PRACTICA 2 (A MAT I)

Vista previa del material en texto

Límite y Continuidad 
18 
 
PRÁCTICA 2 
 
 
LÍMITE 
 
 
1) Calcular el valor de los siguientes límites. 
a) 

13lim
2
x
x
 c) 

xx
x
36lim 2
1
 
b) 

1lim
1
x
x
 d) 

92lim 2
1
xx
x
 
 
 
2) Examinar el comportamiento de )(xf cuando x tiende a 1. Graficar. ¿Existe límite en 
10 x ?. Justificar la respuesta. 






1 1
 1< 4
)(
2
xx
xx
xf 
 
 
3) Si 2)(lim5)(lim
11


xgxf
xx
, hallar 
a)  2
1
)()( xgxflim
x


 c) )(
1
)( xg
x
xflim

 
b) 
 21 )(
)(3)(2
xg
xgxf
lim
x


 d) )(
1
1
)( xg
x
xflim

 
 
 
4) Calcular los siguientes límites utilizando álgebra de límites. 
a) 3
1
)13( 

xlim
x
 e)    xxlim
x
cos23sen1 2
2



 
b) 
2
12
1 

 x
x
lim
x
 f) 2lim 2
2
1
x
x
x



 
c) 23 2
2


xxlim
x
 g) 
2
1
1
1
lim x
x
e


 
 
d) )7(log 2
2
1
3


xlim
x
 h) 
4
2
3 1
12

 








x
x x
xx
lim 
 
 
5) Indeterminación del tipo 
0
0
 . Calcular los siguientes límites. 
a) 
22
107
23
2
2 

 xxx
xx
lim
x
 k) 
4
2
4 

 x
x
lim
x
 
b) 
1
15
1 

 x
x
lim
x
 l) 
4327
9 2
3 

 x
x
lim
x
 
Límite y Continuidad 
19 
 
c) 
6
23
2
23
2 

 xx
xxx
lim
x
 m) 
133
21
1 

 xx
xx
lim
x
 
d) 
xx
xx
lim
x 4
2
3
2
0 


 n) 
22
9123
4 

 x
x
lim
x
 
e) 
32
278 3
2
3 

 x
x
lim
x
 o) 
x
x
lim
x
5sen
0
 
f) 
23
32
24
24
1 

 xx
xx
lim
x
 p) 
x
x
lim
x 7
2sen
0
 
g) 
6cos6
3cos2cos2
2 

 x
xx
lim
x 
 q) 
xsen
xsen
x
6
lim
0
 
h) 
x
x
lim
x cos55
25cos25
0 


 r) 
xsenx
xsenx
x 432
26
lim
0 


 
i) 
2
646
2 

 x
x
lim
x
 s) 
x
x
x 

 2
11
lim
2
 
j) 
 
h
xhx
lim
h
22
0


 
 
 
6) Límites laterales. Calcular los siguientes límites. 
a) 
2
2
2 

 x
x
lim
x
 f) 105
2


xlim
x
 
b) 
2
2
2 

 x
x
lim
x
 g) 105
4


xlim
x
 
c) 
2
2
2 

 x
x
lim
x
 h) 105
4


xlim
x
 
d) 105
2


xlim
x
 i) 105
4


xlim
x
 
e) 105
2


xlim
x
 j) )(
1
xflim
x 
 siendo 






1 3
1 52
)(
2 xx
xx
xf 
 
 
7) Dadas las funciones: 









3 52
30 1
0 1
)(
2
xx
xx
xx
xf y 






1 8
1 7
)(
xx
x
xg 
Calcular si existen los siguientes límites: 
a)  )()(
0
xgxflim
x


 d) 
)(
)(
3 xg
xf
lim
x 
 
b)  )()(
0
xgxflim
x


 e) 
)(
)(
3 xg
xf
lim
x 
 
c) )(
3
xflim
x
 
Límite y Continuidad 
20 
 
8) Límite infinito. Calcular los siguientes límites. 
a) 
 xx
1
lim
0
 
b) 
 


21 1
1
lim
xx
 
c) 
 20
1
lim
xx
 
 
 
9) Calcular los siguientes límites. 
a) 
12
1
2
2
1 

 xx
x
lim
x
 d) 
27279
352
23
2
3 

 xxx
xx
lim
x
(Sugerencia: 
factorizar numerador y denominador y simplificar factores comunes) 
b) 
 4
3
2 2 x
x
lim
x
 e)  
2
1
1
1


x
x
elim 
c) 
 3
5
2 2 x
x
lim
x
 f) 
 43
1
3 3
1 







 x
x
lim 
 
 
10) Límite en el infinito. Calcular, si existen, los siguientes límites. 
a) 
3
1
x
lim
x 
 f) x
x
elim

 k) 





 x
lim
x
1
ln 
b) 
3
1
x
lim
x 
 g) x
x
elim 

 l)  xlim
x


2ln 
c) 5xlim
x 
 h) 
x
x
lim 





 5
2
 m) xlim
x
2
1log

 
d) 5xlim
x 
 i) 
x
x
lim 





 2
5
 n) 





 x
lim
x
1
log
2
1 
e) 4xlim
x 
 j) 





 x
lim
x

cos o)  xlim
x
sen2 

 
 
 
11) Calcular los siguientes límites. 
a) x
x
lim
1
0
3

 d) 
x
x
lim
1
0 3
1







 
b) x
x
lim
1
0
3

 e) 
3
1
0
x
x
elim 

 
c) 
x
x
lim
1
0 3
1







 f) 
3
1
0
x
x
elim 

 
 
 
Límite y Continuidad 
21 
 
 
12) Indeterminación del tipo 


. Calcular los siguientes límites. 
a) 
14
52


 x
x
lim
x
 d) 
2
42


 x
x
lim
x
 
b) 
1
25
2 

 xx
x
lim
x
 e) 
1
12


 x
x
lim
x
 (Sugerencia: dividir 
numerador y denominador por xx 2 ) 
c) 
xx
x
lim
x 

 2
31
 f) 
1
12


 x
x
lim
x
 
 
 
13) Límite del producto de una función acotada por un infinitésimo. Calcular los siguientes 
límites. 
a) 






 x
xlim
x
1
sen
0
 
b) 
x
x
lim
x
sen

 
c) 
2x
x
lim
x 
 
 
 
14) Indeterminación del tipo  . Calcular los siguientes límites. 
a)  xxlim
x


2 c) 









x
x
x
x 1
1
lim
2
3
 
b) 









x
x
x
x 1
1
lim
2
 d) 







 2
1
4
lim
22 xx
x
x
 
 
 
15) Indeterminación del tipo 1 . Calcular los siguientes límites. 
a) 
1
3
1









x
x x
lim e) 
x
x x
x
lim 





 2
 
b)   x
x
xlim 5
1
0
21

 f) 
3
2
1
lim
2
2
x
x x
x









 
c) 
23
53
1
1










x
x x
lim 
d) 
x
x x
x
lim
2
3
1









 
 
 
 
Límite y Continuidad 
22 
 
 
16) Ejercicios combinados. Resolver los siguientes límites. 
a) 

)1ln(
1
xlím
x
 e) 
 x
x
lím
x
3
0
 
b) 

)1ln(xlím
x
 f) 
5
357
5 

 x
x
lím
x
 
c) 

)5( x
x
elím g) 
x
xsen
lím
x 10
)5(
0
 
d) 1
1
3
)53(lim 

 x
x
x h) )(
1
xflím
x 
 y )(xflím
x 
 siendo 
















11
2
1
1
1
)(
x
x
x
x
xf x 
 
 
 
17) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de las curvas correspondientes a las siguientes 
funciones. 
a) 
x
xx
y
123 
 g) xey
1
1 
b) 
3
12



x
x
y h) 












2
1
3
2
1
1
)(
2
x
x
x
x
x
xf 
c) 
4
2
2 


x
x
y 
d) 
x
x
y



1
12
 
e) 
22
32
23
2



xxx
xx
y 
f) 
xx
xxx
y
5
2
2
23


 
 
 
18) Determinar el valor de IRa tal que: 
 i) 2x sea asíntota vertical de la función: f x
x
ax
( ) 


2 1
6
 
 ii) 1y sea asíntota horizontal de la función: g x
x
ax x
( ) 


2 23
3
 
 
 
 
 
 
 
Límite y Continuidad 
23 
 
CONTINUIDAD 
 
 
19) Hallar y clasificar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones. 
a) 
xx
xx
xf



2
2 32
)( f) 
2
1
21)( xxf  
b) 
8
2
)(
3
2



x
xx
xf g) 







0 0
0 )(
2
1
x
xexf
x
 
c) 
xxx
xx
xf
127
1293
)(
23
2


 h) 










20
2
2
8
)(
3
x
x
x
x
xf 
d) 
3
3
)(



x
x
xf i) 
9
36
)(
2 


x
x
xf 
e) 2
1
)(  xexf j) 






14
112
)(
xx
xx
xf 
 
 
20) Encontrar los valores de IRbIRa  y tal que la función )(xf sea continua. 
a) 






121
1
)(
2
xax
xaxx
xf 
b) 












2 2
21
2 
)(
2
1
xbx
xa
xeax
xf
x
 
 
 
APLICACIONES ECONÓMICAS 
 
 
21) Resolver los siguientes problemas. 
a) Calcular el monto y los intereses que produce un capital de $10.000 colocado durante 
2 años y medio al 18% nominal anual: 
 i) con capitalización mensual. 
 ii) con capitalización continua. 
b) Calcular el capital que colocado durante 3 años y 9 meses al 8 % trimestral 
capitalizable en forma continua se transforma en $4980. 
c) Determinar en cuánto tiempo un capital de $3000 se transformaría en $9666, si se lo 
colocara al 9% cuatrimestral de interés con capitalización continua. 
d) ¿A qué tasa de interés nominal anual debería colocarse un capital de $2850 para 
producir en2 años y con capitalización continua un monto de $3481?
Límite y Continuidad 
24 
 
RESPUESTAS 
 
 
1) 8d) 3c)L 0b) 7)a  LLL 
 
 
2) No lim f x
x
 existe 
1
( ) 
 
3) a) 9 b) 4 c) 25 d) 5 
 
 
4) a) 8 b) -3 c) 4 d) -4 
 e) 6 f) 
2
1
 g) 1 h) 
2
7
 
 
 
5) a) -1 b) 5 c)
5
2
 d) 
4
1
 e) 27 f) -4 g) 
3
2
 
 h)-5 i) 192 j) x2 k) 
4
1
 l) 42 m) 
4
1
 n) 22 
 o) 5 p) 
7
2
 q) 6 r) 
7
2
 s) 
2
1
 
 
 
6) a) 1 b) -1 c)  d) 0 e) 0 
f) 0 g) 10 h) 10 i) 10 j) -7 
 
 
7) a) -7 b) 6 c)  d) 
5
1
 e) 
5
2
 
 
 
8)  c) b) )a 
 
 
9)  f) e) + d) c) - b) )a 
 
 
10) a) 0 b) 0 c)  d)  e)  
f)  g) 0 h) 0 i) 0 j) 1 
k)  l)  m)  n)  o)  
 
 
11) 0 f) - e) + d) 0 c) 0 b) + ) a 
 
Límite y Continuidad 
25 
 
 
 
12) a) 
2
1
 b) 0 c)  d)  e)-1 f) 1 
 
 
13) A cargo del alumno. 
 
 
14)  d) 0 c) 1-b) 0 )a 
 
15) 
 0 f) e e)
e d) e c) e b) e )a
2-
41-5
2
3
 
 
16) a)  b)  c) -5 d) 2 e) 2 f) 0 g) 
2
1
 h)  y 1 
 
 
17) 
a) 0x 
b) 23  yx 
c) 02  yx 
d) 11  xyx 
e) 012  yxx 
f) 35  xyx 
g) 20  yx 
h) 301  yyx 
 
 
18) i) 3a ii) 2a 
 
 
19) 
a) Discont. evitable 00 x Discont. esencial en 11 x 
b) Discont. evitable en 20 x 
c) Discont. evitable en 40 x Discont. esencial en 3;0 21  xx 
d) Discont. esencial en 30 x Salto finito 2s 
e) Discont. esencial en 20 x Salto infinito 
f) Discont. esencial en 00 x 
g) Continua 
h) Discont. evitable en 20 x 
i) Discont. esencial en 30 x Discont. evitable en 31 x 
j) Continua 
 
Límite y Continuidad 
26 
 
20) 
a) 10a 
b) b) 21  ba 
 
 
21) 
a) 
i) M = $15.630,80.- I = $5.630,80.- 
ii) M = $15.683.- I = $5.683.- 
b) C = $ 1500.- 
c) n = 4 años y 4 meses 
d) i = 10% anual