TP Numeros reales Ej 13 a-b) (1)

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UBA XXI Modalidad virtual
Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico: Reales – Ejercicio 13_a_b 1
SOLUCION Y COMENTARIOS
Para representar cada conjunto, primero es necesario conocer cuáles son los números reales que
cumplen las condiciones para pertenecer a ellos. Las relaciones de cada conjunto están dadas por
inecuaciones, que resolvemos usando las propiedades de orden de los números reales.
a.





  3
x
1/x
Tenemos que resolver la inecuación 3
x
1  .
En esta expresión debe ser x0 pues x aparece dividiendo y no podemos dividir por cero.
Te mostramos dos formas de resolver el problema.
Primera forma:
Escribimos una inecuación equivalente a la dada, que nos permita la comparación de un producto o
cociente, con el cero:
3
x
1

Sumando 3 a ambos miembros de la desigualdad y operando es:
0
x
x31
03
x
1



Analizamos esta última desigualdad, teniendo en cuenta que el cociente es menor que cero.
Tenemos dos posibilidades:
 Que el numerador sea positivo y el denominador negativo.
 O que el numerador sea negativo y el denominador positivo.
Resulta:
13. Representá cada conjunto en la recta numérica y escribílo como intervalos o unión de
intervalos.
a.





  3
x
1/x b.





 

 22
1x
3/x
c.





 

 0
2x
3/x d.





 

 0
3x
x/x
e.





 


 44
2x
3x
/x f.














 0
2
1x
x
/x
Si a y b son números
reales y b0; entonces
0
b
a  si y sólo si
a<0 y b>0 ó a>0 y b<0
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Práctico: Reales – Ejercicio 13_a_b 2
1 + 3x > 0 x < 0  1 + 3x < 0  x > 0 “” significa “y”
“” significa “ó”
3x > -1 x < 0  3x < -1  x > 0 Restamos 1 a ambos
miembros de la
desigualdad.
0x
3
1-x 

0x
3
1-x 
Al dividir por 3>0 no
cambia el sentido de
la desigualdad.
0x
3
1
- 
 { } = { } = = “conjuntovacío”




 0;
3
1
-S1 S2
Así, los números reales x que buscamos pertenecen a SS 21  .




 0;
3
1-SS 21
S = 



 0;
3
1-
Entonces es:





  3
x
1/x = 




 0;
3
1-
Gráficamente:
Segunda forma
3
x
1

Sabemos que x es distinto de cero. Entonces x puede ser un número mayor que cero o menor
que cero.
 Si x > 0
1 < -3x Multiplicamos miembro a miembro por x. Como x es
mayor que cero, no cambia el sentido de la desigualdad.
x
3
1 
Multiplicamos ambos miembros por -3. Cambia el
sentido de la desigualdad.
Tenemos que es x > 0 y x
3
1
 . Pero no hay ningún número real que cumpla a la vez
estas condiciones.
Entonces:
S1 =  (1)
 Si x < 0
1 > -3x Multiplicamos miembro a miembro por x. Como x es
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Práctico: Reales – Ejercicio 13_a_b 3
menor que cero, cambia el sentido de la desigualdad.
x
3
1

Multiplicamos ambos miembros por -3. Cambia el
sentido de la desigualdad.
Tenemos que es x < 0 y x
3
1
 . Luego es 0x
3
1

Entonces:





 0;
3
1S 2 (2)
Por lo tanto es:
S = S1 S2 =  



 0;
3
1
S = 



 0;
3
1
Por lo que llegamos a la misma solución.
Por lo tanto





  3
x
1/x = 




 0;
3
1
Gráficamente:
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Práctico: Reales – Ejercicio 13_a_b 4
b.





 

 22
1x
3/x
Lo resolvemos escribiendo una inecuación equivalente a la dada, que nos permita compararla con el
cero.
Recordamos que el cociente está definido para x 1.
0
1x
x47
0
1x
4x43
0
1x
)1x.(43
04
1x
3
022
1x
322
1x
3



















Restamos miembro a miembro 2 y operamos.
Sacamos denominador común y operamos.
Para que el cociente sea menor o igual que cero debe ser:
7 – 4x 0  x – 1 < 0  7 – 4x 0 x – 1 > 0
– 4x - 7 x < 1  – 4x - 7 x > 1
x 
4
7
 x < 1

x
4
7
 x > 1
 1;
4
7;-x 



  ;1;
4
7x 



 
S2 = (- ; 1) 


  ;
4
7
S1
Observamos que 1 no pertenece a ninguno de los dos intervalos.
Entonces es:
S = S1 S2
 1;;
4
7S 



 
Por lo tanto





 

 22
1x
3/x =  1;;
4
7 



 
Gráficamente