Fuerza cortante y momento flexionante en vigas

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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS 
SUPERIORES DE ECATEPEC 
 
 División de Ingeniería 
Mecánica 
 
Materia: Mecánica de materiales 1 
Apuntes por equipo del segundo parcial 
Integrantes del equipo 2: 
Albarrán Lara José Eduardo 
Olvera Peralta Alexis 
Aceves Mosqueda Cristian 
Quiróz Gómez Orson Leonardo 
Gallegos Jiménez Miguel Ángel 
 
Grupo: 2401 
Profesor: Miguel Angel Andrede Rios 
 
 
 
Fuerza cortante y momento flexionante en vigas 
 
Ocurre flexión cuando un elemento de sección constante y simétrica respecto al plano 
donde ocurre dicha flexión, se somete a momentos flectores, M, (o a cargas transversales). La 
figura muestra un elemento, denominado ‘viga’, de sección rectangular sometido a flexión. 
 
 
 
El elemento sometido a flexión se curva, de tal manera que algunos puntos se alargan 
quedando sometidos a esfuerzos de tracción. 
 
 
 
Algunos se acortan quedando a compresión, y otros no se deforman ni soportan esfuerzo. 
 
El ‘plano neutro’ que es aquel que contiene los puntos de la viga que no sufren 
deformación ni esfuerzo. El plano neutro es perpendicular al plano donde ocurre la flexión, 
paralelo a la dirección axial de la viga, y pasa por el centroide de la sección. 
 
 
Los estados de esfuerzo de los puntos más alejados del eje neutro son iguales a los 
producidos en carga axial. 
 
Como se mencionó, en flexión se producen esfuerzos normales, de tracción y de 
compresión, distribuidos linealmente. Los puntos en el plano neutro no soportan esfuerzo, y el 
esfuerzo en un punto cualquiera es directamente proporcional a la distancia de dicho punto al plano 
neutro. De acuerdo con esto, los esfuerzos máximos, de tracción y de compresión, ocurren en los 
puntos más alejados del plano (o eje) neutro, y están dados por: 
 
 
 
donde St y Sc son los esfuerzos máximos de tracción y de compresión, ct y cc son las 
distancias desde el plano neutro hasta los puntos extremos, M es el momento flector en la sección 
a analizar, e I es el momento rectangular de inercia de la sección. 
 
Diagramas de fuerza cortante y momento flector 
Los diagramas de fuerza cortante y momento flector de una viga son aquellos en los cuales 
se puede determinar la fuerza cortante interna, V, y el momento flector interno, M, en las diferentes 
secciones de la viga. Entonces, de estos diagramas se determinan las secciones de mayores 
momentos flectores y mayores fuerzas cortantes. 
 
 
 
Ejemplo: La viga ‘larga’ simplemente apoyada, tiene una sección rectangular constante de 
5 cm de ancho por 15 cm de alto, y está sometida a las cargas mostradas. Construir los diagramas 
de fuerza cortante y momento flector de la viga, determinar los puntos de mayores esfuerzos y los 
valores de dichos esfuerzos. 
 
 
Solución: Para trazar los diagramas de fuerza cortante y momento flector se deben 
determinar las reacciones en los apoyos, para lo cual se hace el diagrama de cuerpo libre y se 
plantean las ecuaciones de equilibrio. Después de trazar el diagrama de momento flector se 
identifica la sección con mayor momento y se calculan los esfuerzos máximos, a tracción y a 
compresión; como la viga es ‘larga’, los esfuerzos cortantes no se analizan. 
 
D.C.L 
 
 
Diagrama de fuerza cortante 
 
 
En la sección A hay una carga concentrada hacia arriba, RAy, igual a 19.29 kN; en el 
diagrama se dibuja una flecha vertical hacia arriba que representa esta fuerza. 
 
Entre la sección A y la B hay una carga distribuida uniforme, ωAB = 10 kN/m, que 
aporta una carga hacia abajo de 15 kN ya que actúa sobre 1.5 m de la viga; para una carga 
distribuida uniforme se dibuja en el diagrama una línea recta inclinada, la cual parte de la 
cabeza de la flecha en A y llega en B a un valor de 19.29 kN–15 kN = 4.29 kN, como se 
ilustra en la figura. 
 
Entre las secciones B y C no hay carga transversal; por lo tanto, la fuerza cortante es 
constante, y se dibuja una línea horizontal hasta C a partir del punto inferior de la línea 
inclinada. 
 
En la sección C se encuentra una fuerza concentrada hacia abajo, FC = 12 kN, 
entonces, se dibuja una flecha hacia abajo que representa esta fuerza, hasta alcanzar un valor 
de V igual a 4.29 kN – 12 kN = –7.71 kN. 
 
Entre las secciones C y E no hay fuerza transversal; por lo tanto, se dibuja una línea 
horizontal hasta E desde la cabeza de la última flecha. Finalmente, en E se dibuja una flecha 
vertical hacia arriba, que corresponde a la reacción REy = 7.71 kN; el diagrama ‘cierra’ en 
la línea correspondiente a V = 0, indicando que existe equilibrio de fuerzas verticales. 
 
Diagrama de momento flector 
 
 
El diagrama de momento flector de la viga, se basa en las áreas del diagrama de fuerza 
cortante y en los momentos flectores concentrados en la viga; como no hay momento flector 
concentrado en A, la curva del diagrama parte desde el origen. Cuando en el diagrama de fuerza 
cortante se tenga: 
 
1.- Una línea horizontal, en el de momento flector se tiene una línea recta inclinada. 
2.- Una línea inclinada, en el diagrama de momento se tiene una parábola. 
3.- Una parábola, en el de momento se tiene una curva cúbica, y así sucesivamente. 
 
En el diagrama de fuerza cortante se tiene: entre A y B una línea inclinada, y entre B y E 
líneas horizontales, lo que significa que en el diagrama de momento se tendrá una parábola, entre 
A y B, y rectas inclinadas entre B y E. 
Las áreas en el diagrama de fuerza cortante y los momentos concentrados nos indican hasta 
donde van las diferentes líneas. Entre A y B, tenemos un área igual a [(19.29 kN + 4.29 kN)/2] 
(1.5 m) = 17.69 kN-m; entonces, en el diagrama de momento se traza una parábola, desde el origen, 
hasta un punto directamente sobre B que equivale a 17.69 kN-m. Ya que V es la pendiente del 
momento flector, para trazar la parábola debe recordarse que a menor valor de V, menor es la 
pendiente de aquella. 
 
Entre B y C se traza una recta desde el último punto hasta alcanzar un valor directamente 
sobre C igual al valor anterior (17.69 kN-m) más el área entre B y C en el diagrama de fuerza 
cortante (4.29 kN×1 m): (17.69 + 4.29) kN-m = 21.98 kN-m. Entre C y D se traza una recta hasta 
alcanzar en D el valor obtenido al sumar el último valor (21.98 kN) y el área correspondiente (–
7.71 kN×2 m), lo que da 6.56 kN-m. 
 
En D hay un momento concentrado de 5 kN-m en sentido horario. Los momentos 
concentrados en sentido horario se toman positivos (y los antihorarios negativos), se traza en D 
una línea vertical hacia arriba hasta alcanzar un valor de 6.56 kN-m + 5 kN-m = 11.56 kN-m. 
 
Finalmente, entre D y E se traza una recta hasta alcanzar en E un valor igual a 11.56 kN-
m + (–7.71)(1.5 m) = 0. El diagrama ‘cierra’ en M = 0, lo cual indica que existe equilibrio de 
momentos en el plano x-y. 
 
 
 
Como se dijo al comienzo de la solución del ejemplo, sólo se analizarán los esfuerzos 
normales, ya que los cortantes son muy pequeños en la viga ‘larga’. 
Los esfuerzos normales en los puntos más alejados del eje neutro de una viga doblemente 
simétrica están dados por la ecuación 2.10. Como Z = I/c es constante en toda la viga, los esfuerzos 
máximos ocurren en la sección de mayor momento, es decir, en la C: M = MC = 21.98 kN-m. La 
sección de la viga tiene un momento de inercia I = (1/12)(0.05 m)(0.15 m)3 = 1.406×10–5 m4, el 
valor de c es de (0.15 m)/2 = 0.075 m; entonces, Z = (1.406 × 10–5 m4)/(0.075 m) = 1.875×10–4 
m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuerza cortante y momento flexionante en vigas (Método de secciones) 
 
El método de las secciones consiste en realizar secciones o cortes a la estructura para 
determinar las fuerzas internas de la misma. El corte se realiza a una distancia “x” para 
encontrar las ecuaciones que determinan los diagramas de momentos, fuerza cortante y fuerza 
axial. 
 
Ejemplo: Determinarlos diagrmas de momento y fuerza cortante en la siguiente viga 
usando el método de secciones. 
 
Primero se trazan los cortes necesarios sobre el diagrama para proceder con los cálculos en 
cada corte: 
 
 
 
Primer corte: 
 
 
 
Segundo corte: 
 
 
Tercer corte: 
 
 
En los 3 cortes pertinentes se obtuvo lo siguiente: 
 
Ya obtenido los datos anteriores se realizan los diagramas de cortante y 
momento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuerza cortante y momento flexionante en vigas (Método de áreas) 
 
El método de áreas consiste en encontrar las áreas de las figuras que se realizan en el 
diagrama de fuerza cortante, teniendo en cuena de que los momentos son constantes y hay que 
sumarlos algebraicamente al siguiente momento. 
 
Ejemplo: Determinar los diagrmas de momento y fuerza cortante en la siguiente viga 
usando el método de áreas. 
 
 
 
Primero se restan las cargas y reacciones del diagrama: 
 
Despues se trazan los datos obtenidos en el diagrama de cortantes: 
 
Se prosigue a calcular las áreas que se formaron en el diagrama de cortantes: 
 
 
Por último con los datos obtenidos se trazan en el diagrama de momentos: