TP Numeros reales Ej 11 (1)

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales
Práctico: Reales – Ejercicio 11 1
SOLUCION Y COMENTARIOS
En todos los ítems del ejercicio, para que un número real pertenezca al conjunto dado debe satisfacer
determinadas condiciones.
Estas condiciones están dadas por inecuaciones. Debemos resolverlas para poder representar y
escribir cada conjunto como intervalo o unión de intervalos.
a. {x/ (x-3)(x+4) > 0}
Sabiendo que el producto entre dos factores es mayor que cero
cuando ambos son positivos o bien cuando ambos son negativos,
debemos considerar estas posibilidades al resolver la inecuación.
Al hacerlo, obtenemos dos soluciones parciales: S1 y S2.
El conjunto solución de la inecuación se obtiene haciendo:
S = S1 U S2
Resolvemos:
(x – 3). (x + 4) > 0
x – 3 > 0  x + 4 > 0  x – 3 < 0 x + 4 < 0
Establecemos las condiciones
para que el producto sea mayor
que cero.
x > 3  x > - 4  x < 3 x < - 4
Sumamos 3 y restamos 4 a
ambos miembros de la
desigualdad.
x > 3  x < - 4
Buscamos los números reales que
satisfacen simultáneamente las
condiciones.
S1 = (3; + ) S2 = (- ; -4) Escribimos las soluciones
parciales.
   4;;3S
SSS 21

 Hallamos el conjunto solución
como unión de los dos anteriores.
Luego es {x/ (x-3)(x+4) > 0} =    4;;3 
11. Representá cada conjunto en la recta numérica y escribílo como intervalos o unión de
intervalos.
a. {x/ (x-3)(x+4) > 0}
b. {x/ x(x2 -1) 0}
c. {x/ -2 1-x < 3}
d. {x/ x3 – 4 23}
Sean a, b números reales
Entonces:
a b > 0  a < 0 b < 0

a > 0 b > 0
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Práctico: Reales – Ejercicio 11 2
b. {x/ x(x2 -1) 0}
El producto entre dos factores es mayor o igual que cero cuando ambos son mayores o iguales que
cero o bien cuando ambos son menores o iguales que cero.
Resolvemos:
x(x2 -1) 0
x 0  x2 – 1 0  x 0  x2 - 1 0
Establecemos las condiciones
para que el producto sea mayor
ó igual que cero.
x0 x2 1  x 0  x2 1 Sumamos 1 a ambos miembros
de la desigualdad.
x0  1x2  x 0  1x2  Tomamos raíz cuadrada enambos miembros.
x 0  1x   x 0  1x  Por definición: xx2 
x0 (x -1 x 1)  x0 ( -1 x 1) Propiedades de |x|. (1)
 ;0     ;11;  0;  1;1 Escribimos como intervalos losconjuntos que cumplen las
condiciones anteriores.
  ;1S1  0;1S2  Escribimos las soluciones
parciales.
   0;1;1S
SSS 21

 Hallamos el conjunto solución
como unión de los dos
anteriores.
Luego es {x/ x(x2 -1) 0} =    0;1;1 
Observación:
En (1) usamos las siguientes propiedades:
Dados los números reales a y b
1. Si b > 0, |a| b sí y sólo sí -b a b
2. |a| b sí y sólo sí a b ó a -b
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Práctico: Reales – Ejercicio 11 3
c. {x/ – 2 1 – x < 3}
Buscamos el conjunto solución de – 2 1 – x < 3.
– 2 1 – x < 3
– 2 – 11– x – 1 < 3 – 1 Restamos 1 miembro a miembro.
3 x > – 2 Multiplicamos miembro a miembro por -1.Al hacerlo cambia el sentido de la
desigualdad.
 3;2S  Escribimos como intervalo el conjunto
que cumple las condiciones anteriores.
Luego es:
{x/ – 2 1 – x < 3} = (-2; 3]
d. {x/ x3 – 4 23}
Buscamos el conjunto solución de x3 – 4 23.
x3 – 4 23
x3 – 4 + 4 23 + 4 Sumamos 4, miembro a miembro.
27x3  Operamos.
33 3 27x 
Tomamos raíz cúbica en ambos
miembros
3x  Operamos.
 3;S  Escribimos como intervalo el conjunto
que cumple las condiciones anteriores.
Luego es {x/ x3 – 4 23} =  3;