EXA4-ALINEAL-Raúl Andrés Guillén Rangel-IMKT-Marzo-Julio2021

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MEXICO EN CELAYA 
INGENIERÍA MECATRÓNICA 
ÁLGEBRA LINEAL 
EXAMEN 4TO. PARCIAL (VALOR:50%) 
 
Instrucciones: 
1.0 Permanecer conectado en Teams durante la sesión del examen (2 horas). 
2.0 Asistir puntualmente al examen en línea y estar conectado a la plataforma 
Schoology donde se recibirán los exámenes contestados. No se admitirá ningún 
examen fuera de la plataforma, ni por correo electrónico, ni en plataforma Teams. 
3.0 Los exámenes son individuales, respuestas copiadas serán anuladas a todos los 
involucrados. 
4.0 Subir el examen a la plataforma Schoology con el nombre: EXA4-ALINEAL-
Nombre Completo-IMKT-Marzo-Julio 2021 
5.0 Fecha de aplicación 2 de julio 2021 Horario de aplicación: 11:00 a 12:50 p.m. La 
recepción de archivos se realizará en la plataforma Schoology a más tardar 12:50 p.m. 
Si usted excede el tiempo de tolerancia, se descontará de su calificación 1 punto por 
cada minuto excedido. 
6.0 Si algún archivo no se encuentra correctamente escaneado (fotos no nítidas y 
respuestas no colocadas en forma vertical) El examen no se calificará y el estudiante 
tendrá que presentarlo en el periodo de recuperación como única oportunidad 
agendado el miércoles 7 de julio de 2021 
Código de ética aplicado durante la durante todo el tiempo de duración del examen. 
Respetar todo el tiempo el código de comportamiento, en el cual el sustentante se 
hace responsable del resultado obtenido en su examen y de las consecuencias que 
surgan en caso de compartir respuestas con sus compañeros. La sanción será anular 
todo el examen y se presentará nuevamente durante el periodo de recuperación. 
 
Firma de aceptación: __________________________ 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: _______________________________________FECHA: ______________ 
1.0 Demostrar si el conjunto de vectores en S es un conjunto generador de una base 
para R2. 
S= {(1,2), (1,0), (0,1)} 
(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) = 𝑐1(1, 2) + 𝑐2(1, 0) + 𝑐3(0, 1) 
= (𝑐1 + 𝑐2, 2𝑐1 + 𝑐3) 
1 + 1 + 0 = 𝑢1
2 + 0 + 1 = 𝑢2
 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎, 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑆 𝑛𝑜 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑛 𝑅2 
 
2.0 Demostrar si los siguientes vectores son subespacio de R3. 
S= {(1,4,7), (3,0,1), (2,1,2)} 
𝑢 = (1,4,7) 
𝑣 = (3, 0, 1) 
𝑢 + 𝑣 = (4, 4, 8) 
𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 = (4, 4, 8) = (4, 4, 8) 
Raúl Andrés Guillén Rangel 2/Julio/2021 
𝑤 = (2, 1, 2) 
𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = (6, 5, 10) = (6, 5, 10) 
𝑢 + 0 = 𝑢 = (1, 4, 7) = (1, 4, 7) 
𝑢 + (−𝑢) = 0 = 0 = 0 
𝑐 = 2 
𝑐𝑢 = (2, 8, 14) 
𝑐(𝑢 + 𝑣) = 𝑐𝑢 + 𝑐𝑣 = (8, 8, 16) = (8, 8, 16) 
𝑑 = 3 
(𝑐 + 𝑑)𝑢 = 𝑐𝑢 + 𝑑𝑢 = (5, 20, 35) = (5, 20, 35) 
𝑐(𝑑𝑢) = (𝑐𝑑)𝑢 = (6, 24, 42) = ((6, 24, 42) 
1(𝑢) = 𝑢 = (1, 4, 7) 
𝑆𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑎𝑠, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠í 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒𝑛 𝑎 𝑅3 
 
3.0 Determine si el conjunto de vectores en R3 es ortogonal, ortonormal o ninguno de 
los dos. a) 
 
𝑢 ∙ 𝑣 = (
√2
2
∗ (−
√6
6
)) + (0 ∗
√6
3
) + (
√2
2
∗
√6
6
) = 0 
𝑢 ∙ 𝑤 = (
√2
2
∗
√3
3
) + (0 ∗
√3
3
) + (
√2
2
∗ (−
√3
3
)) = 0 
𝑣 ∙ 𝑤 = ((−
√6
6
) ∗
√3
3
) + (
√6
3
∗
√3
3
) + (
√6
6
∗ (−
√3
3
)) = 0.471 
0.471 ≠ 0 
𝐿𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 0 
𝐴 =
[
 
 
 
 
 
 √2
2
−
√6
6
√3
3
0
√6
3
√3
3
√2
2
√6
6
−
√3
3 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
−1 ≠ 0 
𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑦 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑅3 
𝑆𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐺𝑟𝑎𝑚 − 𝑆𝑐ℎ𝑚𝑖𝑑𝑡 
𝑣1 = (0.707, 0, 0.707) 
𝑣2 = (−0.408, 0.816, 0.408) 
𝑣3 = (0.577, 0.577,−0.577) 
𝑢1 = (0.707, 0, 0.707) 
𝑢2 = (−0.408, 0.816, 0.408)
−
(−0.408, 0.816, 0.408) ∙ (0.707, 0, 0.707)
(0.707, 0, 0.707) ∙ (0.707, 0, 0.707)
(0.707, 0, 0.707) 
 
= (−0.408, 0.816, 0.408) −
0
1
(0.707, 0, 0.707) 
𝑢2 = (−0.408, 0.816, 0.408) 
𝑢3 = (0.577, 0.577,−0.577)
−
(0.577, 0.577, −0.577) ∙ (0.707, 0, 0.707)
(0.707, 0, 0.707) ∙ (0.707, 0, 0.707)
(0.707, 0, 0.707)
−
(0.577, 0.577, −0.577) ∙ (−0.408, 0.816, 0.408)
(−0.408, 0.816, 0.408) ∙ (−0.408, 0.816, 0.408)
(−0.408, 0.816, 0.408) 
= (0.577, 0.577,−0.577) −
0.471
1
(0.707, 0, 0.707) − 0 
= (0.577, 0.577,−0.577) − (0.333, 0, 00.333) 
𝑢3 = (0.244, 0.244,−0.91) 
𝑢1 ∙ 𝑢2 = (
√2
2
∗ (−
√6
6
)) + (0 ∗
√6
3
) + (
√2
2
∗
√6
6
) = 0 
𝑢1 ∙ 𝑢3 = 
 
b) {(2,-5,-3), (4,-2,6)} 
𝑢 ∙ 𝑣 = (2 ∗ 4) + (−5 ∗ −2) + (−3 ∗ 6) = 0 
𝐿𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑠 0 
𝐴 = [
2 4
−5 −2
4 6
] 
 
𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 
𝐸𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑛𝑖 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 
 
4.0 Determina lo siguiente para los vectores: u=(1,2,3), v=(2,2,-1) y w=(4,0,-4) 
a) Realiza las operaciones en forma manual : a) u + v b) u-v c) ½ v . 
𝑢 + 𝑣 
(1, 2, 3) + (2, 2, −1) 
(3, 4, 2) 
 
 
 
 
 
𝑢 − 𝑣 
(1, 2, 3) − (2, 2, −1) 
(−1, 0, 4) 
 
 
𝑣
2
 
(
2
2
,
2
2
,
−1
2
) 
(1, 1, −
1
2
) 
 
 
 
b) Representa con Geogebra los resultados obtenidos para cada inciso. 
5.0 Escribe el vector v=(10,1,4) como una combinación lineal de los vectores 
u1=(2,3,5), u2=(2,3,5), u3=(1,2,4). (Si es posible). 
 
(10, 1, 4) = 𝑐1(2, 3, 5) + 𝑐2(2, 3, 5) + 𝑐3(1, 2, 4) 
= (2𝑐1 + 2𝑐2 + 𝑐3, 3𝑐1 + 3𝑐2 + 2𝑐3, 5𝑐1 + 5𝑐2 + 𝑐43) 
2 + 2 + 1 = 10
3 + 3 + 2 = 1
5 + 5 + 4 = 4
 
 
𝐸𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝒗 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢1, 𝑢2 𝑦 𝑢3 
 
10.0 Verificar si el conjunto de matrices son linealmente independientes o 
dependientes. 
 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + 𝑐3𝑣3 = 0 
𝑐1 [
1 0
0 2
] + 𝑐2 [
0 1
1 0
] + 𝑐3 [
−2 1
1 4
] = [
0 0
0 0
] 
(𝑐1 − 2𝑐3, 𝑐2 + 𝑐3, 𝑐2 + 𝑐3, 2𝑐1 + 4𝑐3) = 0 
1 + 0 − 2 = 0
0 + 1 + 1 = 0
0 +
−2 +
1 +
0 +
1 = 0
4 = 0
 
 
𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒