MGHGFDecanica-de-Materiales

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Universidad Nacional 
Autónoma de México 
Facultad de Estudios 
Superiores Plantel 
Aragón 
 
INGENIERIA 
INDUSTRIAL 
 
 
CLASE “ mecánica de 
materiales” 
 
 
 
trabajo 
 
 
 
 
GRUPO:2804 
 
 
 
NOMBRE DE LA 
PROFESORA: MARTHA 
BERENICE FUENTES 
FLORES 
 
 
 
NOMBRE DEL ALUMNO: 
CORTES HERNANDEZ 
RICARDO 
 
 
 
 FECHA DE 
ENTREGA: 13 DE 
FEBRERO DEL 2023 
 
 
 
 
 
 
Abstract— This paper is about developing the 
exercises in current year class for which they 
are developed with the knowledge acquired in 
the classroom 
 
Index Terms—Exercises, knowledge, 
 
Resumen 
 
En este trabajo se trata de desarrollar los 
ejercicios planteados en clases para lo cual se los 
desarrollara con los conocimientos adquiridos en 
las clases 
I. INTRODUCION 
En el presete trabajo se ampliara el conocimiento 
sobre el tema de flexion con lo cual se tratara 
unos pequeños conceptos del tema y se 
reforzaran esos con el desarrolo de ejercicios 
planteados en clases 
 
II. FUNDAMENTO TEÓRICO. 
 
Flexión 
Se dice que una pieza está sometida a “flexión 
pura” cuando se aplica en sus extremos dos pares 
iguales y opuestos. O de otra forma, cuando de 
los elementos de reducción N, M, T y C todos son 
iguales a cero excepto M. La parte central (C, D) 
de la viga AB, de la figura 4.1 está sometida a 
flexión pura. 
 
 
 
Fig. 1 Diagrama de cuerpo libre [1] 
 
Este caso tiene gran interés, a pesar de darse poco 
en la práctica, porque los resultados obtenidos 
son aplicables al caso normal, en que M es 
variable, viniendo, por tanto acompañada de un 
esfuerzo cortante, ya que según vimos = - T. Este 
último caso, en que M es variable, y como 
consecuencia, existe también T, se llama ”flexión 
simple”. [1] 
 
FLEXIÓN PURA 
La flexión pura se refiere a la flexión de un 
elemento bajo la acción de un momento 
flexionante constante. Cuando un elemento se 
encuentra sometido a flexión pura, los esfuerzos 
cortantes sobre él son cero. Un ejemplo de un 
elemento sometido a flexión pura lo constituye la 
parte de la viga entre las dos cargas puntuales P. 
 
El diagrama de cortantes (V) ilustra que en la 
parte central de la viga no existen fuerzas 
cortantes ya que está sometida únicamente a un 
momento constante igual a P.d . Las partes de 
longitud d no se encuentran en flexión pura 
puesto que el momento no es constante y existen 
fuerzas cortantes. 
Para poder determinar los esfuerzos producidos 
en un elemento sometido a flexión, es necesario 
realizar primero un estudio de las deformaciones 
normales producidas sobre la sección transversal 
del elemento. [2] 
 
Fig. 2 Diferentes formas y tamaños de ladrillos de 
hormigón. [3] 
 
FLEXIÓN SIMPLE: 
En la vida práctica son pocos los elementos que 
se encuentran sometidos a flexión pura. Por lo 
general los miembros se encuentran en flexión no 
uniforme lo que indica que se presentan de 
forma simultanea momentos flectores y fuerzas 
cortantes. Por lo tanto se hace necesario saber 
que sucede con los esfuerzos y las deformaciones 
cuando se encuentran en esta situación. Para ello 
se deben conocer las fuerzas internas que actúan 
sobre los elementos determinándolas para la 
obtención de los diagramas de momentos 
flectores y fuerzas cortantes que actúan sobre un 
elemento dado. [2] 
 
 
Fig. 3 Diagrama de cuerpo libre [4] 
 
FLEXIÓN BIAXIAL: 
La flexión biaxial se presenta cuando un 
elemento es sometido a cargas que actúan sobre 
direcciones que son oblicuas a los ejes de 
simetría de su sección transversal. Un ejemplo lo 
constituye la viga en voladizo de la siguiente 
figura sometida a la acción de una carga P, cuya 
dirección es oblicua a los ejes de simetría. 
Sobre esta, se presentan además de los 
momentos flectores, fuerzas cortantes. 
Para analizar los esfuerzos causados por 
flexión se descompone la fuerza P en cada uno 
de los ejes de simetría de la sección transversal 
para realizar un análisis de flexión por separado 
para cada dirección y luego superponerlos para 
determinar los esfuerzos y deflexiones totales.[2] 
 
 
Fig. 4 Diagrama de cuerpo libre [5] 
III. EJERCICIOS 
 
Ejercicio 5.39 [6] 
Relaciones entre la carga y el cortante.
 
Fig. 5 Viga apoyada en apoyos [6] 
Considere una viga simplemente apoyada AB 
que lleva una carga distribuida w por unidad de 
longitud, y sean C y C’ dos puntos en la viga a 
una distancia 𝛥x uno del otro. El cortante y el 
momento flector en C se denotarán por V y por 
M, respectivamente, y se supondrán positivos; el 
cortante y el momento flector en C’ se denotarán 
por V + 𝛥V y por M + 𝛥M. 
Ahora se desprende la porción de viga CC’ y se 
dibuja su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas 
ejercidas sobre el cuerpo libre incluyen una carga 
de magnitud w 𝛥x [6]. 
 
Fig. 6 Diagrama de cuerpo libre de CC’[6] 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝑉 − (𝑉 + ΔV) − 𝑤Δx = 0 
ΔV = −wΔx 
Cuando Δx se aproxima a cero: 
 (1) 
 
 
 
Integrando entre C y D se obtiene: 
 
 (2) 
Relaciones entre el cortante y el momento 
flector [1] 
Con el mismo diagrama anterior: 
∑ 𝑀𝑐 = 0 
(𝑀 + Δ𝑀) − 𝑀 − 𝑉(Δx) + wΔx
Δx
2
= 0 
ΔM = −vΔx −
1
2
𝑤(Δx)2 
Cuando Δx se aproxima a cero: 
 
 (3) 
 
 
Integrando entre C y D se obtiene: 
 
 (4) 
 
EJERCICIO DE APLICACIÓN: 
 
Fig.7 Ejercicio 5.39 
Lo primero que debemos hacer es el análisis de 
las reacciones 
 
 
Fig. 8 Reacciones en la viga. 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 
−𝑤(𝐿 − 2𝑎)
𝐿
2
+ 𝐷𝑦(𝐿) =0 
𝐷𝑦 =
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 (5) 
 
∑ 𝐹𝑥 = 0 
𝐴𝑥 =0 (6) 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 − 𝑤(𝐿 − 2𝑎) = 0 
𝐴𝑦 = 𝑤(𝐿 − 2𝑎) −
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 
𝐴𝑦 =
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 (7) 
 
EN EL PUNTO A 
Se tiene que aquí VA=Ay 
𝑉𝐴 =
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 (8) 
El momento es igual a cero 
MA=0 (9) 
 
EN A-B 
Tomamos en cuenta mediante el grafico que x 
valdrá desde cero hasta a: 0 < x < a 
Y no tenemos fuerzas distribuidas, por lo tanto: 
w=0 
Cortante: 
Mediante la fórmula encontramos el cortante: 
𝑉𝑏 − 𝑉𝐴 = − ∫ 𝑤𝑑𝑥
𝑎
0
= − ∫ 0𝑑𝑥 = 0
𝑎
0
 
𝑉𝑏 = 𝑉𝐴 
𝑉𝑏 = 
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 (10) 
Momento: 
El momento lo encontramos mediante la 
fórmula: 
𝑀𝑏 − 𝑀𝐴 = ∫ (𝑉𝑏)𝑑𝑥
𝑎
0
 
−w =
dV
dx
 
 
𝑉𝐷 − 𝑉𝐶 = − ∫ 𝑤𝑑𝑥
𝐷
𝐶
 
 
V =
dM
dx
 
 
𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 = ∫ 𝑉𝑑𝑥
𝐷
𝐶
 
 
𝑀𝑏 − 𝑀𝐴 = ∫
𝑤(𝐿 − 2𝑎)
2
𝑑𝑥
𝑎
0
 
𝑀𝑏 − 𝑀𝐴 =
𝑤(𝐿 − 2𝑎)𝑎
2
 
Mb= 
 𝑤(𝐿−2𝑎)𝑎
2
 (11) 
 
EN B-C 
Tomamos en cuenta mediante el grafico que x 
valdrá desde a hasta (L-a): a < x < (L-a) 
Tenemos fuerzas distribuidas, por lo tanto: w = 
w 
Cortante: 
Mediante la fórmula encontramos el cortante: 
𝑉 − 𝑉𝑏 = − ∫ 𝑤𝑑𝑥
𝑥
𝑎
 
𝑉 − 𝑉𝑏 = −𝑤(𝑥 − 𝑎) 
𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑤(𝑥 − 𝑎) 
𝑉 =
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 − 𝑤(𝑥 − 𝑎) 
𝑉 =
𝑤(𝐿−2𝑥)
2
 (12) 
Reemplazando con x= (L-A) 
V en el punto c es: 
𝑉𝑐 = −
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 (13) 
Momento: 
El momento lo encontramos mediante la 
fórmula: 
𝑀 − 𝑀𝑏 = ∫ (𝑉𝑐)𝑑𝑥
𝑥
𝑎
 
𝑀 − 𝑀𝑏 = ∫
𝑤(𝐿 − 2𝑥)
2
𝑑𝑥
𝑥
𝑎
 
𝑀 =
𝑤(𝐿𝑥 − 𝑥2 − 𝐿𝑎 + 𝑎2)
2
− 𝑀𝑏 
𝑀 =
𝑤(𝐿𝑥 − 𝑥2 − 𝐿𝑎 + 𝑎2)
2
−
 𝑤(𝐿 − 2𝑎)𝑎
2
 
M = 
 𝑤(𝐿𝑥−𝑥2−𝑎2)2
 (14) 
Reemplazando con x= (L-A) 
M en el punto c es: 
Mc = 
 𝑤(𝐿𝑎−2𝑎2)
2
 (15) 
 
EN CD 
Tomamos en cuenta mediante el grafico que x 
valdrá desde (L-a) hasta (L): (L-a) < x < L 
Tenemos fuerzas distribuidas, por lo tanto: w = 0 
Cortante: 
Mediante la fórmula encontramos el cortante: 
𝑉𝑑 − 𝑉𝑐 = − ∫ 𝑤𝑑𝑥
𝐿
𝐿−𝑎
= 0 
𝑉𝑑 = 𝑉𝑐 
𝑉𝑑 = −
𝑤(𝐿−2𝑎)
2
 (16) 
Momento: 
El momento lo encontramos mediante la 
fórmula: 
𝑀𝑑 − 𝑀𝑐 = ∫ (𝑉𝑑)𝑑𝑥
𝐿
𝐿−𝑎
 
𝑀𝑑 − 𝑀𝑐 = ∫
𝑤(𝐿 − 2𝑎)
2
𝑑𝑥
𝐿
𝐿−𝑎
 
𝑀𝑑 =
𝑤(𝐿𝑎 − 2𝑎2)
2
−
 𝑤(𝐿𝑎 − 2𝑎2)
2
 
0000000000000000Md= 0 (17) 
GRAFICA DE CORTANTE: 
Cuando x=0: con la ecuación (8) 
VA =
w(L − 2a)
2
 
En B: con la ecuación (10) 
Vb =
w(L − 2a)
2
 
En el punto C: con la ecuación (13) 
𝑉𝑐 = −
𝑤(𝐿 − 2𝑎)
2
 
En el punto D: con la ecuación (16) 
𝑉𝑑 = −
𝑤(𝐿 − 2𝑎)
2
 
 
 
 
 
Fig.9 Diagrama de cortante del ejercicio. 
GRAFICA DE CORTANTE: 
Cuando x=0: con la ecuación (9) 
𝑀𝑎 = 0 
En B: con la ecuación (11) 
Mb= 
 𝑤(𝐿−2𝑎)𝑎
2
 
En el punto C: con la ecuación (14) 
Mc = 
 𝑤(𝐿𝑎−2𝑎2)
2
 
En L/2 se da el máximo momento: 
M = 
 𝑤𝐿2
8
−
 𝑤𝑎2
2
 
En el punto D: con la ecuación (17) 
𝑀𝑑 = 0 
 
Fig.10 Diagrama momento flector del ejercicio 
 
 
Ejercicio 6.7 [7] 
La viga de acero laminado estándar americano 
que se muestra en la figura se ha reforzado al 
añadirle dos placas de 16X200 mm, utilizando 
pernos de 18 mm de diámetro espaciados en 
forma longitudinal cada 120 mm. Si se sabe que 
el esfuerzo cortante promedio permisible en los 
pernos es de 90 MPa, determine la máxima 
fuerza cortante vertical permisible. 
6.8 Retome el problema 6.7, y ahora suponga que 
las placas de refuerzo sólo tienen 12 mm de 
espesor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.9 Diagrama del ejercicio 
 
Lo primero que tendremos que hacer será el 
calculo del momento de inercia, para lo cual 
emplearemos la siguiente tabla donde tenemos 
dos segmentos el segmento 1 compuesto por dos 
placas de 16x200 y el segundo por una viga de 
acero laminado S310x52, de esta viga se sacó la 
información de internet. 
S310x52 
A=6660mm2 
𝐼=̅95.9x106 mm4 [1] 
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 = 90𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
Calculamos el momento de Inercia 
Segmen
to 
𝐴 
(𝑚𝑚2) 
d(mm) 𝐴𝑑2 
(𝑚𝑚4) 
𝐼�̅�𝑚4𝑥106 
1 2400 158.5 60.29 0.028 
1 2400 158.5 60.29 0.028 
2 6660 0 0 95.9 
 120.58 95.96 
 
Sacamos el momento de inercia con la formula: 
𝐼�̅�𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜1 =
1
12
𝑏 ∗ ℎ3[1] 
𝐼�̅�𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜1 = 0.0288𝑥106 
Luego utilizamos ejes paralelos para determinar 
el momento de inercia total de la figura 
𝐼 = ∑𝐴𝑑2 + ∑𝐼 [2] 
𝐼 = 120.58 + 95.96 
𝐼 = 216.54𝑥10−6𝑚𝑚4 
 
Q es el primer momento con respecto al eje 
neutro de la sección transversal bien por encima 
o por debajo del punto en el que q se calcula, y 
que I es el momento centroidal de inercia de toda 
la área de la sección transversal. [2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.10 
Diagrama del ejercicio 
 
 
Se realiza un corte de la sección, para separar la 
separar la sección transversa en dos partes. Se 
escoge determinar Q calculando el primer 
momento con respecto al eje neutro del área por 
encima de corte. 
𝑄 = 𝑑 ∗ 𝐴[3] 
𝑄 = 158.5 ∗ 2400 
𝑄 = 380𝑥10−6𝑚3 
Luego procedemos a sacar el área del perno con 
la formula 
𝐴𝑠 =
𝜋
4
(𝑑)2 [4] 
𝐴𝑠 = 254.46𝑥10−6 
En el siguiente paso sacamos la fuerza cortante 
del perno la cual se determina con la siguiente 
formula 
 
𝐹 = 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 ∗ 𝐴𝑠[5] 
𝐹 = 22.90𝑥103𝑁 
Utilizando la formula de fuerza cortante, con la 
separación entre los pernos, procedemos a 
calcular q, en esta ecuación se tomara como 2F, 
porque estamos utilizando dos pernos. 
𝑞 ∗ 𝑠 = 𝐹[6] 
𝑞 =
45.8𝑥103
120𝑥10−3
 
𝑞 = 381.66𝑥103 
El corte horizontal por unidad de longitud se 
denotara con la letra q, esta formula es usada para 
determinar la máxima fuerza cortante vertical 
permisible 
𝑞 =
𝑉 ∗ 𝑄
𝐼
[7] 
𝑉 = 216.94 𝐾𝑁 
 
 
 
Ejercicio 6.17 [8] 
Para la viga y las cargas que se muestran en la 
figura, determine la anchura mínima requerida b, 
si se sabe que para el grado de madera utilizado, 
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 = 12𝑀𝑃𝑎 y 𝜏𝑝𝑒𝑟𝑚 = 825𝑘𝑃𝑎. 
 
Fig.11: Figura para ejercicio 6.17 
Para obtener la anchura mínima de (b) se debe 
calcular el momento flector y el cortante para el 
siguiente problema, para ello se calcula primero 
las reacciones en los apoyos: 
 
 
Fig.12 : Reacciones en los apoyos. 
Realizamos las sumatorias de fuerzas en el eje y 
de momentos en el punto A. 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 − 2.4 − 4.8 − 7.2 = 0 
𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 − 14.4 = 0 
𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 = 14.4 
+↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 
−2.4(1) − 4.8(2) + 𝐷𝑦(3) − 7.2(3.5) = 0 
−2.4 − 9.6 + 𝐷𝑦(3) − 25.2 = 0 
𝐷𝑦(3) − 37.2 = 0 
𝐷𝑦 =
37.2
1.8
 
𝑫𝒚 = 𝟏𝟐. 𝟒𝒌𝑵 [1] 
 
El resultado que obtuvimos de la reacción 𝐷𝑦 
reemplazamos en la ecuación anterior y tendremos 
el valor de 𝐴𝑦: 
𝐴𝑦 + 𝐷𝑦 = 14.4 
𝐴𝑦 + 12.4 = 14.4 
𝐴𝑦 = 14.4 − 12.4 
𝑨𝒚 = 𝟐𝒌𝑵 [2] 
En los siguientes puntos se va a analizar el 
cortante y el momento flector para obtener su 
diagrama respectivo. 
 
 
Fig.13 : Punto de la viga a analizar 
Para la sección A-B 
 
 
Fig.14 : Cortante y momento de la sección A-B 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝐴𝑦 − 𝑣 = 0 
2 − 𝑣 = 0 
𝒗 = 𝟐𝒌𝑵 [3] 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↓↑ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 + 
+↺ ∑ 𝑀1 = 0 
𝑀 − 𝐴𝑦(𝑥) = 0 
𝑴 = 𝟐𝒙 [4] 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↺↻ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 + 
 
Para la sección A-C 
 
 
Fig.15 : Cortante y momento de la sección A-C 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝐴𝑦 − 2.4 + 𝑣 = 0 
2 − 2.4 + 𝑣 = 0 
𝒗 = 𝟎. 𝟒𝒌𝑵 [5] 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↑↓ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 − 
+↻ ∑ 𝑀2 = 0 
𝐴𝑦(𝑥) − 2.4(𝑥 − 1) + 𝑀 = 0 
2𝑥 − 2.4𝑥 + 2.4 + 𝑀 = 0 
−0.4𝑥 + 2.4 + 𝑀 = 0 
𝑴 = 𝟎. 𝟒𝒙 − 𝟐. 𝟒[6] 
Para valores entre 1< x < 2 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↻↺ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 − 
 
 
Para la sección A-D 
 
Fig.16 : Cortante y momento de la sección A-D 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝐴𝑦 − 2.4 − 4.8 + 𝑣 = 0 
2 − 2.4 − 4.8 + 𝑣 = 0 
𝒗 = 𝟓. 𝟐𝒌𝑵 [7] 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↑↓ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 − 
 
 
∑ 𝑀3 = 0 
𝐴𝑦(𝑥) − 2.4(𝑥 − 1) − 4.8(𝑥 − 2) + 𝑀 = 0 
2𝑥 − 2.4𝑥 + 2.4 − 4.8𝑥 + 9.6 + 𝑀 = 0 
−5.2𝑥 + 12 + 𝑀 = 0 
𝑴 = 𝟓. 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 [8] 
Para valores entre 2< x < 3 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↻↺ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 − 
 
Para la sección D-E 
 
Fig.17: Cortante y momento de la sección D-E 
 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 
𝑣 − 7.2 = 0 
𝒗 = 𝟕. 𝟐𝒌𝑵 [9] 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↓↑ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒔 + 
 
+↺ ∑ 𝑀3 = 0 
−𝑀 − 7.2(3.5 − 𝑥) = 0 
−𝑀 − 25.2 + 7.2𝑥 = 0 
𝑴 = 𝟕. 𝟐𝒙 − 𝟐𝟓. 𝟐 [10] 
Para valores entre 3< x < 3.5 
Como las flechas tienen el siguiente sentido: 
↺↻ 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔 + 
Con ayuda de las ecuaciones sacadas 
anteriormente obtenemos el diagrama del 
momento flector y del esfuerzo cortante presente 
en la viga de madera 
Con las ecuaciones: 
 
(+)𝒗 = 𝟐𝒌𝑵 [3] 
(-)𝒗 = 𝟎. 𝟒𝒌𝑵 [5] 
(-)𝒗 = 𝟓. 𝟐𝒌𝑵 [7] 
(+)𝒗 = 𝟕. 𝟐𝒌𝑵 [9] 
 
Obtenemos el diagrama del cortante presente en 
la viga 
 
 
Fig.18 : Diagrama del esfuerzo cortante 
Con las ecuaciones: 
(+)𝑴 = 𝟐𝒙 [4] 
(+)𝑴 = 𝟎. 𝟒𝒙 − 𝟐. 𝟒 [6] 
(-)𝑴 = 𝟓. 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 [8] 
(-)𝑴 = 𝟕. 𝟐𝒙 − 𝟐𝟓. 𝟐 [10] 
Obtenemos el diagrama del momento flector 
presente en la viga 
 
 
Fig.19 : Diagrama del Momento Flector 
Por medio de los diagramas y las ecuacionesobtenemos el cortante máximo y del momento 
flector máximo. Para obtener el momento flector 
y cortante debemos tomar el valor absoluto del 
mayor número. 
𝑣 = 7.2𝑘𝑁 
Reemplazamos con los intervalos ya dados y 
obtenemos el momento flector o por medio de 
la gráfica también se lo puede hacer. 
 
𝑀 = 7.2(3) − 25.2 ; para 2<x<3 
𝑀 = 7.2(3) − 25.2 
𝑀 = −3.6 
[𝑴] = 𝟑. 𝟔kN*m 
[𝒗] = 𝟕. 𝟐𝒌𝑵 
Para calcular el ancho de la figura necesitamos la 
siguiente fórmula: 
 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 =
𝑀
𝑆
 [11] 
Al despejar S la fórmula es la siguiente: 
𝑆 =
𝑀
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚
 
𝑆 =
3.6 × 103𝑁 ∗ 𝑚
12 × 106𝑁
 
𝑆 = 0.3 × 10−3𝑚 
También para obtener el módulo de la sección de 
un perfil rectangular ocupamos la siguiente 
fórmula: 
𝑆 =
1
6
𝑏ℎ2 [12] 
Como ya se obtuvo una ecuación de sección 
anteriormente igualamos las ecuaciones: 
0.3 × 10−3 =
1
6
𝑑(0.15)2 
6 ∗ 0.3 × 10−3
22.5 × 10−3
= 𝑑 
𝑑 = 0.08𝑚 
 
Para saber si la respuesta obtenida es apropiada 
también aplicamos con el 𝜏𝑚𝑎𝑥 con la siguiente 
fórmula 
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
3𝑣
2𝐴
 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
3𝑣
2𝑏ℎ
 
825 × 103 =
7.2 × 103
2𝑑(0.15)
 
𝑑 =
(3)7.2 × 103
825 × 103(0.3)
 
𝑑 = 87.27 × 103𝑚 
 
Tabla 1: Resultados de con diferentes cargas 
𝝉𝒎𝒂𝒙 𝑑 = 87.27 × 103𝑚 
𝝈𝒑𝒆𝒓𝒎 𝑑 = 80 × 10
3𝑚 
 
 
Al comparar los resultados de la tabla 1 el ancho 
mínimo requerido en b es de 87.27mm ya que así 
puede resistir las cargas requeridas por el 
ejercicio. 
 
 
 
 
Ejercicio 6.23 [9] [10] 
Para la viga y las cargas que se muestran en las 
figuras, determine el esfuerzo cortante máximo 
en la sección n-n. 
 
Fig.19 : Diagrama del Momento Flector 
 
sumatoria de momentos en el punto A, momento 
de un elemento es igual a la fuerza por la 
distancia perpendicular. 
+↺ ∑ 𝑀𝐴 = 0 [1] 
−180𝑘𝑁(0.5) + 𝑅𝐵(1) = 0 
𝑅𝐵 = 90000𝑁 
 
Sumatoria de Fuerzas en el eje y, segunda ley de 
newton en este caso como no existe aceleración 
por lo que se la iguala a cero. 
+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0 [2] 
𝑅𝐴 − 180𝑘 + 𝑅𝐵 = 0 
𝑅𝐴 = 90000𝑁 
 
Fig.20 : corte n-n, seccionada por partes para el 
cálculo del momento de inercia 
 
Antes de calcular los momentos de inercia 
debemos localizar el centro de masa de la figura, 
al ser una figura compuesta utilizaremos el 
centroide por área para encontrar un punto que 
define el centro geométrico del elemento. 
 
Secci
ón 
Bas
e 
(m
m) 
Altu
ra 
(m
m) 
Áre
a 
𝑚𝑚2 
�̅� (𝑚𝑚) Área
*�̅� 
1 20 80 160
0 
40 6400
0 
2 160 20 320
0 
80 2560
00 
3 20 80 160
0 
40 6400
0 
∑ = 640
0 
 3840
00 
Tabla 1: datos individuales de las tres secciones del 
elemento. 
el centroide de la figura: 
�̅� =
∑ 𝐴∗�̅�
∑ 𝐴
 [3] 
�̅� =
384000
6400
= 60𝑚𝑚 
 Ahora calculamos el momento de Inercia de la 
figura, como son 3 rectángulos y sus centros de 
masa son distintos recurrimos al teorema de los 
ejes paralelos o teorema de Steiner: 
𝐼 =
1
12
𝑏 ∗ ℎ3 + 𝐴 ∗ 𝑑2 [4] 
𝐼 =
1
12
(0.02) ∗ 0.083 + (0.02 ∗ 0.08) ∗ 0.022
= 1.4933 ∗ 10−6 ∗ 2
= 2.9867 ∗ 10−6 
𝐼 =
1
12
0.16 ∗ 0.023 + (0.16 ∗ 0.02) ∗ 0.032
= 8.213 ∗ 10−6 
𝐼𝑇 = 11.2 ∗ 10
−6𝑚4 
 Ahora debemos calcular los esfuerzos cortantes 
en la junta n-n. El corte separa la sección 
transversal en dos partes. Se escoge determinar Q 
calculando el primer momento con respecto al eje 
neutro del área por encima de n-n. 
𝑄 = 𝐴 ∗ �̅� [5] 
 
Figura21: corte n-n, seccionada por partes para el 
cálculo del primer momento con respecto al eje 
neutro. 
 
Secc
ión 
Bas
e 
(m
m) 
Alt
ura 
(m
m) 
Áre
a 
(
𝑚𝑚2
) 
�̅�(𝑚𝑚) A*�̅� 
(
𝑚𝑚3
) 
1 160 20 320
0 
30 9600
0 
4 20 20 500 10 5000 
5 20 20 500 10 5000 
∑ = 106*
103 
Tabla 2: calculando el primer momento con respecto 
al eje neutro del área por encima de n-n 
𝑄 = 106 ∗ 10−6𝑚3 
Ahora como el ejerció nos pide el esfuerzo 
cortante máximo en la sección n-n. aplicamos la 
fórmula: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
 [6] 
Datos: 
V= es la fuerza cortante vetical que aparece en la 
secion por sumatoria de fuezas en y 
determinamos que es : 90000 N. 
Q= el primer momento del área sombreada con 
respecto al eje neutro, como en nuestro caso son 
tres áreas las tres y luego sumamos para obtener 
la total (Tabla 2.) : 106 ∗ 10−6𝑚3 
I=el momento de inercia de toda la sección 
transversal, calculada en la tabla 1. : 11.2 ∗
10−6𝑚4 
t=el ancho de la sección a la elevación 
considerada existen dos secciones anchas = 0.04 
m 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
(90000𝑁)(106 ∗ 10−6 𝑚3)
(11.2 ∗ 10−6 𝑚4)(0.04 𝑚)
= 21.294𝑀𝑝𝑎 
 
IV. CONCLUSIÓN 
A. En el presente trabajo se pudo reforzar los 
conocimientos adquiridos con los ejercicios 
planteados, además se pudo observar que hay que 
tomar en cuento muchos aspectos para el diseño 
de una viga ya que hay que tener en cuenta las 
fuerzas a las que va estar sometida la viga. 
 
REFERENCES 
 
[1]Roberto Imaz G. “Capitulo 4 flexión pura y flexión 
simple” Disponible en: 
http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-
de-
materiales/materiales/Tema%204%20Resistencia.pdf 
[2] MECANICA DE MATERIALES. (Dakota del 
Norte.). Consultado el 01 de agosto de, 2016, de 
http://ingoswaldotorres.blogspot.com/ 
[3] 7. pura flexión. (2007). Consultado el 01 de agosto 
de, 2016, de 
https://ibiguridp3.wordpress.com/res/fpura/ 
[4] 4. Los Estados tensionales de las 
ESTRUCTURAS. (Dakota del Norte.). Consultado el 
01 de agosto de, 2016, de 
http://es.slideshare.net/woodcarmelle/4-estados-
tensionales-de-las-estructuras 
[5] MECANICA DE MATERIALES. (Dakota del 
Norte.). Consultado el 01 de agosto de, 2016, de 
http://ingoswaldotorres.blogspot.com/ 
[6] F. P. BEER, de MECÁNICA DE MATERIALES, 
México, D. F, The McGraw-Hill, 2010, pp. 323-325. 
[7] F. P. BEER, de MECÁNICA DE MATERIALES, 
México, D. F, The McGraw-Hill, 2010, pp. 323-325 
[8] F. P. BEER, de MECÁNICA DE MATERIALES, 
México, D. F, The McGraw-Hill, 2010, pp. 310-354-
387. 
[9] hibeller estatica 12 edicion pagnas 
89:200:470;513 
[10] mecanica de materiales, beer 5 edicdion pag 
375;3
 
 
 
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