SDFNMecanica-de-Materiales-Problemrio-1-2

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) 
Datos: 
-Dimensiones de mesa: 1m x 1.5m -P=? 
-Sección d/c pata: 50mm x 50 mm 
-𝜎𝐶 = 4 𝑀𝑃𝑎 = 4 𝑥10
6 𝑁
𝑚2⁄
 
Cálculos: 
a) Calculando el área de la superficie de la mesa y de la secc. 
De una de las cuatro patas respectivamente, se tiene: 
 
 
 
 
Un cubo que tiene una sección transversal (Fig. 1) cuadrada de 80 mm de lado, soporta una carga de 
compresión de 200 kN. Determinar el esfuerzo de compresión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Un poste de madera de 2 in x 4 in, soporta una carga axial de compresión. Determinar la carga 
máxima que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo de 1000 lb/in2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Una mesa de 1m x 1.5m soporta una carga uniformemente distribuida sobre su superficie. Determinar: 
la carga máxima que puede soportar la mesa. Cada una de las cuatro patas de la mesa tiene una 
sección transversal de 50mm x 50mm. El esfuerzo de compresión no debe exceder de 4 MPa. 
 
 
 
 
 
 
Datos: 
-L=80mm -𝜎 =? 
-P=200 kN 
Cálculos: 
a) Calculando el área de sección: 
Se tiene primero que 𝐿 = 80 𝑚𝑚 = 0.08 𝑚 
𝐴 = 0.08𝑚 ∗ 0.08𝑚 = 0.0064𝑚2 
b) Se tiene que por la ecuación de esfuerzo normal: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 ∵ 𝜎 =
200𝑘𝑁
0.0064𝑚2
= 31,250 𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
Solución: 
∴ 𝜎 = 31,250 𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
Datos: 
-Dimensiones: 2in x 4in -P=? 
-𝜎𝑙𝑖𝑚 = 1,000 𝑙𝑏/𝑖𝑛
2 
Cálculos: 
a) Calculando el área de sección: 
𝐴 = 2𝑖𝑛 ∗ 4𝑖𝑛 = 8𝑖𝑛2 
b) Se tiene que la ecuación de esfuerzo normal: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 
c) Despejando la carga (P) se tiene: 
𝑃 = 𝜎𝐴 ∵ 𝑃 = 1000 𝑙𝑏
𝑖𝑛2⁄
(8𝑖𝑛2) = 8,000 𝑙𝑏 
Solución: 
∴ 𝑃 = 8,000 𝑙𝑏 
 
𝐴𝑀 = 1𝑚 ∗ 1.5𝑚 = 1.5𝑚
2 
𝐴𝑝 = 50𝑚𝑚 ∗ 50𝑚𝑚 = 2500𝑚𝑚2 = 0.0025𝑚2 
 
b) Puesto que son cuatro patas, esto es: 
 
𝐴4𝑝 = 0.0025𝑚
2 ∗ 4 = 0.01𝑚2 
 
c) Una vez realizado lo anterior, procedemos a calcular la carga a la que están sometidas las patas empleando 
el esfuerzo de compresión el cual no debe exceder a 4MPa: 
 
𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃4𝑝 𝑑𝑒: 𝜎 =
𝑃4𝑝
𝐴
∵ 𝑃4𝑝 = 𝜎𝐴 ⇒ 𝑃4𝑝 = 4 𝑥10
6 𝑁
𝑚2⁄
(0.01𝑚2) ⇒ 𝑃4𝑝 = 40,000 𝑁 
 
d) El resultado anterior muestra una carga axial (concentrada), el problema señala que la mesa soporta una 
carga uniformemente distribuida, para tal caso solo debemos distribuir la carga P4p sobre la superficie total de 
la mesa, para esto: 
 
Recordando que: 
𝐴𝑀 = 1.5𝑚
2 
 
Se tiene: 
 
𝑃 =
𝑃4𝑝
𝐴𝑀
=
40,000 𝑁
1.5𝑚2
≅ 26,666.66̅ 𝑁
𝑚2⁄
≅ 26.7 𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
Solución: 
∴ 𝑃 = 26.7 𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
 
 
 
 
 
Datos: 
-P=700 N 
-𝜎𝑀á𝑥.𝑃𝑒𝑟𝑚. = 120 𝑀𝑃𝑎 
-Ødiametro=? 
Cálculos: 
a) Se tiene que por la ecuación del esfuerzo normal: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴 ⇒ 𝐴 =
𝑃
𝜎
 
b) Cálculo de área de sección, sustituyendo y cambiando de MPa (𝜎) 
a N/m2 esto es: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
 ⟹ 𝐴 =
700 𝑁
120 ∗ 106 𝑁
𝑚2⁄
≅ 5.83̅ ∗ 10−6 𝑚2 
c) Para calcular el Ødiametro de la sección, sustituimos el resultado 
anterior en: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Una carga de 700N debe ser soportada por un alambre de cobre. Determinar el diámetro requerido. El 
esfuerzo en el alambre no debe exceder de 120 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 =
𝜋Ø2
4
⟹ 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 Ø ⇒ Ø = √
4𝐴
𝜋
= √
4(5.83̅ ∗ 10−6 𝑚2)
𝜋
≅ 2.72 ∗ 10−3𝑚 
 
Convirtiendo a mm: 
 
2.72 ∗ 10−3𝑚 (
1000𝑚𝑚
1𝑚
) = 2.72 𝑚𝑚 
 
Solución: 
∴ Ø ≅ 2.72 𝑚𝑚 
Datos: 
-P=400 kN 
-𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚. = 80 𝑀𝑃𝑎 
- ØI =35 mm…….(Diámetro interior) 
- ØE=? …………..(Diámetro exterior) 
Cálculos: 
a) Empleando la ecuación del esfuerzo normal para determinar la 
sección sobre la que está actuando la carga P: 
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚. =
𝑃
𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
 𝐷𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 ⇒ 𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 =
𝑃
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.
 
b) Cálculo de área de sección, sustituyendo y cambiando de MPa (𝜎) a 
N/m2 y de kN a N, esto es: 
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚. =
𝑃
𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
 ⟹ 𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 =
400,000𝑁
80 ∗ 106 𝑁
𝑚2⁄
= 0.005 𝑚2 
c) La sig. Ecuación muestra que la diferencia de áreas es equivalente al 
área de la sección sobre la que actúa P: 
𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (𝐴𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 − 𝐴𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) ⟹ 𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (
𝜋Ø𝐸
2
4
−
𝜋Ø𝐼
2
4
) 
d) Factorizando, despejando y sustituyendo datos, de la forma sig.: 
𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ⟹ 𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 =
𝜋
4
(Ø𝐸
2 − Ø𝐼
2
) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 Ø𝐸 ⟹ Ø𝐸 = √
4(𝐴𝑆𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛)
𝜋
+ Ø𝐸
2
 
Recordando que: ØI =35 mm = 0.035 m 
∵ Ø𝐸 = √
4(0.005 𝑚2)
𝜋
+ (0.035m)2 ≅ 0.0871𝑚 
Solución: 
∴ Ø𝐸 ≅ 87.1 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Un tubo de latón hueco soporta una carga axial de 400 kN. Si el ØI (diámetro interior) es de 35 mm. 
Calcule el ØE (diámetro exterior) si el esfuerzo no debe exceder de 80 MPa. 
 
 
 
 
 
6) En la fig. 6 se muestra que el miembro horizontal AC es una barra circular de Ødiámetro=40 mm, y el 
miembro inclinado BC es una barra sólida con una sección transversal de 70 mm x 110 mm. 
Determinar los esfuerzos en los miembros AC y BC. 
 
 
 
 
 
A 
B 56 kN 
Datos: 
-AC Ødiámetro=40 mm 𝜎𝐴𝐶 =? 
-BC 70 mm x 110 mm 𝜎𝐵𝐶 =? 
-↘ 56 kN 35° 
Cálculos: 
a) Se comienza por analizar la estructura, donde se puede observar que se encuentran involucradas tres 
fuerzas (una conocida y dos desconocidas), para este caso en particular, se puede analizar de dos maneras 
(métodos): con las ecuaciones del movimiento o con el “triángulo de fuerzas”, este último es práctico y fácil 
cuando se trata con problemas en los que se encuentran involucradas tres fuerzas. En Mecánica de Materiales 
esto sirve para saber si los elementos se encuentran a compresión o a tensión, el procedimiento es muy 
simple, veamos: 
 
̶ I. Consiste en desplazar una de las fuerzas (vector) hasta que su punto de aplicación coincida con el 
extremo de la otra y completar el triángulo con el tercer vector. 
 
̶ II. En este método, los vectores se deben trasladar (sin alterar sus propiedades: dirección, línea de 
acción, magnitud y sentido) de tal manera que la "cabeza" del uno se conecte con la "cola" del otro (el 
orden no interesa, pues la suma es conmutativa, es decir, que el orden de los sumandos no altera la suma). 
Al final el resultado es un triángulo en el que ninguno de los extremos debe coincidir, puesto que no se 
trata de un vector resultante, sino de un sistema de fuerzas concurrentes (en un punto) en equilibrio 
estático… 
 
Diagrama vectorial 
 
 
 
 
 
α 
 
C 
= 
56 kN 
FAC 
FBC 
4 
3 
C 
56 kN 
FAC 
FBC 4 
3 
35° α 
C 
35° α 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
̶ III. El acomodo de los vectores FAC y FBC con su respectivo sentido, realizado en el paso anterior (fig. x), 
se tomó en cuenta la condición del paso II (ninguno de los extremos debe coincidir), ya realizado lo anterior 
finalmente se construye el triángulo de fuerzas solo trasladando los vectores. Cabe mencionar que el único 
vector que conserva su sentido es el conocido en este caso es el de “56 kN”… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
̶ IV. Analizando la fig. x, se tiene que FAC está “jalando” por tanto se encuentra a tensión (T), mientras que 
FBC está “empujando” por lo que este se encuentra a compresión (C). Observe que ninguno de los vectores 
coincide con extremos iguales. 
 
Nota: El mismo resultado se obtendría con las ecuacionesde equilibrio, veamos... 
 
b) Calculando la magnitud de FAC y FBC (ambas suponiéndolas a tensión) y descomponiendo la fuerza de 56 
kN en sus componentes rectangulares como se muestra en el diagrama vectorial, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
𝐶𝑥 = 56(cos 35°) ; −𝐶𝑦 = 56(sin 35°) 
 
+
→ ∑ 𝐹𝑥 = 0; 56(cos 35°) − 𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐵𝐶 (
3
5
) = 0 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0; −56(sin 35°) − 𝐹𝐵𝐶 (
4
5
) = 0 
 
 𝐹𝐵𝐶 = −
56(sin 35°)
(4 5⁄ )
≅ −40.15 ⟹ ∵ 𝐹𝐵𝐶 ≅ 40.15 𝑘𝑁 (𝐶) 
∑ 𝐹𝑥 = 0; 56(cos 35°) − 𝐹𝐴𝐶 − 40.15 (
3
5
) = 0 
 
 
𝐹𝐴𝐶 = 56(cos 35°) − 40.15 (
3
5
) ≅ 45.87 − 24.09 ≅ 21.78 ⟹ ∵ 𝐹𝐴𝐶 ≅ 21.78 𝑘𝑁 (𝑇) 
56 kN 
FBC 
FAC 
4 
3 
35° α 
= 
C FAC 
FBC 4 
3 
α 
Cx 
Cy 
Ec. 1 
Ec. 2 
Despejando en la Ec. 2 
Sustituyendo en la Ec. 1 
Condición gráfica de 
equilibrio estático 
56 kN 
FAC (T) 
FBC (C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Determine el esfuerzo en cada material de los que integran la barra compuesta indicada en la fig. x, 
sometidos a las cargas axiales indicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Note que FBC está a compresión y FAC está a tensión, resultado obtenido con el método del “triángulo de 
fuerzas” lo que demuestra la fiabilidad del método mencionado anteriormente, la finalidad de emplear el 
triángulo de fuerzas es que al resolver las ecuaciones de equilibrio ambos métodos sean acertados. En algunos 
casos, simplemente se resuelve el triángulo, sin necesidad de “acudir” a las Ec. De Equilibrio, esto siempre y 
cuando se trate con triángulos rectángulos y proporciones, con uno de los próximos ejemplos de este texto se 
demostrará. 
 
c) Ahora se calculan los esfuerzos en los elementos AC y BC: 
 
Recordando que la barra circular AC tiene un Ødiámetro= 40 mm = 0.04 m y la barra BC tiene una sección de 70 
mm x 110 mm = 0.07 m x 0.11 m 
 
𝜎𝐴𝐶 =
𝐹𝐴𝐶
(
𝜋(0.04𝑚)2
4
⁄ )
=
21.78𝑘𝑁
0.0013𝑚2
≅ 16,753.84 𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
 
𝜎𝐵𝐶 =
𝐹𝐵𝐶
(0.07 m ∗ 0.11 m)
=
40.15𝑘𝑁
0.0077𝑚2
≅ 5,214.28 𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
 
Solución: 
∴ 𝜎𝐴𝐶 ≅ 16,753.84
𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
∴ 𝜎𝐵𝐶 ≅ 5,214.28
𝑘𝑁
𝑚2⁄
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculos: 
a) Por estar ubicadas todas las fuerzas en un solo eje horizontal, gráfica y analíticamente tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ; −4,000 𝐾𝑔 + 2,000 𝐾𝑔 − 5,000 𝐾𝑔 + 7,000 𝐾𝑔 = 0 
Acero 
Aluminio 
Cobre AAcero= 5 cm2 
AAl= 10 cm2 
ACu= 4 cm2 
4,000 Kg 2,000 Kg 5,000 Kg 7,000 Kg 
4,000 Kg 2,000 Kg 5,000 Kg 7,000 Kg 
+ - + - 
𝜎𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 =? ; 𝜎𝐴𝑙 =? ; 𝜎𝐶𝑢 =? 
7,000 Kg 7,000 Kg 
 b) Determinemos las fuerzas y esfuerzo actuando en cada material: 
 
Para el Acero: 
 
Analíticamente se tiene: 
 
 
 
 
Gráficamente es: Calculando el esfuerzo: 
 
 
 
 
 
 
Para el Aluminio (Al): 
 
Analíticamente se tiene: 
 
 
 
 
Gráficamente es: Calculando el esfuerzo: 
 
 
 
 
 
 
 
Para el Cobre (Cu): 
 
Analíticamente se tiene: 
 
 
 
 
Gráficamente es: Calculando el esfuerzo: 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4,000 Kg 4,000 Kg 
𝜎𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 =
4,000 𝐾𝑔
5 𝑐𝑚2
= 800 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
𝜎𝐴𝑙 =
2,000 𝐾𝑔
10 𝑐𝑚2
= 200 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
2,000 Kg 2,000 Kg 
+
→ ∑ 𝐹𝑥𝐶𝑢 = 0 ; −4,000 𝐾𝑔 + 2,000 − 5,000 = 0 ⟹ −7,000 = 0 ; +7,000 = 0 ∵ 𝐹𝑥𝐶𝑢 = 7,000 (𝑇) 
 
+
→ ∑ 𝐹𝑥𝐴𝑙 = 0 ; −4,000 + 2,000 = 0 ⇒ −2,000 = 0 ; −5,000 + 7,000 = 0 ⇒ +2,000 = 0 ∵ 𝐹𝑥𝐴𝑙 = 2,000 (𝑇) 
 
+
→ ∑ 𝐹𝑥𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 0 ; −4,000 𝐾𝑔 = 0 ; 2,000 − 5,000 + 7,000 = 0 ⇒ +4,000 = 0 ∵ 𝐹𝑥𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 4000 (𝑇) 
 
 Izquierda Derecha 
 
← → 
 
 Izquierda Derecha 
 
← → 
 
 Izquierda Derecha 
 
← → 
 
𝜎𝐴𝑙 =
7,000 𝐾𝑔
4 𝑐𝑚2
= 1750 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
∴ 𝜎𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 800 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ; ∴ 𝜎𝐴𝑙 = 200 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ; ∴ 𝜎𝐶𝑢 = 1750 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
8) Un tubo de aluminio está firmemente unido a una varilla de acero y otra de bronce, como se muestra 
en la fig. x. Se aplican cargas axiales en las posiciones señaladas, encontrar el máximo valor de P de 
manera que no sobrepase los esfuerzos sig.: 1,250 Kg/cm2 para el acero, 700 Kg/cm2 para el aluminio y 
1100 Kg/cm2 para el bronce. Calcule los esfuerzos reales en cada material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Datos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculos: 
a) Por estar ubicadas todas las fuerzas en un solo eje horizontal, gráfica y analíticamente tenemos: 
 
 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 ; 3𝑃 − 𝑃 − 4𝑃 + 2𝑃 = 0 
 
b) Determinemos las cargas axiales en cada elemento unido, con los esfuerzos permisibles 
 
Para el Bronce: 
 
Analíticamente se tiene: 
 
 
 
 
Gráficamente es: Calculando la carga axial: 
 
 
 
 
 
 
 
Para el Aluminio: 
 
Analíticamente se tiene: 
 
 
 
 
Gráficamente es: Calculando la carga axial: 
 
 
Aluminio 
Bronce 
Acero 
ABronce= 5 cm2 
AAl= 7 cm2 
AAcero= 3.5 cm2 
3P P 4P 2P 
3P P 4P 2P 
- - + + 
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 1100 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
 𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐴𝑙 = 700 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 1,250
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
+
→ ∑ 𝐹𝑥𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 0 ; +3𝑃 = 0 ; −𝑃 − 4𝑃 + 2𝑃 = 0 ⇒ −3𝑃 = 0 ∵ 𝐹𝑥𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 3𝑃 (𝐶) 
 
Izquierda Derecha 
 
→ ← 
 
3P 3P 
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 =
3𝑃𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒
5 𝑐𝑚2
⟹ 1,100 𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ =
3𝑃𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒
5 𝑐𝑚2
 
Despejando P: 
∵ 𝑃𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 
(1,100 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ) (5 𝑐𝑚2)
3
= 1,833. 3̅ 𝐾𝑔 (𝐶) 
2P 2P 
+
→ ∑ 𝐹𝑥𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 0 ; +3𝑃 − 𝑃 = 0 ⇒ +2𝑃 = 0 ; −4𝑃 + 2𝑃 = 0 ⇒ −2𝑃 = 0 ∵ 𝐹𝑥𝐴𝑙 = 2𝑃 (𝐶) 
 
 Izquierda Derecha 
 
→ ← 
 
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐴𝑙 =
2𝑃𝐴𝑙
7 𝑐𝑚2
⟹ 700 𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ =
2𝑃𝐴𝑙
7 𝑐𝑚2
 
Despejando P: 
∵ 𝑃𝐴𝑙 = 
(700 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ) (7 𝑐𝑚2)
2
= 2,450 𝐾𝑔 (𝐶) 
Pmáx=? 
σReales=? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para el Acero: 
 
Analíticamente se tiene: 
 
 
 
 
Gráficamente es: Calculando la carga axial: 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Observe que el máximo valor de P no es el del acero ni el del aluminio, por la razón de que sobrepasarían 
los esfuerzos permisibles de los restantes, la manera de elegir la carga axial correcta es bastante simple una vez 
calculadas las cargas en cada elemento de la barra compuesta, basta con elegir la carga aparentemente más 
pequeña… 
∴ 𝑷𝒎á𝒙. = 𝟏, 𝟖𝟑𝟑. �̅� 𝑲𝒈 
 
… Una condición para el esfuerzo real y permisible es que el esfuerzo real no exceda al permisible, o bien, que 
se igualen, es decir: 
𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙 ≤ 𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 
 
c) Dada la carga Gral. Del sistema determinemos los esfuerzos reales y su vez comprobemos que no exceda a los 
permisibles de cada elemento de la barra compuesta: 
 
Recordemos que: 𝐹𝑥𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 3𝑃 (𝐶) ; 𝐹𝑥𝐴𝑙 = 2𝑃 (𝐶) ; 𝐹𝑥𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 2𝑃 (𝑇) 
 
𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 =
3(𝑃𝑚á𝑥.)
5 𝑐𝑚2
⟹ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 =
3(1,833.3̅ 𝐾𝑔)
5 𝑐𝑚2
≅ 1,099.99
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
1,099.99
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ≤ 1100 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ⟹ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 ≤ 𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑙 =
2(𝑃𝑚á𝑥.)
7 𝑐𝑚2
⟹ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑙 =
2(1,833.3̅ 𝐾𝑔)
7 𝑐𝑚2
≅ 523.80
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
523.80
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ≤ 700 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ⟹ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑙 ≤ 𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐴𝑙 
 
 
𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 =
2(𝑃𝑚á𝑥.)
3.5 𝑐𝑚2
⟹ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 =
2(1,833.3̅ 𝐾𝑔)
3.5 𝑐𝑚2
≅ 1,047.61
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
1,047.61
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ≤ 1,250 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ⟹ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 ≤ 𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 
 
Solución 
∴ 𝑷𝒎á𝒙. = 𝟏, 𝟖𝟑𝟑. �̅� 𝑲𝒈 
 
∴ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 ≅ 1,099.99
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ; ∴ 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑙 ≅ 523.80
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ; 𝜎𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 ≅ 1,047.61
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
 
 
 
 
+
→ ∑ 𝐹𝑥𝐵𝑟𝑜𝑛𝑐𝑒 = 0 ; 3𝑃 − 𝑃 − 4𝑃 = 0 ⇒ −2𝑃 = 0 ; +2𝑃 = 0 ⇒ +2𝑃 = 0 ∵ 𝐹𝑥𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 2𝑃 (𝑇) 
 
Izquierda Derecha 
 
← → 
 
2P 2P 
𝜎𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 =
2𝑃𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜
3.5 𝑐𝑚2
⟹ 1,250 𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ =
2𝑃𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜
3.5 𝑐𝑚2
 
Despejando P: 
∵ 𝑃𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 = 
(1,250 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ) (3.5 𝑐𝑚2)
2
= 2,187.5 𝐾𝑔 (𝑇) 
✓ 
✓ 
✓ 
9) Un poste de sección cuadrada de 6 in de lado, es soportado por una zapata de 2 ft x 3 ft. El poste 
soporta una carga de 20,000 lb. Determine: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ El σ de aplastamiento entre el poste y la zapata. 
▪ El σ de aplastamiento entre la zapata y el terreno. 
 
Datos: 
 
 
-Sección de poste = 6 in (por lado) 
-Zapata = 2 ft x 3 ft 
-P = 20,000 lb 
-Esfuerzos de aplastamiento (entre el poste y la zapata; 
entre la zapata y el terreno)=? 
 
 
Carga 
Área de sección 
Esfuerzo de 
aplastamiento 
Cálculos: 
a) Interpretemos las unidades de longitud de la zapata en un solo sistema, para tal caso en “in”: 
 
Zapata = 2 ft x 3 ft = 24 in x 36 in 
 
b) Determinemos los esfuerzos de aplastamiento: Dada la ec…. 
 
𝜎A, =
𝑃
𝐴𝐶
 
 
 
𝜎A,poste y zapata =
20,000 𝑙𝑏
(6𝑖𝑛 ∗ 6𝑖𝑛)
=
20,000 𝑙𝑏
36𝑖𝑛2
= 555. 5̅ 𝑙𝑏
𝑖𝑛2⁄
 
 
𝜎A,zapata y terreno =
20,000 𝑙𝑏
(24𝑖𝑛 ∗ 36𝑖𝑛)
=
20,000 𝑙𝑏
864𝑖𝑛2
≅ 23.15 𝑙𝑏
𝑖𝑛2⁄
 
 
Solución: 
𝜎A,poste y zapata = 555. 5̅
𝑙𝑏
𝑖𝑛2⁄
 
𝜎A,zapata y terreno ≅ 23.15
𝑙𝑏
𝑖𝑛2⁄
 
10) Un soporte de madera de 20 x 20 cm, descansa a través de una placa de apoyo de acero de 30 x 30 cm 
sobre una base de concreto, como se muestra en la fig. x. Determinar el valor de P si el σadmisible de 
compresión para la madera es de 110 Kg/cm2, para el acero es de 1,400 Kg/cm2 y para el concreto de 50 
Kg/cm2. Cuál debe ser la dimensión d de la zapata cuadrada de concreto, si el σ sobre el terreno no 
debe exceder de 4 Kg/cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Datos: 
-Secc. Madera = 20 x 20 cm 
-Secc. Acero = 30 x 30 cm 
- σA, madera = 110 Kg/cm2 
- σA, acero = 1,400 Kg/cm2 
- σA, concreto = 50 Kg/cm2 
- σA, terreno = 4 Kg/cm2 
-P =? (Carga) 
-d =? (Dimensión de la zapata) 
 
 
 
 
 
 
Cálculos: 
a) Primero determinemos la carga P del sistema, empleando la ec. De esfuerzo de aplastamiento y sustituyendo 
con los datos proporcionados, esto será de la manera sig.: 
 
I. Entonces la forma de calcular P será determinando la carga que provoca el aplastamiento entre materiales 
dados los esfuerzos admisibles y las dimensiones de los materiales, antes de cualquier cálculo primero se 
analizará y elegirá el menor esfuerzo admisible entre los materiales que provoca dicho aplastamiento, 
puesto que el esfuerzo no debe sobrepasar el de ninguno, es decir, se elegirá “el esfuerzo menor” para el 
posterior cálculo… 
𝜎A,madera y acero =
𝑃
𝐴𝐶
 
 
Recordando los esfuerzos perm. Del acero y de la madera, observe que el menor 
 Esfuerzo de aplastamiento entre ambos materiales es el de la madera, esto es: 
 
 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑜 𝑦 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃 ; 
 
∵ 110 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ =
𝑃
(20 ∗ 20𝑐𝑚)2
⟹ ∵ 𝑃 = 400𝑐𝑚2 (110 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ) = 44,000 𝐾𝑔 
 
𝜎A,acero y concreto =
𝑃
𝐴𝐶
 ; 
 
𝑂𝑏𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 … 
 
∵ 50 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ =
𝑃
(30 ∗ 30𝑐𝑚)2
⟹ ∵ 𝑃 = 900𝑐𝑚2 (50
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ) = 45,000 𝐾𝑔 
 
Nota: de donde “σA” se refiere al 
esfuerzo de aplastamiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: falta calcular la carga P provocada por el esfuerzo de aplastamiento entre el concreto y el terreno, pero 
analicemos que esto no es posible por la razón de que no se tiene un área asignada, tendríamos una ecuación 
con dos incógnitas, es en este momento en donde se elige una carga P de las ya calculadas, de tal manera que 
no exceda a los esfuerzos admisibles (permisibles) de los materiales, la estructura es simple y se enlista… 
 
I. De la fuerzas calculadas se elige la aparentemente más pequeña 
II. Con ella se calcula el área necesaria para la zapata cuadrada empleando también el esfuerzo que 
admite el terreno 
III. Dada el área se extrae la raíz y esta será la dimensión d 
IV. Por último se verifica con P que los esfuerzos reales no excedan a los admisibles, para descartar 
cualquier error. 
 
b) Elegimos la carga P: 
 
Observe que es: 𝑃 = 44,000 𝐾𝑔 
 
c) De acuerdo a los pasos (I, II, III y IV) procedemos a calcular la dimensión d, como sigue: 
 
𝜎A,acero y concreto =
𝑃
𝐴𝐶
 
 
𝑂𝑏𝑐𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑜𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑛𝑜, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 … 
… 𝐷𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐴𝑐 𝑦 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 ; 
 
∵ 4 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ =
44,000 𝐾𝑔
𝐴𝐶
⟹ ∵ 𝐴𝐶 =
44,000 𝐾𝑔
4 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄
= 11,000 𝑐𝑚2 
 
d) Extraemos la raíz del resultado anterior y este será la dimensión d: 
 
𝑑 = √𝐴𝐶 ⟹ ∵ 𝑑 = √11,000 𝑐𝑚
2 ≅ 104.88 𝑐𝑚 
 
e) Comprobemos que con P no se excedan los esfuerzos de aplastamiento admisibles (recuerde que se elige el 
esfuerzo menor, que provoca el aplastamiento entre materiales): 
 
𝜎𝐴.𝑅𝑒𝑎𝑙.𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑦 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 =
44,000 𝐾𝑔
400 𝑐𝑚2
= 110 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
 
110 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ≤ 110 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ⟹ 𝜎𝐴.𝑅𝑒𝑎𝑙.𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑦 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 ≤ 𝜎𝐴.𝑃𝑒𝑟𝑚.𝑀𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎 𝑦 𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 
 
𝜎𝐴.𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 =
44,000 𝐾𝑔
900 𝑐𝑚2
≅ 48. 8̅ 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
 
48. 8̅ 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ≤ 50 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ; ⟹ 𝜎𝐴.𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 ≤ 𝜎𝐴.𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐴𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 
 
𝜎𝐴.𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑦 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 =
44,000 𝐾𝑔
11,000
≅ 4 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ 
 
4 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ≤ 4 
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
⁄ ; ⟹ 𝜎𝐴.𝑅𝑒𝑎𝑙.𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑦 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 ≤ 𝜎𝐴.𝑃𝑒𝑟𝑚.𝐶𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑦 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑜 
 
✓ 
✓ 
✓ 
Solución: 
 ∴ 𝑃 = 44,000 𝐾𝑔 ; ∵ 𝑑 ≅ 104.88 𝑐𝑚 ≅ 1.05 𝑚 
 
11) Un perno de Ø=25mm, se usa para unir dos placas de 15 mm de espesor. Determinar el esfuerzo de 
aplastamiento entre el perno y las placas. Las placas están sometidas a una carga de tensión de 30 kN, 
vea la fig. x.: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Dos pernos de ¾” se usan para unir tres placas, como se muestra en la figura x. Determinar el esfuerzo 
de aplastamiento entre los pernos y las placas. 
 
 
 
 
 
 
30 kN 
30 kN 
Datos: 
-Perno: Ø=25mm= 0.025 m 
-Espesor: t=15mm = 0.015 m 
-Carga: T=30 kN 
-σAPLASTAMIENTO = ? 
 
Cálculos: 
a) El área sometida a la fuerza de tensión es perpendicular a dicha fuerza, entonces: es el producto del Ø del perno y t 
(espesor de la placa), es decir… 
𝜎Aplastamiento =
𝑃
𝐴
=
𝑇
Øt
 
 
b) Sustituimos los datos necesarios en la ecuación anterior: 
 
𝜎Aplastamiento =
𝑇
Ø ∙ t
=
30𝑘𝑁
(0.025m)(0.015m)
= 80,000 𝑘𝑁
𝑚2⁄
= 80 𝑀𝑃𝑎 
 
Solución: 
∴ 𝜎Aplastamiento = 80 𝑀𝑃𝑎