Resistencia-de-Materiales-Xd-XxxX

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RECISTENCIA DE MATERIALES Página 0 
 
Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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PROLOGO 
El presente trabajo monográfico fue realizado como una herramienta necesaria 
para profundizar los temas de: cargas criticas, relación de esbeltez Para la 
comprensión de este trabajo es necesario que tenga conocimientos previos sobre 
el curso de resistencia de materiales, en los siguientes capítulos hablaremos 
detalladamente cada concepto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARCO TEORICO 
 
COLUMNAS 
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(Según el Ing. Roberto Morales Morales). Afirma, que básicamente la columna es 
un elemento estructural que trabaja en compresión, pero debido a su ubicación en 
el sistema estructural que debera afectar tambien solicitaciones de fleccion, corte y 
torcion. 
 
Falla en columnas 
(Según el Ing. Roberto Morales Morales). Afirma, que columnas llegan ala falla 
debido a tres casos:por influencia inicial del acero o en la cara del tensión, por 
aplastamiento del concreto de la cara en compresión o por pandeo. La carga 
crítica fue calculada por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), por lo 
cual es común denominarla como la Carga Crítica de Euler. 
 
Cálculo de la carga crítica de Euler 
 
 
 
Busquemos la ecuación de la elástica para obtener de la misma el valor de la 
carga crítica. Según lo visto en el método de la doble integración: EIy” = M 
Calculemos el momento flector haciendo un corte a una distancia z desde el 
origen: 
 
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Para poder calcular Pcrítica debe resolverse la ecuación: EIy + Pcritica y = 0 
Por tanto: 
 
 
 
Como se ha visto en los cursos de matemáticas la ecuación es de la forma: 
 
 
 
La solución de la ecuación es: y = A cosαz + B senαz 
Las constantes A y B deben determinarse a partir de las condiciones iniciales en 
 
 
 
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Posibilidades: 
• Que: B = 0 en este caso la solución de la ecuación sería: y = 
0 lo cual es absurdo pues implicaría que la barra está recta 
(no pandeada) lo cual no es nuestro caso. 
• Por tanto, si 0≠B necesariamente SenαL=0 
 
En conclusión: ECUACIÓN DE LA BARRA PANDEADA Y= B Senαz y 
senαL =0 
 
Concluimos que: Y= B Senαz y que senαL =0 
 
 
 
Recordemos que: Por tanto, para poder calcular Pcritica debemos 
hallar α 
 
Sabemos que: SenαL = 0 
En el círculo trigonométrico vemos que: 
 
 
 
 
Por lo cual: αL= nπ n= 0,1,2,3,4,……∞ 
 
 
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Y obtenemos el valor de Pcritica : 
 
 
 
La pregunta ahora es: qué valor de n adoptamos como ingenieros? 
Es claro que matemáticamente n puede tener cualquier valor entero entre cero e 
infinito. Sin embargo como ingenieros debemos hacer el siguiente análisis 
teniendo en cuenta el problema físico que estamos estudiando (una barra 
sometida a una fuerza de compresión y a punto de fallar por pandeo): Si 
adoptamos el valor n = 0 tendríamos que P Critica = O (esto equivaldría a 
aceptar que a ninguna barra o columna se le pueden aplicar cargas lo cual es 
absurdo). 
 
Si adoptamos un valor mayor que 1 cada vez tendríamos un valor mas grande de 
la carga afectando el factor de seguridad de la columna, y además en últimas, cuál 
valor adoptaríamos: 5??? 123456??? 
Por lo anterior, desde el punto de vista práctico, además de otras razones 
matemáticas que veremos a continuación, el valor adoptado para n es 1. 
 
Las razones matemáticas tienen que ver con el hecho de que los diferentes 
valores que puede adoptar n representan el número de ondas que tendría la 
curva. No olvidemos que es una sinusoide. Desde el punto de vista físico nuestra 
barra se rompería al formar la primera onda sin alcanzar obviamente las ulteriores. 
 
 
Si observamos la expresión notamos algo que decíamos al principio de este 
capítulo: 
La carga crítica NO DEPENDE de la RESISTENCIA del material dada por su 
esfuerzo resistente R, lo cual es completamente nuevo para nosotros. 
 
 
 
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De qué depende, entonces, la carga crítica? 
 
1) Es directamente proporcional a la rigidez de la columna EI 
 
E: Módulo de elasticidad del material 
I: Momento de inercia de la sección transversal con relación al eje alrededor 
del cual se produce el pandeo. En este caso, será el momento de inercia mínimo 
Imin. 
 
 
 
2) La carga crítica es inversamente proporcional al cuadrado de la longitud de la 
columna L² lo cual por lo demás es obvio: mientras mas larga sea, mas fácil se 
pandeará. (Mas adelante veremos que no depende exactamente de la longitud de 
la columna sino de su esbeltez que de todas formas está relacionada con la 
primera). Del análisis anterior, concluimos finalmente que la carga crítica de Euler 
es: 
 
Hasta este punto hemos analizado la barra considerándola biarticulada. Sin 
embargo, existen otras posibilidades de conectar las barras en sus extremos. 
Veámoslas y establezcamos cómo influyen en el valor de la carga crítica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1. DIFERENTES CONDICIONES DE APOYO 
 
Influencia del tipo de apoyo en el pandeo y en el valor de la carga crítica. 
Tipos de apoyos que puede tener una columna en sus extremos 
 
 
 
Recordando que las articulaciones permiten el giro y los empotramientos lo 
restringen la elástica para cada uno de los casos tiene la siguiente forma. 
 
 
En consecuencia, para calcular la carga crítica deberá tenerse en cuenta la 
longitud efectiva en cada caso, que tendrá los valores señalados en la gráfica. 
 
 
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Teniendo en cuenta la longitud efectiva en cada caso, los valores de la carga 
crítica serán: 
 
Con una barra de balso puede simularse fácilmente el comportamiento de las 
columnas con diferentes tipos de apoyos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.2. ESFUERZOS CRITICOS 
 
Después de conocer la carga crítica ya estamos en condiciones de calcular el 
esfuerzo normal que producirá crit. 
Tal como se estudió al principio del curso el esfuerzo normal es igual al valor de la 
fuerza axial dividido entre el área de la sección transversal de la barra. 
 
Recordemos, del curso de mecánica que el radio de giro del área es: 
 
 
Como se ve, para un material dado con módulo de elasticidad E, el esfuerzo crítico 
depende de la relación de esbeltez de la columna. 
Miremos la variación del Esfuerzo Crítico con la esbeltez. Variación del esfuerzo 
crítico con la esbeltez para un material como el acero con un módulo de 
elasticidad E. 
 
 
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Hagamos la gráfica de esta ecuación 
 
Rango de validez de la hipérbola de Euler: 
 
Límites de validez de la hipérbola 
 
 
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Por tanto, la ecuación de la hipérbola es válida en el siguiente rango: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RELACION DE ESBELTEZ 
 
(Según, Robeert L. Mott, (2009)). Afirma, ha definido una columna como un 
miembro esbelto relativamente largo a comprensión. Esta descripción se planea 
en términos relativos y no es muy útil para el análisis. 
La medida de esbeltez de unas columnas, además de la forma de sujetar los 
extremos de las columnas en las estructuras que generan las cargas y reacciones 
en la columna. La medida de esbeltez comúnmente utilizada es la relación de 
esbeltez.Donde: 
 
L= longitud real, de la columna entre los puntos de apoyo o de restricción lateral. 
K= factor de fijación de los extremos. 
Le=longitud efectiva, teniendo encuentra la manera de fijar los extremos (observe 
que Le =KL). 
R= radio de giro mínimo de la sección transversal de la columna. 
 
Cada uno de estos términos analizáremos a continuación. 
 
 
Longitud real, L. 
 
(Según, Robeert L. Mott, (2009)). Afirma, en una columna simple con la carga 
aplicada en uno de y la reacción que se genera en el otro, la longitud real. Pero en 
el caso de componentes de estructuras cargados a comprensión de medios de 
restringir el miembro lateralmente para evitar que se pandee, lo considere entre 
los puntos de restricción. Cada una de las partes, entonces, se considera una 
columna aparte. 
 
(Según, Universidad de la Rioja, (2011)). Afirma, Factor de fijación de los 
extremos, K. Mide el grado al cual cada extremo de la columna está limitado 
contra la rotación. En general se consideran tres tipos clásicos de conexiones de 
los extremos: el extremo del pasador, el extremo fijo y el extremo libre. 
 
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Los extremos de pasador de columnas en esencia están imposibilitados contra 
rotación. Cuando una columna con dos extremos de pasador de pandea, asume la 
forma de una curva uniforme entre sus extremos. La combinación de un extremo 
de un extremo fijo y una de pasador, la forma pandeada se aproxima al extremo 
fijo con una pendiente cero mientras que el extremo del pasador gira libremente. 
El valor teórico de K= 0.7 se aplica a este tipo de fijación de los extremos en tanto 
que K= 0.80 se recomienda para usos prácticos. 
Valores de K para la longitud efectiva, Le = KL, con cuatro fijaciones de extremos 
diferentes. 
Fijación de los extremos es K=0.5, lo cual indican que la columna actúan como si 
fuera la mitad de larga de lo que realmente es. Las columnas con extremos fijos 
son muchos más rígidos que las columnas con extremos de pasador y por 
consiguiente son capases de soportar cargas mayores antes de pandearse. Por 
esta razón se recomienda el valor más alto de K= 0.65. 
 
 
 
 
 
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Longitud efectiva, Le. 
(Según, Robeert L. Mott, (2009)). Afirma, combina las longitudes reales con el 
factor de fijaciones de los extremos Le = KL, en los problemas utilizaremos en los 
valore prácticos. 
Relación para calcular la longitud efectiva: 
 Columnas con extremos de pasador Le = KL=1.0 (L)=L. 
 Columnas con extremos de pasador 
y fijo Le = KL=0.80 (L). 
 Columnas con extremos fijos Le = 
KL=0.65 (L). 
 Columnas con extremos fijos Le = KL=2.10 (L) 
Radio de giro, r. 
(Según, Robeert L. Mott, (2009)). Afirma, la media de la esbeltez de la sección 
transversal de una columna es su radio de giro, r, definido como. 
Donde: 
I= momento de inercia de la sección transversal de la columna con respecto a uno 
de los ejes principales. 
A= área de sección transversal. 
Obsérvese que el valor de giro, r. depende del eje con respecto al cual se tiene 
que calcular, en la mayoría de los casos, se debe terminar el eje con respecto al 
cual el radio de giro es mínimo, porque es el eje con respecto a la columna se 
pandearía. 
 
 
 
 
 
 
 
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EJERCICIOS PROPUESTOS 
1.- Se tiene que utilizar una maquina un miembro circular de acero AISI 1020 
estirada en frio con ambos extremos en pasador. Su diámetro es de 25mm y su 
longitud de 950 mm. ¿Qué carga máxima puede soportar el miembro antes de 
pandearse? También calcule la carga permisible en la columna con un factor de 
diseño de N=3. 
Objetivos: 
Calcular la carga de pandeo critica para la columna y cargas permisible con un 
factor de diseño de N = 3. 
Datos: 
L=950mm. La sección transversal es circular, D=25mm. Extremos de pasador. La 
columna es de acero: AISI estiro en frio. 
En el apéndice 
 
 
Usamos el método de analizar columnas. 
Solución: 
Paso 1. Determine el factor de fijamos de los extremos. Para la columna con 
extremos de pasado, K= 1.0. 
 
Paso 2. Calcular la longitud efectiva. 
 
 
Paso 3. Calculo del valor mínimo del radio de giro. En el apéndice A-1 para 
cualquier eje de una sección circular, r=D/4. Entonces. 
 
 
 
 
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Paso 4. Calculo de relación de esbeltez, SR= Le /r. 
 
 
 
Paso 5. Calcule la constante de columna. Ce 
 
 
 
Paso 6. Compare Ce con SR y decida si la columna es larga o corta. Luego utilice 
la formula apropiada para calcular la carga de pandeo critica. Como SR es mayor 
que Ce se aplica la formula de Euler. 
 
 
 
 
 
El área es: 
 
 
 
 
 
Entonces 
 
 
 
 
 
Paso 7. Se especifica un factor de diseño de N=3. 
Paso 8. La carga permisible, Pa es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.- determine la carga crítica en una columna de sección transversal cuadrada de 
12mm por lado y 300mm de longitud. La columna es de acero AISI 1040, laminado 
en caliente. Uno de sus extremos se soldara rígidamente a un apoyo firme y el 
otro se conectara por medio de una junta de pasador. También calcule la carga 
permisible en la columna en un factor de diseño de N=3. 
 
Objetivos: 
 
Calcular la carga de pandeo critica para la columna y la carga permisible con un 
factor de diseño N=3. 
 
Datos: 
 
L= 300mm. La sección transversal es cuadrada; cada lado es b= 12mm. 
Un extremo de pasador; un extremo fijo. La columna es de acero; AISI 1040 
laminado en caliente. 
 
En el apéndice. 
 
Usaremos el método de analizar columnas. 
 
Solución: 
 
Paso 1. Determine el factor de fijación de los extremos, para la columna con un 
extremo pasador y otro fijó, K= 0.80 es un valor práctico. 
 
Paso 2. Calculamos la longitud efectiva. 
 
 
 
 
Paso 3. Calculamos el valor mínimo del radio de giro. En el apéndice A-1, para 
una sección transversal cuadrada, 
 
 
 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Paso 4. Calcule relaciones de esbeltez, 
 
 
 
 
 
Paso 5. Normalmente se calcularía el valor de la constancia de columna, Ce. Pero, 
en este caso, utilizaremos para una acero con cedencia de 414 MPa, Ce = 96, 
aproximadamente. 
 
Paso 6. Comparamos Ce con SR y decida si la columna es larga o corta. Luego 
utilice la formula apropiada para calcular la carga de pandeo critica. Como SR es 
menor que Ce, se utilizar la formula de Johnson. 
 
 
 
 
 
El área de la sección cuadrada es 
 
 
 
 
Entonces, 
 
 
 
 
 
 
Paso 7. Se especifica un factor de diseño N= 3 
 
Paso 8. La carga permisible, Pe es. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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