Mecanica-de-Materiales-Unidad-2

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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de 
Estudios Superiores Plantel Aragón 
 
INGENIERIA INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA PROFESORA: MARTHA BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE ENTREGA: 13 DE FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
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INDICE 
 
Introducción ........................................................................................................................................ 3 
 
2.1 concepto de desplazamiento de un cuerpo .................................................................................. 4 
 
2.1.1 Traslación ................................................................................................................................... 4 
 
2.1.2 Rotación ..................................................................................................................................... 5 
 
2.1.3 Alargamiento .............................................................................................................................. 6 
 
2.2 estado general de deformaciones ................................................................................................. 6 
 
2.2.1. Deformación volumétrica ......................................................................................................... 6 
 
2.2.2 Distorsión ................................................................................................................................... 7 
 
2.2.3 Deformaciones principales ......................................................................................................... 9 
 
2.2.4. Circulo de Mohr para deformaciones. .................................................................................... 12 
 
Conclusión ......................................................................................................................................... 15 
 
BIBLIOGRAFÍA / WEBGRAFIA ............................................................................................................. 16 
 
 
3 
 
Introducción 
 
En la Unidad I se encontró el estado de esfuerzo en un punto arbitrario de un 
sólido cuando se le somete a cargas superficiales y de cuerpo. 
La deformación es una cantidad geométrica que depende de los movimientos 
relativos de dos o tres puntos en el cuerpo y por consiguiente sólo está 
relacionado a los desplazamientos. Puesto que los desplazamientos de cuerpo 
rígido no producen deformación, estos de despreciaran. 
En la Unidad I se discutieron dos tipos de esfuerzo: esfuerzo normal y esfuerzo 
cortante; esta misma clasificación se usará para deformaciones. Una deformación 
normal se define como el cambio en la longitud de un segmento de la línea entre 
dos puntos divididos por la longitud original del segmento de la línea. Una 
deformación cortante se define como el cambio angular entre dos segmentos de la 
línea que eran originalmente perpendiculares. 
Las relaciones entre las deformaciones y los desplazamientos se pueden 
determinar considerando la deformación de un cubo arbitrario tomado de un 
cuerpo sometido a un sistema de cargas. 
En esta unidad se estudiarán las deformaciones asociadas con el sólido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
2.1 concepto de desplazamiento de un cuerpo 
Cuerpo solido 
 
Entendemos por sólido rígido un sistema de partículas en el que la distancia entre 
dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los 
cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado, 
cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son 
suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, 
entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido 
rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe. 
En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido 
real, al igual que lo es la partícula o punto material. 
 
2.1.1 Traslación 
 
El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. 
Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente: Se 
dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación 
cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece 
paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento. 
 
5 
 
Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación 
tienen, en cada instante, la misma velocidad. Esa velocidad, común a todos los 
puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser 
considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse 
a la aceleración. En consecuencia, una vez definido el movimiento de un punto 
cualquiera del sólido rígido que se traslada, tenemos definido el movimiento del 
sólido. Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido 
es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es 
decir, una se puede obtener mediante una translación de la otra. 
Es conveniente que insistamos en que el movimiento de traslación no prejuzga 
forma alguna para las trayectorias de los distintos puntos que constituyen el sólido. 
Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v = cte), cada uno de 
los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con aceleración constante 
y todas esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación 
uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por qué ser 
constante y la trayectoria puede ser curvilínea. 
 
2.1.2 Rotación 
 
Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor 
de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas 
sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. 
 
El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer 
caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanece en reposo en tanto 
que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo 
caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje 
exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será 
tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo 
tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. 
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La introducción del concepto de aceleración angular es de gran importancia por la 
simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, 
ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma 
aceleración angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una 
aceleración que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la 
celeridad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a 
un eje fijo. La aceleración angular se mide en radianes por segundo (rad/s). 
 
2.1.3 Alargamiento 
 
El cambio en el estado de un cuerpo causado por la aplicación de una fuerza 
(esfuerzo) se le denomina deformación. Esta deformación es proporcional al 
esfuerzo aplicado dentro de los límites elásticos del material. 
Alargamiento unitario (ε) es la cantidad que alarga un cuerpo (δ) por unidad de lon
gitud (L). 
ε = δ/L 
 
Para los alargamientos totales debido a la deformación producida por una fuerza 
externa (despreciando su propio peso), la fórmula a utilizar es: 
 
δ = PL/AE 
 
(Siendo δ, el alargamiento total; P, la fuerza que actúa; L, la longitud; A, la sección 
y E, el módulo de elasticidad.) No tiene unidades. 
 
 
2.2 estado general de deformaciones 
 
2.2.1. Deformación volumétricaEl módulo de elasticidad volumétrica se refiere a situaciones donde el volumen de 
un material sufre un cambio a causa de un esfuerzo externo. A diferencia de los 
módulos de Young y de elasticidad transversal, que solamente se aplican con los 
sólidos, el módulo de elasticidad volumétrica es aplicable tanto con sólidos y 
líquidos como con gases. 
 
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Consideremos la siguiente membrana esférica que contiene un gas a un volumen 
V 
 
 
 
La presión que se encuentra dentro de la membrana es, en primera instancia, la 
misma que se encuentra por fuera de la membrana. Supongamos que esta última 
presión aumenta de tal manera que se ejerce una presión sobre toda la superficie 
de la membrana y causa que ésta se compacte ligeramente. La presión que causó 
el cambio de volumen, se manifiesta como una fuerza F que actúa 
perpendicularmente en todos los puntos sobre la superficie esférica de la 
membrana. La reducción de su volumen es de V . Podemos decir que el esfuerzo 
volumétrico equivale al incremento de la fuerza que actúa por área unitaria 
Esfuerzo volumétrico 
Esfuerzo volumétrico 
El Modulo de elasticidad volumétrica seria: 
Módulo de elasticidad volumétrica 
 
2.2.2 Distorsión 
 
El criterio de la máxima energía de distorsión fue formulado primeramente por 
Maxwell en 1861 y más tarde también mencionado por Huber (1904). Sin 
embargo, fue con el trabajo de Richard Edler von Mises (1913) que el criterio 
alcanzó notoriedad, a veces se conoce a esta teoría de fallo elástico basada en la 
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tensión de Von Mises como teoría de Maxwell-Huber-Hencky-von Mises. La 
expresión propuesta por Von Mises y Hencky, de acuerdo con este criterio una 
pieza resistente o elemento estructural falla cuando en alguno de sus puntos la 
energía de distorsión por unidad de volumen rebasa un cierto umbral. 
 
 
En términos de tensiones este criterio puede escribirse sencillamente en 
términos de la llamada tensión de von Mises como: 
 
 
 
 
 
La falla se producirá cuando la energía de distorsión por unidad de volumen 
debido a los esfuerzos máximos absolutos en el punto crítico sea igual o mayor a 
la energía de distorsión por unidad de volumen en el ensayo de tensión al 
momento de producirse la fluencia. 
 
9 
 
2.2.3 Deformaciones principales 
 
Las ecuaciones obtenidas para ε(x´) y γ(x´y´) son las ecuaciones paramétricas de 
un circulo esto significa que si se escoge un sistema de ejes rectangulares y se 
grafica un punto M de accisa ε(x´) y ordenada γ(x´y´) para cualquier valor de θ 
los puntos así obtenidos estarán situados en un círculo. 
 
 1.1 
 
 1.2 
 
Para comprobarlo, se elimina θ de las ecuaciones (1.1) y (1.2). Esto se hace 
transponiendo primero en la ecuación (1.1) y elevando al cuadrado 
ambos miembros de la ecuación, luego se elevan al cuadrado ambos miembros de 
la ecuación (1.2) y, finalmente, se suman miembro a miembro las ecuaciones 
resultantes. 
 
 (1.1) 
 
 
 
 (1.2) 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
Reduciendo queda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Haciendo: 
 
 
 
Se escribe la identidad (1.1) en la forma. 
 
 
 
Que es la ecuación de un círculo de radio R con centro C de abscisa y 
ordenada 0. Puede observarse que, debido a ña simetría del círculo con respecto 
al eje horizontal se habría obtenido el mismo resultado si, en lugar de graficar M. 
Los puntos de A y B, donde el circulo de la figura 1.1 interseca el eje horizontal, 
son especial interés: el punto A correspondiente al valor máximo del esfuerzo 
normal , mientras el punto B 
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 Figura 1.1 
Siendo las ecuaciones para las deformaciones principales: 
 
 (1.3) y (1.4) 
 
El valor correspondiente del ángulo θ se obtiene observando que la 
deformación cortante es cero para A y B. haciendo . 
 
 
 
 
 
 
 
 (1.5) 
 
Los ejes correspondientes a y b, en la figura 1.2, son los ejes principales de 
deformación. El ángulo que define la dirección del eje principal 0a en la figura 
1.2 al punto A en la figura 1.1, es igual a la mitad del ángulo XCA medido en el 
círculo de Mohr. 
 
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 Figura 1.2 
 
 
 
2.2.4. Circulo de Mohr para deformaciones. 
 
Como las ecuaciones para la transformación de deformación plana son de la 
misma forma que las ecuaciones para la transformación de esfuerzo plano, el uso 
del círculo de Mohr puede extenderse al análisis de deformación plana. 
Dadas las componentes de deformación , , y que definen las 
deformaciones representadas en la figura 7.60. 
 
 
 
Construcción del círculo de Mohr para deformaciones: 
1.- Dibujo de un sistema de ejes coordenados con como abscisa, positivo hacia la 
derecha, y como ordenada, positivo hacia arriba. 
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2.- Se dibuja un punto X ( ) de abscisa igual a la deformación normal y 
de ordenada igual a la mitad de la deformación cortante y un punto Y 
( ) (figura 7.64). 
 
 
 
3.- Localice el centro C del círculo en el punto con coordenadas . 
= 
4.- Con el punto C como centro, trace el círculo de Mohr por los puntos X y Y. EL 
círculo dibujado de esta manera tiene radio R. 
 
5.- Los puntos A y B, en donde el círculo de Mohr interseca el eje horizontal, 
corresponden a las deformaciones principales (figura 7.65a). 
Se encuentra que: 
= + R y = - R 
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6.- Los ejes correspondientes a y b, en la figura 7.65b, son los ejes principales de 
deformación. El ángulo que define la dirección del eje principal Oa en la figura 
7.65b correspondiente al punto A en la figura 7.65a, es igual a la mitad del ángulo 
XCA medido en el círculo de Mohr. 
 
 
 
7.- La deformación cortante máxima en el plano se define por los puntos D y E en 
la figura 7.65a. Es igual al diámetro del círculo de Mohr. 
 
 
 
 
 
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Conclusión 
 
En este tema vimos como un esfuerzo aplicado en un cuerpo solido tiende a 
deformar este mismo, de ahí nos dimos cuenta de que no solo se deforma sobre 
un solo eje, si no que todas sus caras presentan una disminución o un aumento 
longitudinal sobre sus coordenadas. 
En conclusión, un esfuerzo aplicado sobre un objeto, interactúa con el área de las 
caras de este mismo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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BIBLIOGRAFÍA / WEBGRAFIA 
• http://www.academia.edu/9591769/UNIDAD_II 
• http://widekass.weebly.com/uploads/2/2/6/7/22674046/traslacin_
y_rotacin.pdf 
• http://fisica1paratodos.blogspot.mx/2011/11/mecanica-del-
cuerpo-rigido.html 
• Mecánica de materiales, James R. Gere – Barry J. Goodno, 
Cengage Learning. 
• Mecánica de materiales. Fitzgerald, alfaomega. 
• Mecánica de materiales. Hibbler, 8va edición, Pearson. 
 
 
 
 
http://www.academia.edu/9591769/UNIDAD_II
http://widekass.weebly.com/uploads/2/2/6/7/22674046/traslacin_y_rotacin.pdf
http://widekass.weebly.com/uploads/2/2/6/7/22674046/traslacin_y_rotacin.pdf
http://fisica1paratodos.blogspot.mx/2011/11/mecanica-del-cuerpo-rigido.html
http://fisica1paratodos.blogspot.mx/2011/11/mecanica-del-cuerpo-rigido.html