𝒙) 𝒇(−𝒙) 𝒇(𝒙 ± 𝒉) 𝒂. 𝒇(𝒙 ± 𝒉) ± 𝒌 
𝒚 = |𝒙| 𝑦 = 2 |𝑥| 𝑦 = |−𝑥| 𝑦 = |𝑥 − 3| 𝑦 = |𝑥 + 3| − 2 
𝒚 = 𝐥𝐧𝒙 𝑦 = −ln 𝑥 𝑦 = ln(−𝑥) 𝑦 = ln ( 𝑥 − 3) 𝑦 = ln ( 𝑥 + 1) + 2 
𝒚 =
𝟏
𝒙
 𝑦 =
3
𝑥
 𝑦 =
−3
𝑥
 𝑦 =
1
𝑥 + 2
 𝑦 =
2
𝑥 + 3
+ 1 
𝒚 = 𝟐𝒙 𝑦 = −3.2𝑥 𝑦 = 2−𝑥 𝑦 = 2𝑥−1 𝑦 = 2𝑥−2 + 3 
𝒚 = √𝒙 𝑦 = −√𝑥 𝑦 = √−𝑥 𝑦 = √𝑥 + 1 𝑦 = 3√𝑥 − 2 + 1 
𝒚 = 𝐜𝐨 𝐬 𝒙 𝑦 = 2 cos 𝑥 𝑦 = cos(−𝑥) 𝑦 = cos ( 𝑥 − 𝜋 3)⁄ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2( 𝑥 − 𝜋) + 1 
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Ej. 1-07- La función Parte Entera es la función real que a cada valor real de x 
le asigna como imagen, el entero más próximo que sea menor o igual que x: 
𝑓(𝑥): 𝑅 → 𝑍, 𝑓(𝑥) = 𝐸(𝑥) = [𝑥] 
Ej. 1-08- La función Signo se define: 
𝑓(𝑥): 𝑅 → {−1, 0,+1} , 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑔𝑛(𝑥) = {
1 𝑠𝑖 𝑥 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥 = 0
−1 𝑠𝑖 𝑥 < 0
 
Realizar la gráfica de la función. 
 
Ej. 1-09-En la tabla se muestra el registro de temperaturas T realizado cada 
dos horas, desde la medianoche hasta el mediodía. El tiempo t se midió en 
horas a partir de la medianoche. 
 
t 0 2 4 6 8 10 12 
T 8 7 3 0 1 7 11 
 
a) Traza una gráfica aproximada de T = f (t). 
b) Utiliza la gráfica para estimar la temperatura a las 11 hs. 
c) Indica los intervalos en que T es creciente y en que T es decreciente. 
d) Realiza una nueva gráfica considerando una nueva función donde la 
temperatura inicial es T0 = 2°, es decir T=T0+f (t). 
e) Realiza una nueva gráfica considerando un tiempo inicial t0= 3 hs., es decir 
 T = f (t +t0). 
 
Ej. 1-10- Problemas de aplicación 
 
a) A medida que el concreto se seca, se contrae; cuanto más alto es el contenido 
de agua, mayor es la contracción. Si una viga de concreto tiene un contenido de 
agua de w kg/𝑚3 , entonces se contraerá con un factor: 
S= 
𝟎,𝟎𝟑𝟐𝒘−𝟐,𝟓 
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
 es la fracción de la longitud original de la viga que desaparece debido 
a la contracción. 
𝒂𝟏)Una viga de 12,025 m de largo es vaciada en concreto que contiene 250 kg/𝑚
3 
de agua. ¿Cuál es el factor de contracción S? ¿Qué largo tendrá la viga cuando se 
haya secado 
𝒂𝟐) Una viga mide 10,014 m de largo cuando está húmeda. Deseamos que se 
contraiga a 10,009 m, de modo que el factor de contracción sea S = 0,0005. ¿Qué 
contenido de agua dará esta cantidad de contracción? 
Realizar las gráficas de las siguientes funciones enteras 
f(x) = E(x) + 1 
f(x) = -2 E(x) 
f(x) = 3E(x) 
 
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b) Para construir una caja sin tapa, se cortan cuadrados de x cm de lado en las 
cuatro esquinas de un cartón de 10cm de ancho por 8cm de largo, y se doblan los 
lados. 
(a)Exprese la función A (x), área de la base. 
(b)Exprese la función V (x), volumen de la caja. 
(c)Realice la gráfica para cada función anterior, e indique dominio e imagen en cada 
caso. 
 
c) La resistencia S de una viga de madera de ancho x y profundidad y está dada por 
la fórmula 𝑆 = 13,8𝑥𝑦2. Se ha de cortar una viga de un tronco de 10 pulgadas de 
diámetro, como se muestra en la figura. (a) Exprese la resistencia S de esta viga 
como función sólo de x. (b) ¿Cuál es el dominio de la función S? (c) Trace una 
gráfica aproximada de S. 
 
 
d) Encuentre la función exponencial 𝑓(𝑥) = 𝐶. 𝑎𝑥, tal que la gráfica de esta pasa 
por los puntos (1,6) y (3,24). 
 
e) La rapidez a la que se carga una batería es más lenta cuanto más cerca está la 
batería de su carga máxima C0. El tiempo (en horas) necesario para cargar una 
batería completamente descargada a una carga C está dado por: 
 
𝑡 = −𝑘 ln (1 −
𝐶
𝐶0
) 
donde k es una constante positiva que depende de la batería. Para cierta batería, 
k=0.25. Si esta batería está completamente descargada, ¿cuánto tomará 
cargarla al 90% de su carga máxima C0? 
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6 
 
 
f) Sea P cualquier punto (x, f(x)) sobre la gráfica de una 
función f. Suponga que los segmentos de recta PT y 
PS son perpendiculares a los ejes x e y. Sean M1, M2 
y M3, respectivamente, los puntos medios de PT, PS 
y ST como muestra la figura. Encuentre una función 
que describa la ruta del punto M1. Repita lo anterior 
para los puntos M2 y M3. 
 
 
 
Ej.1-11- Graficar las funciones y obtener analíticamente la intersección de sus 
gráficas 
a) {
𝑦 = 3𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑦 = −5𝑥 − 3
 b) {
𝑦 = 3𝑥3 + 3
𝑦 = −𝑥2− 2𝑥
 c) {
𝑦 = 2
𝑦 = 𝑒𝑥 − 1
 d) {
𝑦 = 𝑥 − 1
𝑦 = ln 𝑥
 
 
E.1-12- Hallar el valor de k para que se verifiquen las siguientes condiciones 
(a) 𝑘𝑥 + 2𝑦 = 3 y 𝑓(−2) = 3 
(b) 𝑦 = 
−1
6
𝑥 +
𝑘
3
 y abscisa al origen igual a 
𝟏
𝟐
 
(c) 𝑥 − 2𝑘𝑦 + 2 = 0 ; ordenada al origen -2 
(d) 𝑦 = (5𝑘 − 1)𝑥 ; paralela a 3𝑥 − 2𝑦 = 10 
(e) 𝑦 = (𝑘2 − 3)𝑥2 − 𝑘𝑥 + 𝑘 − 1 tenga vértice en (1;0) 
(f) 𝑦 = − log2(2𝑘𝑥 − 1) + 3 , su domino es {𝑥 ∈ ℛ 𝑥⁄ >
3
2
} 
(g) 𝑦 = 2√−3𝑘𝑥 + 1 − 4 ; su intersección con el eje x es (−
3
2
; 0) 
(h) 𝑦 =
𝑥2−3𝑘
𝑥+5
 ; su intersección con el eje y es (0; 2) 
(i) {
𝑦 =
1
2
𝑘2𝑥2 + (𝑘 − 5)𝑥 + 1
𝑦 = −3𝑥 + 3
 se intersectan en (1;0) y (-1;6) 
 
Ej. 1-13- Realizar el gráfico de las siguientes funciones 
a) 𝑓(𝑥) = { 
−2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −3
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−3,2]
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 2
 𝑏) 𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (
𝜋
2
;
3.𝜋
2
]
−1 𝑠𝑖 𝑥 >
3.𝜋
2
 
E.1-14 Expresar las siguientes funciones en ramas. Indicar dominio y hallar 
analíticamente la intersección con los ejes coordenados, intervalos de 
positividad y negatividad. 
 
a) 𝑦 = 2|𝑥 + 3| 𝑏) 𝑦 = ln|𝑥| 𝑐) 𝑦 = |ln 𝑥| 𝑑) 𝑦 = |𝑥2 − 4| 
e) 𝑦 = √|𝑥 + 1|
3
− 2 f) 𝑦 = 𝑥. 𝑒−2|𝑥| g) 𝑦 = 2. log2|−𝑥 + 1| − 4 
 
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Ej.1-15- Hallar analíticamente el dominio de las siguientes funciones y escribir 
como intervalo o unión de intervalos. Hallar las intersecciones con los ejes 
coordenados y los intervalos de positividad y negatividad. 
𝑎)𝑦 = √
𝑥 − 9
𝑥 + 5
 𝑏)𝑦 = √9 − 𝑥2 𝑐)𝑦 =
𝑥2 − 2𝑥 + 3
𝑥2 − 1
 𝑑)𝑦 =
√1 − 𝑥2
𝑙𝑛( 1 − 𝑥2) 
 
𝑒)𝑦 = 𝑒𝑥−1 + 3 𝑓)𝑦 = √𝑙𝑛( 𝑥2 + 1)
3 𝑔)𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 ℎ)𝑦 =
−𝑥+1
2
 
i) 𝑦 = −1|𝑥 + 3| + 2 
 
Ej. 1-16- a) Determinar analíticamente cuáles de las siguientes funciones son 
pares o impares. ¿Cuáles no tienen paridad? Indica, si las hay, las simetrías 
de cada curva en relación con su paridad. 
a)𝑓1(𝑥) = 4 − 𝑥
2 b)𝑓2(𝑥) = √𝑥
3
 c)𝑓3(𝑥) = −√4 − 𝑥
2 d) 𝑓3(𝑥) = −(𝑥 − 1)
2 
e)𝑓4(𝑥) = 𝑥
3 g)𝑓5(𝑥) =
1
𝑥
 h) 𝑓6 (𝑥) =
3
𝑥2
 
 
b) Demuestra las siguientes propiedades de funciones pares e impares: 
b1) El producto o cociente de dos funciones pares es otra función par. 
b2) El producto o cociente de dos funciones impares es una función par. 
b3) El producto o cociente de una función par con otra función impar es una función 
impar. 
 
Ej.1-17- Según la gráfica de f(x): [-3,3] → [-2,2], ¿por qué es 
biyectiva?,¿cuál es el dominio y la imagen?, estima el valor 
de 
1f − (2). Realiza su gráfica considerando la simetría con 
respecto a y=x 
 
Ej.1-18- Determina dominios e imágenes apropiados para que las siguientes 
expresiones representen funciones biyectivas. Hallar las correspondientes 
funciones inversas dando también sus dominios e imágenes: 
 (𝑎) 𝑦 = 2𝑥−2 (𝑏) 𝑦 = 
x
1x +
 (𝑐) 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 − 1) (𝑑) 𝑦 = √9 − 𝑥2 (𝑒) 𝑦 = 2𝑥2 − 1 
 
Ej. 1-20- Descompone las siguientes funciones algebraicas fraccionarias en la 
suma de una entera más otra fraccionaria. Indica el dominio, intersección con 
los ejes coordenados, intervalos de positividad y negatividad. Realiza una 
gráfica aproximada. ¿Son homográficas? 
 (𝑎) 
1x
2x3
y
+
+
= (𝑏) 
3x2
1x4
y
−
−−
= (𝑐) 
1x3
x
y
−−
= (𝑑) y= 
2
𝑥
 
 
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Ej.1-21-Un árbol se planta a 30 pies de la base de 
un poste de luz que mide 25 pies de altura. 
Exprese la longitud de la sombra del árbol como 
una función de su altura. 
 
 
 
 
 
 
 
Ej. 1-22- 
Empareja las ecuaciones de las siguientes funciones circulares con las 
gráficas correspondientes, escriba en cada caso dominio, imagen, raíces o 
ceros, polos, paridad y asíntotas. Define la función inversa de cada una, su 
dominio e imagen y esboza su gráfica. 
 a) y = sen x b) y = cos x c) y = tg x 
 d) y = cosec x e) y = sec x f) y = cotg x 
 
1) 2) 3) 
4) 
 
5) 6) 
 
Ej.1-23 Graficar las siguientes funciones trigonométricas determinando: 
dominio, imagen, amplitud (si corresponde), fase, período, pulsación, ángulo 
de desfasaje, punto máximo y mínimo (si corresponde), ceros o raíces y 
ordenada al origen. 
(𝑎) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 𝜋) − 1 (𝑏) 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 (3𝑥 − 𝜋) + 1 (𝑐) 𝑦 = tan(2𝑥 −𝜋) 
 
Ej.1-24- Determina analíticamente el dominio de las siguientes funciones: 
 
𝑎) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑥+1
) 𝑏) 𝑦 = arccos (𝑥2 − 2𝑥) 𝑐) 𝑦 = arctan (
1
𝑥+1
) 
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Ej.1-25- Las funciones trigonométricas 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ¿tienen puntos 
en común? Si los tienen ¿Cuáles son? ¿Podrías visualizarlos a todos gráficamente 
en un sistema de ejes cartesianos? ¿Y en una circunferencia trigonométrica? 
 
Ej. 1-26 
(𝟏)-Suponga que la función: 𝑇(𝑡) = 50 + 10 𝑠𝑒𝑛 [
𝜋
12
(𝑡 − 8)] con 0 ≤ 𝑡 ≤ 24, es un 
modelo matemático de la temperatura Fahrenheit a las t horas después de 
medianoche durante cierto día de la semana. 
a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a.m.? 
b) ¿A qué hora(s) se cumple T(t)=60? 
c) ¿A qué hora(s) se cumple T(t) = 0? 
d) Encuentre las temperaturas máxima y mínima, así como las horas en que ocurren 
Mínimas 
e) Trace la gráfica de T. 
 
(𝟐)-Considere una escalera de longitud L apoyada en un muro con una carga en el 
punto P como se muestra en la figura. El ángulo 𝛽, al que la escalera esta al borde 
de deslizarse, está definido por: 
 
𝑥
𝐿
=
𝑐
1 + 𝑐2
(𝑐 + tan 𝛽) 
 
a) Encuentre 𝛽 cuando c=1 y la carga esta en la 
parte superior de la escalera 
b) Encuentre 𝛽 cuando c= 0.5 y la carga está a ¾ 
de la longitud de la escalera empezando desde el 
piso. 
 
 
Ej. 1-27- a) Empareja las ecuaciones de las siguientes funciones hiperbólicas 
con las gráficas correspondientes. Escribe en cada caso dominio, imagen, 
raíces o ceros y paridad. 
b) Define la función inversa de cada una y esboza su gráfica considerando su 
simetría con respecto al eje y=x 
 
a) y = 𝑆ℎ x b) y = 𝐶ℎ 𝑥 c) y = 𝑇ℎ 𝑥 
 
1) 2) 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ej. 1-28 
a) Expresar las funciones 𝑺𝒉 𝒙 y 𝑪𝒉 𝒙 en términos de funciones 
exponenciales. 
b) Expresar las funciones 𝑨𝒓𝒈 𝑺𝒉 𝒙 y 𝑨𝒓𝒈 𝑪𝒉 𝒙 en términos de funciones 
logarítmicas. 
c) Si 𝑺𝒉 𝒙 = −𝟏/𝟐, encuentre los valores del 𝑪𝒉 𝒙 y 𝑻𝒉 𝒙. 
d) Si 𝑪𝒉 𝒙 = 𝟑, encuentre los valores de las funciones 𝑺𝒉 𝒙 y 𝑻𝒉 𝒙. 
 
Ej.1-29- Dadas las funciones: 
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = √𝒙 b) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(−𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒚 𝒈(𝒙) =
𝟏
𝒙
 
𝒄) 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟏 𝒚 𝒈(𝒙) = √−𝟑𝒙 + 𝟏𝟓 𝒅) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 (𝒙 + 𝟏) 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒆𝒙+𝟏 
 
(A)Encuentre las funciones que resultan de: 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓𝑔 y
𝑓
𝑔
 y sus dominios 
(B)Encuentre las funciones ℎ(𝑥) = 𝑦 = 𝑓 [ 𝑔 (𝑥)] e 𝑡(𝑥) = 𝑦 = 𝑔 [ 𝑓 (𝑥)] y sus 
dominios. Restringir el dominio, si es necesario, para realizar la composición. 
(C)Encuentre (𝑓 + 𝑔)(4), (𝑓 − 𝑔)(4), ( 𝑓𝑔)(4), (
𝑓
𝑔
) (4), 𝑓 [ 𝑔 (4)] 𝑦 𝑔 [ 𝑓 (4)] 
 
Ej. 1-30- a) Considerando que las funciones compuestas dadas corresponden 
a 𝒚 = (𝒇 𝒐 𝒈 𝒐 𝒉) (𝒙), hallar las funciones simples 𝒚 = 𝒇(𝒙), 𝒚 = 𝒈(𝒙) 𝒆 𝒚 =
 𝒉(𝒙) y determina sus dominios e imágenes: 
 
 𝑎1) )1xln(y
2 += 𝑎2) 
xseney = 𝑎3) 
3 xetgy = 
 
b) Halla la funcióninversa de cada una de las funciones del ítem a) y establece 
su dominio e imagen. 
 
c) Siendo 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒, la ecuación de una circunferencia centrada en el origen: 
a) Demuestre que dicha ecuación no describe a una función. 
b) Deduzca dos ecuaciones que pueden obtenerse, a partir de la ecuación dada, 
que sí representen funciones reales. Realice las gráficas 
 
d)Siendo 
𝒙𝟐
𝟒
+
𝒚𝟐
𝟗
= 𝟏, la ecuación de una elipse centrada en el origen: 
a) Demuestre que dicha ecuación no describe a una función. 
b) Deduzca dos ecuaciones que pueden obtenerse, a partir de la ecuación dada, 
que sí representen funciones reales. Realice las gráficas 
 
e) Siendo 
𝒙𝟐
𝟗
−
𝒚𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏, la ecuación de una hipérbola centrada en el origen: 
a) Demuestre que dicha ecuación no describe a una función. 
b) Deduzca que dos ecuaciones pueden obtenerse, a partir de la ecuación dada, 
que sí representen funciones reales. Realice las gráficas 
 
 
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Ej. 1-31 
Un barco está navegando a 20 mi/h paralelo a un borde recto de la playa. El barco 
está a 5 millas de la playa y pasa frente a un faro al mediodía. 
(a) Exprese la distancia 𝒔 entre el faro y el barco como función de d, la distancia que 
el barco ha navegado desde el mediodía; es decir, encuentre f de modo que 𝒔 =
 𝒇 (𝒅). 
(b) Exprese d como función de t, el tiempo transcurrido desde el mediodía; esto es, 
encuentre g para que 𝒅 = 𝒈(𝒕). 
(c) Encuentre 𝑓 ∘ 𝑔. ¿Qué representa esta función? 
 
Ej.1.32- Indicar Verdadero o Falso. Justificar cada respuesta. Si consideras 
falsa justifica con un contraejemplo. 
 
a) Las rectas 6𝑥 + 2𝑦 = 1 y 𝑘𝑥 − 9𝑦 = 5 son paralelas para 𝑘 = 6 
b) Las rectas 𝑎. 𝑥 + 𝑦 = 𝑐 y − 𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑐 son perpendiculares 
c) La ecuación 𝑥. 𝑦2 + 𝑥2 = 3. 𝑥 determina una función 
d) Si la imagen de una función consta de un solo número, entonces su dominio 
también consta de un solo número. 
e) Si 𝑓 (𝑥) es biyectiva entonces 𝑓−1(𝑥) es igual a 
1
𝑓(𝑥)
 
f) Si cos 𝑥 = cos 𝑦, entonces 𝑥 = 𝑦 
g) La gráfica de la función 
2
32
x
xx.
)x(f
+
= es simétrica con respecto al origen de 
coordenadas. 
h) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥3, entonces 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓. 
i) Si 𝑓(𝑥): [0; +∞) → [0;+∞)/𝑦 = √𝑥 es biyectiva, su función inversa es 𝑔(𝑥):ℛ →
[0;+∞)/𝑦 = 𝑥2 
j) Si 𝑥 ≠ 3 entonces 
𝑥2−5𝑥+6
𝑥2−9
=
𝑥−2
𝑥+3
 
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COMPENDIO DE DEFINICIONES Y PROPIEDADES 
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN 
 1. 010 = a con a 5.
nmnm aa .)( = 
 2. a a =1 6.
nnn baba =).( 
 3. a a .a mnmn += 7. 0=





bcon
b
a
b
a
n
nn
 
 4. 0acona
a
a mn
m
n
= − 8. 0
11 =− acon
a
a 
 
PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN 
 1. babaRba .., : = + 3. 
nmm n aa .= 
 2.
b
a
b
a
Rba = + :, 4. 
 
RELACIÓN DE ORDEN EN LOS NÚMEROS REALES: DESIGUALDADES 
 
Propiedad Aditiva: .,  cy ba Si a 
los dos miembros de una desigualdad 
se les suma o resta una misma cantidad, 
el sentido de la desigualdad no varía. 
Dada la desigualdad a > b, se puede 
escribir: 
 
 a + c > b + c y a - c > b - c 
 
Propiedad Multiplicativa: .,  cy ba
Si los dos miembros de una desigualdad 
se multiplican o dividen por una misma 
cantidad positiva, el sentido de la 
desigualdad no varía. 
Dada la desigualdad a > b y siendo c 
una cantidad positiva, puede 
escribirse: 
 
𝑎 > 𝑏 ∧ 𝑐 > 0 ⇒ a. c > b. c 
Si los dos miembros de una desigualdad 
se multiplican o dividen por una misma 
cantidad negativa, el sentido de la 
desigualdad varía. 
 
𝑎 > 𝑏 ∧ 𝑐 < 0 ⇒ a. c < b. c 
 
Si en una desigualdad invertimos ambos 
miembros de la desigualdad, se invierte 
el orden de esta, si los números tienen 
igual signo. 
𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 ⇒ 
1
𝑎
>
1
𝑏
 
 
 
( )nn aa
1
=
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13 
 
 
VALOR ABSOLUTO O MÓDULO 
 
Llamamos valor absoluto de un número real “a”, que se denota con a y se define: 
 
 
 
Geométricamente, el valor absoluto de “a” es la distancia desde “a” hasta 0 sobre la 
recta real. Como las distancias siempre son positivas o nulas podremos decir 0a
. Gráficamente se representa al valor absoluto de la siguiente manera: 
 
 
 
 
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 
𝑥 ∈ ℛ; |𝑥| ≥ 0 |𝑥| = |−𝑥| |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦| 
|
𝑥
𝑦
| =
|𝑥|
|𝑦|
 𝑠𝑖 𝑦 ≠ 0 
a x = sí y solo sí a x = a x  sí y solo sí axa − 
a x  sí y solo sí -ax ó a x  a x  sí y solo sí axa − 
a x  sí y solo sí ó x -ax a  √x2 = |x| 
 
 
PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 
 
BINOMIO AL CUADRADO 
( ) 222 2 bb.a.aba ++=+ 
( ) ( ) ( ) 22222 22 bb.a.abb.a.aba +−=−+−+=− 
BIINOMIO AL CUBO 
( ) 32233 b3.a.b.b3.aaba +++=+ 
( ) ( ) ( ) 32233223 3333 bb.a.b.a.abb.a.b.a.a −+−=−++−+=− 3ba 
PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS 
( ) ( ) 22 baba.ba −=−+ 
CÁLCULO DE LAS RAÍCES DE UN POLINOMIO 
a) Polinomio de grado 2 
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14 
 
La ecuación asociada al polinomio cuadrático es: 𝑎. 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 = 0 
Para calcular sus raíces se utiliza la fórmula resolvente: 𝑥1,2 =
−𝑏±√𝑏2−4.𝑎.𝑐
2.𝑎
 . 
La expresión factorizada quedará: 𝑎. (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2) . 
 
b) Polinomio de 3° grado o más: Buscamos una raíz ( 𝑥1) tanteando o con la Regla 
de Gauss. Formamos con la raíz el divisor (𝑥 − 𝑥1) y realizamos la división con la 
Regla de Ruffini para calcular el cociente. De esta manera reducimos el polinomio 
de 3 ° grado al producto entre uno de 1° y otro de 2° grado. Luego buscamos las 
otras raíces como se explicó en los pasos anteriores. 
Ejemplo: 
 
( )( )24.6.3.12418.93x 223 −−−=+−− xxxxx
 
Ahora con la fórmula resolvente calculamos las raíces de la ecuación cuadrática y 
factorizamos 
( )( )( )3.4.12418.93x 23 +−−=+−− xxxxx
 
 
ECUACIONES BICUADRÁTICAS 
 
Una ecuación bicuadrática tiene la forma: 𝑎 𝑥4 + 𝑏 𝑥2 + 𝑐 = 0 
 
Para resolver ecuaciones bicuadráticas, aplicamos la raíz cuadrada a la resolvente 
de la ecuación de segundo grado: 𝒙𝟏,𝟐,𝟑,𝟒 = ±√
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒.𝒂.𝒄
𝟐𝒂
 , obteniéndose así 
las cuatro raíces. 
 
ECUACIONES FRACCIONARIAS 
 
En las ecuaciones fraccionarias, se debe tener en cuenta que el denominador debe 
ser distinto de cero. 
Esto nos permite determinar los valores que no puede tomar la variable “x”. 
0=
+
+
dcx
bax
 , 
c
d
xcon − 
 
ECUACIONES IRRACIONALES 
 
Son ecuaciones en las que aparecen raíces afectando a la variable. Se debe tener 
en cuenta antes de resolver la ecuación el dominio de esta y el índice de la raíz. 
Ejemplo: Sí cbax =+ debemos primero determinar el dominio de la 
inecuación:𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 / 𝑥 ≥ (−
𝑏
𝑎
)
 
Dominio: 





+− ;
a
b 
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15 
 
 
ECUACIONES CON MÓDULO 
Son ecuaciones que se pueden expresar como 
+
=
0
a con ax . De modo que, 
aplicando propiedades de módulo, podemos decir que: axax −== . 
 
ECUACIONES EXPONENCIALES 
La ecuación exponencial con base “a” se define como: ba x = , 𝒂 > 𝟎 ∧ 𝒂 ≠ 𝟏 
Una ecuación exponencial se puede resolver: 
a) Aplicando propiedades de potenciación, con 10  aa 
10 =a aa =
1 yxyx aaa +=. 
yxyx aaa −=: 
( ) yxyx aa .= ( ) xa
xa =
log
 
( )
x
x
a
a
1
=−
 
 
b) Aplicando la definición y propiedades de logaritmo. 
c) Llamaremos logaritmo en base a de b al único número c que 𝑎𝑐 = 𝑏 ↔ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑐 
,siendo 𝒂 > 𝟎 ∧ 𝒂 ≠ 𝟏, y b > 0,ECUACIONES LOGARITMICAS 
 
La ecuación logarítmica con base “a” se define como: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑎
𝑏 = 𝑥 
Para resolver ecuaciones logarítmicas tenemos en cuenta: 
a) Definición de logaritmación 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑎
𝑏 = 𝑥 
b) Propiedades de la logaritmación 
 
( ) ( ) ( )yxxy aaa logloglog += ( ) ( )yx
y
x
aaa logloglog −=





 
( ) ( )xyx aya loglog = 
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦 
 
Cuando trabajamos con logaritmos en la calculadora, generalmente necesitamos 
que sean decimales (base 10) o naturales (base e), de lo contrario debemos realizar 
un cambio de base para transformarlos mediante la siguiente fórmula: 
:00  yex 
( ) 01log =a ( ) 1log =aa 
( ) ( ) ( )yxxy aaa logloglog += ( ) ( )yx
y
x
aaa logloglog −=





 
( ) ( )xyx aya loglog = ( ) xa
x
a =log 
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16 
 
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) =
𝑙𝑜𝑔(𝑏)
𝑙𝑜𝑔(𝑎)
=
𝑙𝑛(𝑏)
𝑙𝑛(𝑎)
 
INTERVALOS REALES 
 
Definimos como “intervalo” al conjunto de números reales comprendido entre dos 
valores a y b, tal que a < b con a y b  . 
En cuanto a la interpretación geométrica, un intervalo se representa mediante un 
segmento ab , que podrá incluir o no los extremos del segmento. 
 
CLASIFICACION: 
 
Clasificación Notación 
de 
Intervalo 
Notación de 
Conjunto 
Representación 
Gráfica 
Intervalo Abierto ( )ba,  bxa/x  
 
Intervalo Cerrado  ba,  bxa/x  
 
Intervalo semiabierto 
ó Semicerrado 
 )ba,  bxa/x  
 
( ba,  bxa/x  
Intervalos 
Infinitos 
( a,−  ax/x  
 a 
( )a,− 
 ax/x  
 
 
 )+,b  bx/x  
 b 
( )+,b  bx/x  
 b 
( )+− ,  x 
 
 
AMPLITUD DE UN INTERVALO 
Definimos como Amplitud del intervalo a la diferencia, en valor absoluto, entre los 
extremos de este (pertenezcan o no al intervalo). Este cálculo no es posible en 
Intervalos Infinitos. 
baabL −=−= 
 
 
 
INECUACIONES LINEALES 
Son inecuaciones de primer grado, que se resuelven despejando la variable. 
a 
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17 
 
Ejemplo 1: 2𝑥 − 1 < 6 ⇒ 2𝑥 < 6 + 1 ⇒ 𝑥 <
7
2
 ⇒ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = (−∞;
7
2
) 
Ejemplo 2: −2𝑥 − 1 < 6 ⇒ −2𝑥 < 6 + 1 ⇒ 𝑥 >
−7
2
 ⇒ 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = (
−7
2
; +∞) 
Observación: Por propiedad 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑐 < 0 ⇒ a. c > b. c para despejar x 
dividimos ambos miembros por -2, como es negativo debemos invertir el sentido de 
la desigualdad. 
 
INECUACIONES NO LINEALES 
Son las inecuaciones de grado mayor a dos, o de otras potencias. Que se resuelven 
aplicando la tabla de signos o en la recta real estudiamos los signos del producto o 
división. 
Ejemplo 1: 0)4()3()5( −−+ xxx 
Tabla de signos: 
 
La solución final será: S =    )+− ;43;5  o S =  435/ − xxx 
 
Ejemplo 2: 2𝑥3 − 𝑥 − 1 ≤ 0 
a) Buscamos un cero o raíz (por tanteo o Regla de Gauss). x=1 es un cero o raíz 
real. 
Armamos el divisor (x- cero o raíz) = (𝑥 − 1) y realizamos la división para determinar 
el cociente. 
 2 0 -1 -1 
 
 1 2 2 1 
 2 2 1 0 
 
2𝑥3 − 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(2𝑥2 + 2𝑥 + 1) 
Buscamos los ceros o raíces de 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 
 
𝑥1,2 =
−2 ± √4 − 4.2.1
2.1
=
−2 ± √−4
2.1
=
−2 ± √−4
2
=
−2 ± 2𝑖
2
 𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 
 
Por lo tanto, el polinomio factorizado con su raíz real nos queda asi: 
 (𝑥 − 1) (2𝑥2 + 2𝑥 + 1) ≤ 0 
Tabla de signos: 
Factores ( )5;−− -5 (-5; 3) 3 (3;4) 4 ( )+;4 
𝑥 + 5 − − − 0 + + + + + + + + + + + 
𝑥 – 3 − − − - − − − 0 + + + + + + + 
4 – 𝑥 + + + + + + + + + + + 0 − − − 
(𝑥 + 5) ⋅ (𝑥 − 3) ⋅ (4 − 𝑥) + + + 0 − − − 0 + + + 0 − − − 
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18 
 
 
 
 
 
 
La solución final será: S = (-∞; 1] o S = {𝑥 ∈
ℜ
𝑥
≤ 1} 
Ejemplo 3 
−2x + 1
x − 2
≤ 0 
a) Buscamos los ceros o raíces del numerador y denominador: 
−2x + 1 = 0 ⟹ x =
1
2
 ; 𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 = 2 
Tabla de signos: 
 
 
 
 
 
S = (2; +∞) ∪ {
1
2
} o S = {𝑥 ∈
𝑅
𝑥
≥ 2 ∨ 𝑥 =
1
2
} 
INECUACIONES LOGARITMICAS 
Ejemplo 1: log2( − x + 1) > 1 si −x + 1 > 0⟹ 𝑥 < 1; 𝑑𝑓 = (−∞; 1) 
Aplicando definición de logaritmación: 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑏 ⇔ 𝑎
𝑏 = 𝑥 
 
21 < −𝑥 + 1 
Despejamos x: 
2 − 1 < −𝑥 ⟹ −1 > 𝑥 
S = (−∞;−1) 
Podemos también resolver la inecuación buscando los cero/s o raíz/ces de la 
expresión log2( − x + 1) − 1 
Factores (−∞; 1) 1 (1; +∞) 
x -1 − − − 0 + + + 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 + + + - + + + 
(𝑥 − 1)(2𝑥2 + 2𝑥 + 1) − − − 0 + + + 
Factores (−∞;
1
2
) 
1
2
 (
1
2
; 2) 
2 (2; +∞) 
−2𝑥 + 1 +++ 0 −−− −3 −−− 
𝑥 − 2 + + + 
−3
2
 −−− 
∄ + + + 
−2x + 1
x − 2
 +++ 0 + + + 
∄ −−− 
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19 
 
 Log2( − x + 1) = 1 ⟹ 2
1 = −𝑥 + 1 ⇒ −1 = 𝑥 
Tabla de signos: 
 
 
 
S = (−∞;−1) 
INECUACIONES EXPONENCIALES 
Ejemplo 1: 3𝑥+2 − 3𝑥+1 > 0 
Reducimos la expresión 
3𝑥. 32 − 3. 3𝑥 > 0⟹ 3𝑥(9 − 3) > 0 ⇒ 3𝑥 > 6 ⟹ log3 3
𝑥 > log3 6 ⇒ 𝒙 > log3 6 
S = (log3 6;+∞) 
Podemos también resolver la inecuación buscando los cero/s o raíz/ces de la 
expresión 3𝑥+2 + 3𝑥+1 
3𝑥. 32 − 3. 3𝑥 = 0 ⟹ 3𝑥(9 − 3) = 0 ⇒ 3𝑥 = 6 ⟹ log3 3
𝑥 = log3 6 ⇒ 𝒙 = log3 6 
Tabla de signos: 
 
 
S = (−∞; log3 6) 
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 
Sea una inecuación de la forma ax  , se puede resolver aplicando la propiedad: 
 , 
+ axsía axax − 
Ejemplo 1 ( ) ( )+−−− ;22;:Solución2x2x2x 
Sea una inecuación de la forma ax  , se puede resolver aplicando la propiedad 
 , 
+ axsía axa − 
Ejemplo 2 |𝑥| < 4 ⇒ −4 < 𝑥 < 4 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: (−4; 4) 
 
Ejemplo 3 |
𝑥
𝑥−1
| < 2 ⇔ −2 <
𝑥
𝑥−1
< 2 ⇔
𝑥
𝑥−1
> −2 𝑦 
 𝑥
 𝑥−1
< 2 
Expresión (−∞;−1) −1 (−1; 1) 
 log2( − x + 1) − 1 > 0 
 
+++ 0 −−− 
Expresión (−∞; log3 6) log3 6 (log3 6 ;+∞) 
3𝑥+2 − 3𝑥+1 > 0 −−− 0 +++ 
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20 
 
Resolvemos cada una de las inecuaciones fraccionarias. 
𝑥
𝑥 − 1
> −2 ⇔
𝑥
𝑥 − 1
+ 2 > 0 ⇔
𝑥 − 2(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
> 0 ⇔
𝑥 − 2𝑥 + 2
𝑥
> 0 ⇔
−𝑥 + 2
𝑥
> 0 
 
 
 
 
𝑥
𝑥 − 1
< 2 ⇔
𝑥
𝑥 − 1
− 2 < 0 ⇔
𝑥 − (𝑥 − 1)
𝑥 − 1
< 0 ⇔
𝑥 − 𝑥 + 1
𝑥
< 0 ⇔
1
𝑥
< 0 
 
 
 
 
S = (0; 2) ∩ (0; +∞) = (0; 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Factores (−∞; 0) 0 (0; 2) (2; +∞) 
−𝑥 + 2 +++ 2 ++ + −−− 
𝑥 − − − 0 ++ + + + + 
−2x + 1
x − 2
 −−− ∄ 
++ + −−− 
Factores (−∞; 0) 0 (0; +∞) 
1 1 1 −−− 
𝑥 − − − 0 + + + 
1
x
 +++ ∄ 
−−− 
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21 
 
ALGUNAS RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS 
Ej. 1-01 
a) -5; -1 b)√−2
3
 ; c) 1; d) -1.5; 1/3; e) 1 − √2 ; 1 + √2 ; f) ln (
2
𝑒−1
) ; g) 0; -3; h) ∅; i) 
−2 ; j) −1;
1
3
; k) ∅ ; l) 0; m) ∅ ; n) ∅ 
 
Ej. 1-02 
𝑎) (
1
2
; +∞) ; 𝑏) (−∞; 1) ∪ (2;+∞) ; 𝑐) (−∞;−1) ∪ (1;+∞); d) (−2;−1] ∪ [1;+∞) ; 
e) (−∞;−13) ∪ (17;+∞) f) [−7; −5); g) (−√2; −1) ∪ (0; √2) h) (−∞;−3) ∪
(3;+∞) i) (−3; −1) ∪ (1;+∞) ; 𝑗) (−∞;2) ∪ (3;+∞) ; 𝑘) {−1; 1} ; 𝑙) (6;+∞) ∪
(−∞; 2) ; m) (−∞;−2] ∪ [
4
5
; +∞) ; n) (−∞;
1
3
); ñ) (−0.5; 1) ∪(1; +∞) ; o) 
(−∞;−2) ∪ (−2; 1) ; p) (−∞;− ln 2 − 1) 
 
 
Ej.1-05 
B) a) P (-2; 3) y Q (3; -2); b) P (-2; -4) y Q (3; -9); c) P (-8; 1) y Q (-3; -4); d). P (-1; 1) 
y Q (4; -4).; e) P (-6; 2) y Q (-1; -3); f) P (3; -2) y Q (8; -7); g) P (2;1) y Q (-3; -4); h) 
P (-2; -1) y Q (3; 4) 
 
Ej.1-09 
 
Ej. 1-10 
a) (𝑎)0.00055; 12.018 𝑚 (𝑏) 234.375 𝑘𝑔/𝑚3 
b)( 𝑎) 𝐴(𝑥) = 80 − 36𝑥 + 4𝑥2 ( 𝑏) 𝑉(𝑥) = 80𝑥 − 36𝑥2 + 4𝑥3 
c)( 𝑎)𝑆 = 13.8 𝑥(100 − 𝑥2) (b) 0 < 𝑥 < 10 
d) 𝑓(𝑥) = 3. 2𝑥 
e) 𝑡 ≅ 0,58 ℎ𝑠 
 
Ej. 1-11 
a) S = ∅ b) S = {(−1; 1)} c) S= {(ln 3 ; 2)} d) S= {1; 0} 
 
Ej. 1-12 
a) 𝑘 =
3
2
 b) 𝑘 =
1
4
 c) k= −
1
2
 d) k =
1
2
 e) 𝑘 = 2 f) 𝑘 =
1
3
 
g) 𝑘 =
2
3
 h) 𝑘 = −
10
3
 i) 𝑘 = 2 
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22 
 
Ej.1-13 
 
Ej. 1-14 
a) 𝑑𝑓 = ℛ ; int eje 𝑥 (-3,0), int eje 𝑦 (0; 6) , 𝐶+ = ℛ+ 
b)𝑑𝑓 = ℛ − {0}, int eje 𝑥 (−1; 0) y (1; 0), 𝐶+ = (−∞; −1) ∪ (1;+∞), 𝐶−= (−1; 1) − {0} 
c) 𝑑𝑓= (0; +∞ ), int. eje x (1;0), 𝐶+ = (0; +∞) − {1} 
d) 𝑑𝑓 = ℛ ; int. eje x (2;0) y (-2;0), int. eje y (0;4), 𝐶+ = ℛ − {−2,2} 
e) 𝑑𝑓= ℛ ; int. eje x (7,0) y (-9,0), int. eje y (0,-1), 𝐶+ = (7;+∞) ∪ (−∞; −9), 𝐶− =
(−9; 7) 
f) 𝑑𝑓= ℛ , int. eje x (0,0), int. eje y (0,0), 𝐶+ = (0;+∞), 𝐶− = (−∞;0) 
g) 𝑑𝑓= ℛ −{1}; int. eje x (-3,0) y (5,0), int. eje y (0,-4), 𝐶+ = (5;+∞) ∪ (−∞,−3),
𝐶− = (−3; 1) ∪ (1,5) 
 
Ej.1.15 
(𝑎) 𝑑𝑓 = (−∞;−5) ∪ [9; +∞) ; int eje x (0;9); ∄ 𝒚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 ; 𝐶+ = (−∞;−5) ∪
(9;+∞) ; 
𝐶− = ∅ 
(𝑏)𝑑𝑓 = [−3; 3] ; int. eje 𝑥 (− 3; 0) 𝑦 ( 3; 0);int eje 𝑦 (0, 3); 𝐶+ = (−3; 3) ; 𝐶− = ∅ 
(c)𝑑𝑓 = ℛ − {−1,1} ; ∄ 𝒙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 ;int eje 𝑦 (0; −3) ; 𝐶+ = (−∞;−1) ∪ (1;+∞); 
 𝐶− = (−1; 1) 
(d) 𝑑𝑓 = (-1;0) ∪ (0; 1) ; ∄ 𝒙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 ; ∄ 𝒚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0 ; 𝐶− = (−1; 0) ∪ (0; 1) ; 
𝐶+ = ∅ 
(𝑒)𝑑𝑓=ℛ ; ∄ 𝒙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 = 0 ; y = 
1+3𝑒
𝑒
 ; 𝐶+ = ℛ+ ; 𝐶− = ∅ 
(f) 𝑑𝑓=ℛ ;int eje 𝑥 (0,0); int eje y (0;0); 𝐶+ = ℛ ; 𝐶− = ∅ 
(g) 𝑑𝑓=ℛ ; int. eje 𝑥 (2; 0) 𝑦 ( 3; 0);int eje 𝑦 (0,6); 𝐶+ = (−∞; 2) ∪ (3;+∞) ; 
 𝐶− = (2; 3) 
(h) 𝑑𝑓=ℛ ; int eje 𝑥 (1,0); int eje y (0; 0,5) ; 𝐶+ = (−∞; 1) ; 𝐶− = (1;+∞) 
(i) 𝑑𝑓=ℛ ; int. eje 𝑥 (−1; 0) 𝑦 ( −5; 0);int eje 𝑦 (0,−1); 𝐶+ = (−5;−1) ; 𝐶− =
(−∞;−5) ∪ (−1;+∞) 
 
Ej. 1-16 
a) Par b) impar c) par d) no tiene paridad e) impar f) impar g) par 
 
Ej.1-18 
(a) 𝑑𝑓=ℛ ; 𝐼𝑓 = (0; +∞) ; 𝑓−1(𝑥) = log2 𝑥 + 2 ; 𝑑𝑓−1 =(0; +∞) ; I𝑓−1= ℛ 
6 4 2 2 4
6
4
2
2
2 2 4 6
2
1
1
2
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23 
 
(b) 𝑑𝑓=ℛ − {0} ;𝐼𝑓=ℛ − {1} ;𝑓−1(𝑥) =
1
𝑥−1
 ; 𝑑𝑓−1 = ℛ − {1} ; I𝑓−1= ℛ − {0} 
(c) 𝑑𝑓 = (1;+∞) ; 𝐼𝑓 = ℛ ; 𝑓−1(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1 ; 𝑑𝑓−1 = ℛ; I𝑓−1= (1; +∞) 
(d) 𝑑𝑓 = [0; 3] ; 𝐼𝑓 = [0; 3] / 𝑑𝑔 = [−3; 0] ; 𝐼𝑔 = [0; 3] ; 𝑓−1(𝑥) = √9 − 𝑥2 ; 
𝑑𝑓−1 = [0; 3] ; 𝐼𝑓−1 = [0; 3] ; 𝑔−1(𝑥) = −√9 − 𝑥2 ; 𝑑𝑔−1 = [0; 3] ; 𝐼𝑔−1 = [−3; 0] 
(e) 𝑑𝑓= [0; +∞); 𝐼𝑓 = [-1; +∞) ; 𝑓−1(𝑥) = √0.5𝑥 + 0.5 ; 𝑑𝑓−1 = [−1;+∞) ; 
 I𝑓−1= [0; +∞) / 𝑑𝑔= [−∞; 0); 𝐼𝑔 = [-1; +∞) ; 𝑔−1(𝑥) = −√0.5𝑥 + 0.5 ; 𝑑𝑔−1 =
[−1;+∞) ; I𝑔−1= [−∞; 0) 
 
Ej.1-20 
(𝑎) 𝑦 = 3 +
−1
𝑥 + 1
; 𝑑𝑓 = ℛ − {−1}; 𝑥 = 
−2
3
 ; 𝑦 = 2; 𝐶+ = (−∞;−1) ∪ (0;+∞); 
𝐶− = (−1; 0) 
(𝑏) 𝑦 = −2 +
−7
2𝑥 − 3
 ; 𝑑𝑓 = ℛ − {
3
2
} ; 𝑥 = 
−1
4
 ; 𝑦 =
1
3
; 𝐶+ = (−
1
4
;
3
2
) 
 𝐶− = (−∞;
−1
4
) ∪ (
3
2
;+∞) 
(𝑐)𝑦 =
−1
3
+
−1/3
−3𝑥 − 1
; 𝑑𝑓 = ℛ − {−
1
3
} ; 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 0; 𝐶+ = (−
1
3
; 0) ; 
𝐶− = (−∞;
−1
3
) ∪ (0;+∞) 
(𝑑)𝑦 =
2
𝑥
 ; 𝑑𝑓 = ℛ − {0}; ∄𝑥 ; ∄𝑦; 𝐶+ = (0;+∞); 𝐶− = (−∞; 0) 
 
Ej.1-21 
𝑠(ℎ) =
30ℎ
25−ℎ
 , con 0 < ℎ < 25 
 
Ej.1-23 
(𝑎)𝑑𝑓 = ℛ; 𝐼𝑓 = [−3; 1]; 𝐴 = 2; 𝑓𝑎𝑠𝑒: 𝑥 − 𝜋 ; 𝑃𝑒𝑟ì𝑜𝑑𝑜 = 2𝜋; 𝐵 = 2; 𝑥0 = 𝜋 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚ì𝑛𝑖𝑚𝑜 ( 2𝑘𝜋 +
𝜋
2
;−3) 𝑠𝑖 𝑘 ∈ ℤ;𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚à𝑥𝑖𝑚𝑜 = (2𝑘𝜋 +
3𝜋
2
; 1) 
𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 = 
7
6
𝜋 + 2𝑘𝜋; 
5
3
𝜋 + 2𝑘𝜋 
(𝑏) 𝑑𝑓 = ℛ; 𝐼𝑓 = [0; 2]; 𝐴 = 1; 𝑓𝑎𝑠𝑒: 3𝑥 − 𝜋 ; 𝑃𝑒𝑟ì𝑜𝑑𝑜 =
2
3
𝜋;𝐵 = 3; 𝑥0 =
𝜋
3
 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚ì𝑛𝑖𝑚𝑜 ( 
2
3
𝑘𝜋 +
𝜋
3
; 0) 𝑠𝑖 𝑘 ∈ ℤ; 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚à𝑥𝑖𝑚𝑜 = (
2
3
𝑘𝜋 +
𝜋
3
; 2) 
𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 =
2
3
𝑘𝜋 +
𝜋
3
 
(𝑐) 𝑑𝑓 = ℛ − {
𝜋
4
+
𝜋
2
} ; 𝐼𝑓 = ℛ; 𝑓𝑎𝑠𝑒: 2𝑥 − 𝜋 ; 𝑃𝑒𝑟ì𝑜𝑑𝑜 =
𝜋
2
; 𝐵 = 2; 𝑥0 =
𝜋
2
 
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚ì𝑛𝑖𝑚𝑜 ( 
2
3
𝑘𝜋 +
𝜋
3
; 0) 𝑠𝑖 𝑘 ∈ ℤ; 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚à𝑥𝑖𝑚𝑜 = (
2
3
𝑘𝜋 +
𝜋
3
; 2) 
𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 = 𝜋/2. 𝑘; 
 
 
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24 
 
Ej. 1-24 
(𝑎) 𝑑𝑓 = (−0.5; +∞) ; (𝑏) [1 − √2 ; 1 + √2 ] (𝑐) (−∞;−1) ∪ (1;+∞) 
 
Ej. 1-26 
(1)a) 50 b) 𝑡 = 14 ℎ𝑠 c) En ningún momento d) Mínimas (2; 40), Máxima (14; 60) 
(2)𝑎) 
𝜋
4
 ; 𝑏) 0,942 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 ≈ 53,97° 
 
Ej.1-28 
(𝑏)𝐴𝑟𝑔𝑆ℎ (𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 + 1) 𝐴𝑟𝑔𝐶ℎ(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 − 1) 
(𝑐) 𝐶ℎ 𝑥 = 
√5
2
 ; 𝑇ℎ 𝑥 = 
−√5
5
 (𝑑) 𝑆ℎ 𝑥 = 2√2 ; 
2
3
√2 
 
Ej.1-29 
𝐴) 𝑑(𝑓 ± 𝑔) = [0;+∞) ; 𝑑 (𝑓. 𝑔) = [0; +∞) ; 𝑑 (
𝑓
𝑔
 ) = (0;+∞) 
𝐵) (𝑎)𝑑ℎ = [0;+∞) ; ℎ(𝑥) = 𝑥 − 1; 𝑑𝑡 = 𝑡(𝑥) = √𝑥2 − 1 ; 𝑑𝑡 == (−∞;−1] ∪
[1; +∞) 
(𝑏)ℎ(𝑥) = ln (1 −
2
𝑥
) , 𝑑ℎ = (−∞;0) ∪ (2;+∞); 𝑡(𝑥) =
1
ln(−2𝑥 + 1)
 ; 
𝑑𝑡 = (−∞; 0) ∪ (0; 1/2) 
(c) ℎ(𝑥) = √−3𝑥 + 15 − 1 , 𝑑ℎ = [5;+∞) ; 𝑡(𝑥) = √−3𝑥 + 18 , 𝑑𝑡 = [6;+∞) ; 
(d) ℎ(𝑥) = ln(𝑒𝑥+1 + 1) , 𝑑ℎ = ℛ ; 𝑡(𝑥) = 𝑒ln(𝑥+1)+1 , 𝑑𝑡 = (−1;+∞) 
 
Ej.1-30 
a) 𝑎1) ℎ(𝑥) = 𝑥
2 + 1 ; 𝑔(𝑥)= ln 𝑥 ; ℎ(𝑥) = √𝑥 ; 𝑎2) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; 𝑔(𝑥) = √𝑥 ,
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ; 𝑎3) ℎ(𝑥) = 𝑒
𝑥 ; 𝑔(𝑥) = √𝑥 
3
 ; 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥 
 
Ej. 1-31 
 a) 𝑆 = 𝑓(𝑑) = √25 + 𝑑2 b) 𝑑 = 𝑔(𝑡) = 20𝑡 c) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑡) = √25 + 400𝑡2 
 
Ej.1-33 
(a) F b) V c) F d) F e) F f) F g) V h) V i) F j) V 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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