Cinematica de engranes y mecanismos

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Cinemática
De	Engranes
Y
Trenes de 	Engranes
Cinemática de los engranes
Un engrane se puede considerar como una rueda dentada que cuando se acopla con otra rueda dentada de diámetro mas pequeño (el piñón), transmitirá rotación de un eje a otro. La función principal de un engrane es transferir potencia de un eje a otro, manteniendo una relación definida entre las velocidades angulares y los ejes. Los dientes de un engrane impulsor empujan a los dientes del engrane impulsado, ejerciendo una componente de fuerza perpendicular al radio del engrane. De esta forma se transmite un par de torsión y como el engrane gira, se transmite potencia.
Para mantener una velocidad angular constante (entre un engrane de entrada y uno de salida) con los dientes en contacto, el perfil de los dientes individuales debe obedecer la ley fundamental de engranes (fig. 1): “para que un par de engranes transmitan una razón de velocidad angular constante, la forma de sus perfiles en contacto debe ser tal que la normal común pase por un punto fijo sobre la línea de centros”.
Figura 1. Dos discos circulares en contacto de rodamiento puro, que representan un mecanismo de tres eslabones; cuyos eslabones están en movimiento relativo coplanar.
Generalidades: Los engranajes son, en general, cilindros con resaltos denominados dientes, conformando ruedas dentadas, las que permiten, cuando giran, transmitir el movimiento de rotación entre sus árboles o ejes colocados a una distancia relativamente reducida entre sí. Esta transmisión se realiza mediante la presión que ejercen los dientes de una de las ruedas, denominada motora sobre los dientes de la otra rueda, denominada conducida, cuando engranan entre ambas, estando durante el movimiento en contacto varios dientes sin choques ni interferencias que lo impidan o entorpezcan. Los engranajes cilíndricos pueden ser de dientes rectos, cuando éstos son paralelos al eje de giro del cilindro, o de dientes helicoidales, cuando son parte de una hélice que envuelve a dicho eje. En la figura 2a se pueden observar dos engranajes cilíndricos rectos que engranan entre sí, N1 y N2 estando montados sobre los ejes, siendo el eje del engrane estriado, lo que permite al engrane N2 deslizarse a lo largo del mismo, ocupando otra posición. 
Distintos materiales se utilizan para la construcción de los engranajes pudiendo ser éstos fundición de hierro, acero, bronce, aluminio, materiales sintéticos, como el teflón, por ejemplo, etc. Debido al constante rozamiento entre las superficies en contacto, éstas están expuestas al desgaste, motivo por el cual son endurecidas mediante tratamientos térmicos de endurecimiento superficial como es el caso del cementado de los aceros. A los efectos de evitar el desgaste, el engrane está continuamente lubricado, lo que además lo refrigera, favoreciendo la transmisión del movimiento a elevada velocidad.
Los engranajes son construidos mediante el fresado o tallado, de acuerdo a normas específicas. Para el cálculo de las dimensiones, resistencia y características se debe conocer previamente: a) distancia entre los ejes de las ruedas dentadas, b) número de vueltas por minuto de la rueda motora, c) relación de transmisión y d) fuerza tangencial que se debe transmitir.
Clasificación de los engranajes
Según como los engranajes interactúen entre sí, se los puede clasificar como:
a) Engranajes de acción directa: formados por dos o más ruedas que engranan entre sí, directamente una con otra, como es el caso de la figura 2a.
b) Engranajes de acción indirecta: cuando accionan uno sobre otro a través de un vínculo intermedio o auxiliar, como es el caso de los engranajes a cadena que se muestra en la figura 2b, donde N1 es la rueda conductora o motora, la cual se encuentra montada sobre un eje motor y transmite el movimiento a la rueda conducida N2 a través de la cadena. Caso de las bicicletas, donde la rueda de menor diámetro se denomina generalmente piñón.
Figura 2. Engranajes de acción directa e indirecta
A su vez, los engranajes de acción directa, según sean las posiciones de sus ejes, pueden presentar los siguientes casos: 1- sus ejes son paralelos; 2- sus ejes se cortan; 3- sus ejes se cruzan; 4- engranajes de rueda y tornillo sinfín.
1- Engranajes de ejes paralelos: se presenta para ruedas cilíndricas que están montadas sobre ejes paralelos, pudiendo presentarse distintos casos, según se muestran a continuación:
En la Figura 3 se tiene una rueda o piñón N1 que engrana con una cremallera NC, siendo esta última una rueda dentada de radio infinito, por lo tanto el número de dientes que tendrá es infinito, por lo que se utiliza una porción de la misma, de acuerdo al recorrido o desplazamiento que se quiera obtener. Los ejes sobre los cuales están montados ambos son paralelos. Para una velocidad angular ωP le corresponderá para la cremallera una velocidad vC de desplazamiento.
Figura 3. Piñón moviendo a una cremallera
Una cremallera es un caso especial de engranes rectos donde los dientes no están configurados alrededor de un circulo, sino en una base plana. La cremallera se visualiza como un engrane recto de con diámetro infinitamente largo. Cuando la cremallera se acopla con un engrane recto, se produce movimiento de traslación.
En la Figura 4a; se presentan dos engranajes montados sobre los ejes paralelos dispuestos a una distancia c siendo ésta de igual medida a la suma de sus radios primitivos, de engrane exterior, pudiendo tener dientes rectos, helicoidales o en V. 
En la Figura 4b se observan dos ruedas de engrane interior, una de las cuales, la de menor diámetro que se encuentra dentro de la de mayor diámetro, tiene dentado exterior, en tanto que la exterior cuenta con dientes interiores. La distancia c entre los ejes es igual a la diferencia de sus radios primitivos.
 
Figura 4. Engranajes a) exterior y b) interior.
En la figuras 5a, 5b y 5c se puede observar engranajes de ejes paralelos, de dientes rectos, helicoidales y en V (espina de pescado) respectivamente.
Figura 5. Engranajes de ejes paralelos
Los engranes helicoidales de espina de pescado se utilizan en las mismas aplicaciones que les engranes rectos y helicoidales. El engrane de espina de pescado se parece a dos engranes helicoidales opuestos con los extremos colocados uno contra otro. Esta configuración compleja sirve de contrapeso a la fuerza de empuje de un engrane helicoidal.
2- Engranajes cuyos ejes se cortan: este caso se presenta en los engranajes cónicos, los que están construidos de tal modo que si sus ejes se prolongaran, ellos se encontrarán en un punto o vértice común. Sus dientes pueden ser rectos, en arco o en espiral, respondiendo en cada caso a determinadas condiciones de trabajo y trazado. En la figura 6a se observa un engranaje cónico de dientes rectos y en la figura 6b un engranaje cónico de dientes en espiral.
 
Figura 6. Engranajes cónicos
El ángulo que forman los ejes I y II de los engranajes z1 y z2 respectivamente, al cortarse puede ser: figura 7a, = 90º, con lo que se obtiene un cambio en la transmisión del movimiento de rotación perpendicular al original; figura 7b 90º el cambio se produce en ángulo agudo y figura 7c 90º la dirección cambia en un ángulo obtuso. Los engranes de inglete son un caso especial de engranes cónicos, donde los engranes son del mismo tamaño y el ángulo de los ejes es de 90º.
Figura 7. Angulo que forman los ejes que se cortan
3- Engranajes cuyos ejes se cruzan en el espacio: son engranajes cilíndricos de dientes helicoidales cuyos ejes se cruzan en el espacio, lo que permite lograr el cambio de dirección de la transmisión del movimiento. Los ejes pueden cruzarse en forma oblicua (Figura 8a), formando un ángulo menor a 90º o en forma perpendicular (Figura 8b), donde es igual a 90º. Estos engranajes son de dientes helicoidales.
Figura 8. Engranajes con ejes que se cruzan
4- Engranajes de rueda y tornillo sinfín: se pueden presentar trescasos, según sea el perfil de los dientes y filete que presenta la rueda y el tornillo sinfín respectivamente, los cuales se indican esquemáticamente en la figura: en la Figura 9a se tiene ambos de perfiles cilíndricos, la Figura 9b muestra la rueda de perfil globoide y el tornillo sinfín cilíndrico, y en la Figura 9c tanto la rueda como el tornillo sinfín presentan perfiles globoides. La Figura 9d muestra como engranan una rueda (corona) de perfil globoide y un tornillo sinfín cilíndrico.
Figura 9. Engranaje de tornillo sinfín y corona
Un tornillo sinfín y una corona sinfín sirven para transmitir movimiento entre ejes no paralelos que no se intersectan. El tornillo sinfín tiene un diente en forma de espiral alrededor de un cilindro de paso. Este diente también se conoce como cuerda, porque se asemeja a la cuerda de un tornillo. En la mayoría de las aplicaciones, el tornillo sinfín impulsa al engrane o corona para efectuar grandes reducciones de velocidad. Por lo general, un engrane sinfín no es reversible, es decir el engrane sinfín no puede impulsar al tornillo sinfín.
PASO DIAMETRAL Y MODULO
Existen dos sistemas para el cálculo de las dimensiones y tallado de los engranes.
1. Por el paso diametral (Pd), sistema ingles
2. Por el módulo (m), sistema métrico.
El primero se usa en los países de habla inglesa, y el segundo en los países donde el sistema métrico tiene mayor aplicación. En el país, por circunstancias existentes dentro de la industria, es necesario emplear ambos.
Haciendo caso a lo establecido, las medida de longitud para los engranes de paso diametral, siempre estarán dadas en pulgadas. Y para los engranes de modulo, sus dimensión están dadas en milímetros. Siendo el paso diametral y el módulo, factores muy importantes para el cálculo, diseño y tallado de los engranes en uno y otro sistema.
Paso diametral (P ó Pd). Es la relación entre el número de dientes y el diámetro primitivo o de aso cundo se expresa en pulgadas; es decir, el número de dientes por pulgada en el diámetro de paso (figura 10).
Módulo (m). Es la relación del diámetro de paso o primitivo al número de dientes expresado en milímetros: es decir, que el modulo representa una longitud es que es el numero de milímetros del diámetro de paso por diente (figura 11).
 
17
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Figura 10. Esquema representativo del paso diametral, 4 dientes por pulgada en su diámetro de paso
Figura 11. Esquema representativo del modulo, 3 mm por diente en su diámetro primitivo o de paso.
Con objeto de permitir la íntercambiabilidad de los engranes, es decir, para poderlos interconectar sin importar el número de dientes que tengan, se ha establecido los sistemas de normalización en uso actualmente, el americano y el ISO. Ambas emplean la relación entre el numero de dientes y el diámetro de paso como parámetro de normalización, siendo el paso diametral (Pd = N/D) en el sistema americano y el modulo (m = D/N) en el sistema ISO.
Los engranes métricos no sólo se basan en un sistema de medición distinto, sino que comprenden su propia y única norma de diseño. Esto significa que los engranes métricos y los de la norma americana no pueden intercambiarse. La norma ISO es compatible con las normas métricas más empleadas como la DIN y la JIS
En la figura 12 se observan los tamaños reales de un ángulo de presión de 20° estándar de los dientes de profundidad completa estándar Pd = 4 a 80. Observe la relación inversa ente Pd y el tamaño del diente. Estos tamaños estándar de dientes aparecen en la tabla 1 en términos del paso diametral y en la tabla 2 en términos del modulo métrico
.
Figura 12. Tamaños reales de dientes para pasos diametrales
	Tabla1
Pasos diametrales estándar
	
	Tabla2
Módulos métricos estándar
	Grueso
Pd < 20°
	Fino
Pd ≥ 20°
	
	Módulo métrico
(mm)
	Equivalente
(Pd pulg-1)
	1
	20
	
	0.3
	84.67
	 1.25
	24
	
	0.4
	63.50
	 1.5
	32
	
	0.5
	50.80
	 1.75
	48
	
	0.8
	31.75
	2
	64
	
	1
	25.40
	 2.5
	72
	
	1.25
	20.32
	3
	80
	
	1.5
	16.93
	4
	96
	
	2
	12.70
	5
	 120
	
	3
	8.47
	6
	
	
	4
	6.35
	8
	
	
	5
	5.08
	10
	
	
	6
	4.23
	12
	
	
	8
	3.18
	14
	
	
	10
	2.54
	16
	
	
	12
	2.12
	18
	
	
	16
	1.59
	
	
	
	20
	1.27
	
	
	
	25
	1.02
NOMENCLATURA DE UN ENGRANE DE DIENTES RECTOS
· El paso circular (Pc): es la distancia medida sobre la circunferencia de paso, entre determinado punto de un diente y el correspondiente de un inmediato. De manera que el paso circular es igual a la suma del grueso del diente y el ancho del espacio entre dos consecutivos.
· El paso diametral (Pd ó P): es la relación del número de dientes al diámetro de paso. El paso diametral se emplea cuando se consideran unidades inglesas, se expresa en dientes por pulgada (dte/in).
· El modulo (m): es la razón ó relación del diámetro de paso al numero de dientes y solo se expresa en la unidad del SI en milímetros. El modulo es el índice del tamaño de los dientes en el SI.
· El addendum o altura de cabeza (a): es la distancia radial desde el círculo de paso hasta el exterior del diente (o la circunferencia de addendum).
· El dedendum o altura del pie (b): es la distancia radial desde el círculo de paso hasta el fondo del espacio (o la circunferencia de dedendum).
· Holgura (c): La distancia radial desde el exterior del diente hasa el fondo del hueco entre dientes del engrane opuesto, cuendo el diente es totalmente engranado, se tiene. c = b – a 
· La altura total (ht) de un diente es la suma de addendum (altura de la cabeza del diente) y el dedendum (o altura del pie del diente).
· El espesor de diente (t) Es la longitud del arco, medida en el círculo de paso, de un lado del diente a al otro lado. A veces a esto se le llama espesor circular y su valor teórico es la mitad de paso circular: t = Pc/2
· El espacio entre dientes o anchura del espacio, es la distancia entre dientes adyacentes a lo largo del arco del círculo de paso.
· Radio de chaflán o filete. Es la superficie curva que une el flanco de un diente con el círculo del dedendum.
· Cara: es la superficie del diente de un engrane, desde el círculo de paso hasta el círculo externo del engrane.
· Flanco: es la superficie del diente de un engrane, desde la raíz del espacio entre dientes, incluyendo el chaflán
· Chaflán: También se le llama filete. Es el arco que une el perfil de involuta del diente con la raíz del espacio entre dientes
· Ancho de cara (F): se llama también longitud del diente o ancho del flanco. Es el ancho del diente, medido en dirección paralela al eje del diente
En la figura 13 se muestra la nomenclatura de un engrane de dientes rectos.
			Figura 13. Nomenclatura de un engrane de dientes rectos. 
Distancia entre centros, paso circular, paso diametral y ángulo de presión:
La distancia entre centros (C): Es la distancia del centro del piñón al centro del engrane; es la suma de los radios de paso de los dientes engranados. La distancia central entre los ejes de rotación de los engranes se puede expresar como:
 							(1)
 							(2)
 					(3)
 					(4)
De la ecuación 3 la relación de engranes (relación de transmisión) es:
 					(5)
Sustituyendo 3 y 5 en 1:
 			(6)
Comparando las ecuaciones 3 y 4 se tiene:
		 							 (7) 
 Módulo = 						(8)
De las ecuaciones 3 y 8.
		 							(9)
También de las ecuaciones 7 y 9.
		 							(10)
El paso diametral se puede hallar conociendo el numero de dientes y el diámetro exterior del engrane, mediante la ecuación
		 (11)							
Angulo de presión. Es el ángulo que se forma la tangente a los círculos de paso y la línea trazada normal (perpendicular) a la superficie del diente del engrane, (figura 14).
	 Figura 14. Angulo de presión
En la tabla 3 y 4 se muestran las especificaciones para generar la geometría de engranes de dientes rectos.
Tabla 3. Especificaciones ISO para engranes de dientes rectos
	Característicasdel diente
para un ángulo de presión 
	
Ecuación
	Diámetro primitivo (D)
	
	Adendo (a)
	
	
Dedendo (d)
	
	Altura total del diente ó profundidad total (ht)
	
	Diámetro interior ó raíz (Di)
	
	Diámetro exterior (De)
	
	Largo del diente o ancho de cara (L ó F)
	
	Espesor del diente o grueso (s)
	
	Distancia ente ejes (c)
	
	Paso circular (Pc)
	
	Diámetro base (DB)
	
	Número de dientes del piñón (Zp ó Np)
	
	
	
Tabla 4. Especificaciones de AGMA para engranes de dientes rectos
	
Características del diente
para un ángulo de presión 
	Paso grueso
(Pd < 20°)
14.5°, 20° y 25°
	Paso fino
(Pd ≥ 20)
20°
	
Diámetro primitivo (D)
	
	
	
Adendo (a)
	
	
	
Dedendo (d)
	
	
	Altura total del diente ó profundidad total (ht)
	
	
	Diámetro interior ó raíz (Di)
	
	
	
Diámetro exterior (De)
	
	
	Largo del diente o ancho de cara (L ó F)
	
	
	Espesor del diente o grueso (s)
	
	
	
Distancia entre ejes (c)
	
	
	
Paso circular (Pc)
	
	
	Diámetro base (DB)
	
	
	
	
	
	
	
	
TRENES DE ENGRANES
Cuando se tiene un conjunto de dos o mas piezas dentadas acopladas se les llama engranajes (tren de engranes). Un tren de engranes es uno o más pares de engranes en conjunto para transmitir potencia. La transmisión de potencia por medio de engranajes, cumple entre otras, las siguientes funciones.
1.-Conexión entre ejes.
2.-Transferencia de potencia de un eje a otro.
3.-Cambio de la velocidad de rotación.
4.-Cambio del momento de torsión.
5.-Cambio del sentido de giro.
6.-Sincronización de los movimientos de los ejes.
Clasificación de engranajes
	
 Tren de engranes ordinarios
 Clasificación
 de engranajes	 Tren de engranes planetarios (o epicícloidales)
	 
 Tren de engranes compuestos
	
		 
En un tren de engranes ordinarios los engranes giran con referencia a ejes fijos. La bancada soporta los engranes y forma el eslabón fijo en el mecanismo, figura 15a [1].
En un tren de engranes planetarios los ejes de algunos engranes se encuentran en movimiento y uno de los engranes generalmente se convierte en engrane fijo, figura 15b [1]
En un tren de engranes compuesto esta conformado por engranajes ordinarios y planetarios.
 
	
	
Figura 15 Tipos de trenes de engranes: (a) ordinarios, (b) planetarios.
TREN DE ENGRANES ORDINARIOS
Uno de los propósitos fundamentales de un mecanismo es transmitir movimiento de un lugar a otro; por lo regular modificando el movimiento durante su transmisión. En muchos casos se desea transmitir la rotación de un eje a otro. Si los ejes son paralelos y existe una relación no lineal entre sus rotaciones, se considera un eslabonamiento plano generador de función o una leva con su seguidor oscilatorio.
Sin embargo, en muchos casos se requiere una relación constante o una razón de velocidad angular entre los ejes de entrada y salida. Dado que la mayor parte de los motores estándar eléctricos producen una rotación de 1800 rpm (velocidad sincronía), podría obtenerse la entrada deseada mediante un juego de engranes rectos entre los ejes paralelos del motor y de la máquina (Figura 15).
Figura 16. La razón de velocidades angulares de un par de engranes rectos acoplados son inversamente proporcionales a sus radios de paso.
De la figura (16) se tiene que:
			
			
			
El signo menos indica la dirección de rotación opuesta al engrane de entrada.
Valor del Tren (V.T.) y Relación de Velocidades
La relación de velocidades (R.V.), se define se define como la relación de la velocidad angular del engrane de entrada y la velocidad angular del engrane de salida de un tren de engranes ordinarios.
La razón de velocidades angulares (o relación de engranes) ωent/ωsal es inversamente proporcional, ya sea a la razón de radios de paso, o a la razón de diámetros de paso, o a la razón de número de dientes.
		
El valor de tren se define como el producto de los números de dientes de los engranes impulsados entre el producto de los números de dientes de los engranes impulsores.
La dirección de rotación se pude determinar por observación, y se considera que existe una inversión de dirección con cada par de engranes externos.
Se usará el término valor positivo del tren para indicar el caso en que los engranes de entrada y salida giren en la misma dirección. Por el contrario, si giran en direcciones contrarias, el valor de tren será negativo.
Todo engrane de un tren de engranes que funciona al mismo tiempo como engrane motriz y engrane impulsado se le llama engrane loco o libre. 
TREN DE ENGRANES PLANETARIOS O EPICICLOIDALES
En los engranes ordinarios los engranes giran con referencia a ejes fijos. El marco (bancada) soporta los engranes y forma el eslabón fijo en el mecanismo. En un tren de engranes epicícloidal, los ejes de algunos de los engranes se encuentran en movimiento, y uno de los engranes generalmente se convierte en eslabón fijo.
Para poder obtener una reducción de engranes adecuada, con frecuencia conviene diseñar un tren de engranes de manera que uno de los engranes tenga movimiento planetario. Con este movimiento se logra que un engrane se mueva de tal forma que no solamente gire alrededor de su propio eje, sino que al mismo tiempo gire alrededor de otro engrane.
Aplicaciones:
Los trenes de engranes planetarios representan un costo de fabricación y mantenimiento más alto que el de los trenes de engranes ordinarios, pero los diseñadores podrían optar por utilizarlos debido a dos razones: Primera, hay algunas situaciones en las que se requieren dos grados de libertad. Segunda, cuando se trata de transmisión de potencia con un grado de libertad de un eje de entrada a un eje de salida, muchas veces es posible lograr la misma relación de engranes en un espacio mas reducido, y transmitir mas potencia, si se utilizan trenes de engranes planetarios en lugar de ordinarios.
Diferenciales
 
	Aplicaciones Transmisiones automáticas
 
Embragues
Métodos de solución para determinar la velocidad angular de engranes planetarios:
· Método de la formula.
· Método de centros instantáneos(o de velocidad tangencial). 
· Método tabular.
FORMULA DE ENGRANES PLANETARIOS
De la figura 16 se tiene:
Donde:
ωLA = velocidad angular del último engrane relativo al brazo
ωFA = velocidad angular del primer engrane relativo al brazo
ω´F = velocidad angular absoluta de primer engrane
ωL = velocidad angular absoluta del último engrane
ωA = velocidad angular absoluta del brazo
Figura 17. Tren de engranes planetarios o epicicloidales.
Selección de un Reductor de Engranes
Los reductores de engranes transmiten la potencia de un motor a la máquina accionada, cambian en forma eficiente el par, la velocidad, dirección y posición. Los reductores amplifican el par de torsión para la mayoría de las aplicaciones de motores, el par se incrementa proporcionalmente a la relación del reductor.
	
Para determinar el par de salida de un reductor de engranes, se tiene:
	
Para calcular la velocidad de salida de un reductor de engranes, se tiene:
	
T = Par de torsión (N.m, lb.pie)
ω = velocidad angular (RPM)
RR = Relación del reductor de engranes
ηR= Eficiencia del reductor.
ENGRANES DE SINFÍN Y CORONA
Si un diente de un engrane helicoidal hace una revolución completa en el cilindro de paso, el engranaje que resulta se llama sinfín o gusano. El engrane compañero para un sinfín se le llama corona o engrane del gusano; sin embargo, la corona no es un engranaje helicoidal. Los acoplamientos corona-sinfín se emplean para conectar flechas no paralelas que no se intersectan y que generalmente son perpendiculares. La reducción de velocidades es por lo general bastante grande con relación a los engranes rectos y helicoidales. En la figura 1 se muestra la nomenclatura del mecanismo de tornillosinfín de una cuerda.
El mecanismo de tornillo sinfín y corona, tienen el mismo sesgo de hélice que los engranes helicoidales cruzados, pero los ángulos de hélice suelen ser completamente diferentes. Generalmente, el ángulo de hélice del tornillo es bastante grande y el de la rueda (corona) muy pequeño. Debido a esto, es usual especificar el ángulo de avance para el gusano y el ángulo de la hélice para la corona o rueda; los dos ángulos son iguales cuando se tiene un ángulo entre ejes de 90°. El ángulo de avance del tornillo es el complemento de su ángulo de hélice, como se indica en la figura 1.
Figura 1 Nomenclatura de un tornillo sinfín de una cuerda tipo envolvente
Al considerar las características de un sinfín, el avance es de importancia primordial y se puede definir como la distancia axial que recorre un punto en la hélice del engrane en una revolución del mismo.
La relación entre el avance y el paso axial es:
			
								(1)
Donde N es el número de roscas o cuerdas (o dientes) en el cilindro de paso del sinfín. Se puede obtener un sinfín de una a diez cuerdas. Si se desarrolla una revolución completa de la cuerda de un sinfín se obtiene un triangulo. De acuerdo con la figura 2, se puede ver que: 
								(2)
 
N = número de cuerdas.
D = diámetro de paso
Pc= paso circular de la corona
 					
						Figura 2. Cuerda de un engrane sinfín		 
El paso circular de la corona se determina, por la ecuación:	 			(3) 
La relación de velocidades para ejes perpendiculares es:
				(4)
 
Para que un sinfín y una corona con flechas perpendiculares engranen adecuadamente, se deben satisfacer las siguientes condiciones:
a) Angulo de avance del sinfín = Angulo de avance de la corona	; ( = c)
b) Paso axial del sinfín = paso circular de la corona;	(Px = Pc)
En la figura 3a se muestra el paso y el avance de un sinfín de una cuerda, en la figura 3b un sinfín con cuerdas y en la figura 3c, un sinfín de tres cuerdas o hilos. 
Figura 3. Cuerdas de un tornillo sinfín
La relación entre el empuje, sesgo y rotación de un tornillo sinfín y corona se ilustra en la figura 4. La figura corresponde también a engranes helicoidales cruzados.
Figura 4. Relaciones de carga axial, sentido de rotación y sesgo en tornillo sinfín y engranes helicoidales cruzados. 
EJEMPLOS DE ENGRANAJES ORDINARIOS
Ejemplo 1. Dos engranes con paso diametral de 8 van a montarse con una distancia entre centros de 16 pulg. La razón de velocidades debe ser 9:7. Encuentre el número de dientes de cada engrane
Ejemplo 2. Un piñón recto de 15 dientes tiene un módulo de 3 mm y gira a una velocidad de 1600 rpm. El engrane impulsado tiene 60 dientes. Determine: a) la velocidad angular del engrane, b) el paso circular y c) la distancia teórica entre centros.
Ejemplo 3. Calcule la velocidad de una cremallera impulsada por un piñón. El piñón motriz gira a 125 rpm, tiene 24 dientes y un paso diametral de 6.
Ejemplo 4. Un juego de engranes tiene un modulo de 4 mm y una relación de velocidades de 2.8:1. El piñón tiene 20 dientes. Determine: a) el número de dientes del engrane impulsado, b) los diámetros de paso y c) la distancia teórica entre centros.
Ejemplo 5. Un engrane de 20 dientes con paso diametral 5 se acopla a otro engrane de 63 dientes. Encuentre la distancia entre centros y al relación de engranes.
Ejemplo 6. Un par de engranes con una relación de transmisión de 3.2:1. El piñón tiene 20 dientes y tiene un diámetro de paso de 2.5 pulg. Hallar el paso diametral, el diámetro de paso del engrane conducido y la distancia entre centros.
Ejemplo 7. En el tren de engranes ordinario de la figura, el engrane A gira a 1750 rpm sentido horario visto desde las derecha. Determine la velocidad y dirección de rotación del engrane H. 
Ejemplo 8. La figura muestra un tren de engranes con doble reducción. El eje A gira a 1720 rpm, la relación de velocidades entre el eje A y B es de 3.5:1 y entre los ejes B y C es de 4:1 el piñón en eje A tiene 24 dientes y el engrane en el eje C tiene 160 dientes, Hallar:
a) El número de dientes del engrane 2
b) La velocidad en los ejes B y C.
c) La distancia entre centros de los ejes A y B, si los engranes tienen un paso diametral de 8
d) La distancia entre centros de los ejes B y C, si los engranes tienen un paso diametral de 12.
		Figura PE7							 Figura PE8
Ejemplo 9. Determine la velocidad y dirección de rotación de los engranes 6 y 8 del tren de engranes mostrado en la figura. Determine asimismo la distancia entre centros de los engranes 3 y 8. Se tienen los siguientes pasos diametrales, Pd2 = 16, Pd5 = 12 y Pd7 = 8. 
		
Ejemplo 10. Determine la velocidad y dirección de rotación del engrane 7 del tren de engranes mostrado en la figura; si la velocidad angular de engrane cónico 2 es 1700 rpm cw visto desde abajo del engrane.
Ejemplo 11. El tren de engranes de la figura está dispuesto para alimentar madera entre los dos rodillos de 6 pulg. de diámetro hacia una sierra de corte con el fin de aserrar a lo largo la madera. La hoja se está impulsando a través de un motor que gira a 500 rpm. Una derivación de potencia, que consiste en un sistema de engranes, bandas y poleas que se muestra, impulsan los rodillos para alimentar la materia prima. Determine la velocidad de la materia prima en ft/s y m/s; y la dirección de movimiento de la materia prima.
		Figura PE10							 Figura PE11
Ejemplo 12. Determine el número de dientes del sprocket D de la figura. Si el cable tiene una velocidad constante de 2 pies/s. Determine la dirección de rotación de A cuando el tornillo sinfín es visto desde la derecha.
Ejemplo 13. En la figura se muestra un tren que consta de engranes cónicos, rectos y un sinfín. El piñón cónico esta montado sobre un eje que se impulsa mediante una banda en V sobre poleas. Si la polea gira a 1200 rpm, determina la velocidad y dirección del engrane 6 y 9.
Ejemplo 14. En la figura se muestra una transmisión de tres velocidades en las que el eje impulsor gira a 450 rpm y lleva al grupo de engranes A, B y C. La flecha seguidora tiene cuñas y puede desplazarse a lo largo de su eje mediante el eslabón de cambios para poner los engranes E, G y H en contacto con el eje impulsor. Diseñe la transmisión de modo que produzca velocidades de 150, 350 y 550 rpm. Los dientes de los engranes deben mantenerse entre los limites de 10 a 80 dientes. Proponga tres alternativas de número de dientes.
		
		
Figura PE13					Figura PE14
Ejemplo 15. Determine: el paso circular, el número de dientes del engrane y la distancia teórica entre centros para: a).un piñón de 19 dientes con modulo de 2.5 y velocidad de 1740 rpm para impulsar un engrane que debe operar aproximadamente a 470 rpm y b) un piñón de 19 dientes con paso diametral 7 y velocidad de 1150 rpm para impulsar al engrane a 690 rpm
Ejemplo 16. Considere un sinfín de triple cuerda que mueve a una corona de 60 dientes; el ángulo de la flecha es de 90º. El paso circular de la corona es de 1.25 pulg. y el diámetro de paso del sinfín es de 3.8 pulg. Determine el ángulo de avance del sinfín y la distancia entre los centros de las flechas. 
Ejemplo 17. Un gusano y un engrane con flechas a 90° y una distancia entre centros de 152 mm deben tener una relación de velocidades de 20:1. Si el paso axial de gusano debe ser 17.463 mm, determine el diámetro más pequeño para el gusano que se puede usar para transmisión.
Ejemplo 18. Un gusano de tres cuerdas mueve un engrane de 31 dientes con flechas a 90°. Si la distancia entre centros es de 210 mm y el ángulo de avance del gusano es de 18.83°, calcule el paso axial del gusano y los diámetros del paso del gusano y la corona.
Ejemplo 19. Un sinfín de doble cuerda con avance de 2 pulg. Mueve una corona con una reducción de 20:1; el ángulo entre las flechas es de 90º. Si la distancia entre los centros es de 9 pulg. Determine el diámetro de paso del sinfín y de la corona.
Ejemplo20. Se requiere que un sinfín y una corona con flechas a 90º y distancia de 7 pulg. Entre centros tenga una reducción de 18:1. Si se desea que el paso axial del sinfín sea de 0.5 pulg. Determinar el número máximo de dientes en el sinfín y en la corona que se pueden usar para el tren y sus diámetros correspondientes de paso. 
Ejemplo 21. Si la eficiencia del tren de engranes mostrado en la figura es 90%. Calcule la fuerza requerida para levantar una carga de 120 kg. El diámetro del tambor de la carga es de 20 cm y el diámetro del tambor de la fuerza es de 80 cm.
Ejemplo 22. Determine la velocidad y dirección de rotación del engrane F del tren de engranes mostrado en la figura; si la velocidad angular de engrane 2 es 1150 rpm ccw visto desde la izquierda.
			Fig. P21						Fig. P22
Ejemplo 23. Para el mecanismo escalonado de conos de poleas con juego de engranes, determine las velocidades angulares de la flecha D que soporta el husillo de una máquina herramienta. La flecha A esta acoplada a un motor que gira a 1800 rpm.
Ejemplo 24. Para el sistema de transmisión mostrado en la figura, calcule la eficiencia del sistema para levantar una carga de 8 toneladas mediante un cable que se enrolla en un tambor de diámetro, DT = 32 cm. La fuerza de entrada requerida para elevarla carga es de 314 N y diámetro de la polea, DP = 192 cm. Desprecie el peso del cable.
Ejemplo 25. En la figura se muestra una transmisión de bandas y poleas, la potencia de entrada en la polea A es de 10 kW a una velocidad de 100 rpm, calcule el par de torsión de salida en la polea D, si la eficiencia total de la transmisión es del 85% y los diámetros de paso de las poleas son:. DA = 72 cm, DB = 27 cm, DC = 54 cm y DD =24 cm. 
			
		 Fig. P24						 Fig. P25
Ejemplo 26. El impulsor de aire de un ventilador es movido por una transmisión de piñón y engrane. Para mejorar el flujo de aire la velocidad del impulsor necesita incrementarse a 466 rpm, o bien, acercarse a esta velocidad tanto como sea posible. Se utilizará un motor de 3 hp a1750 rpm para mover al piñón, la distancia entre centros de los soportes de los engranes debe ser de 9.5 pulg. Determine el número de dientes de los engranes para esta aplicación utilizando un paso diametral de 10.
 Ejemplo 27. Se utiliza un grupo de engranes para reducir la velocidad de un motor eléctrico que impulsa el eje del rodillo de una banda transportadora, en la caja de un supermercado. El engrane sobre el eje del motor es un piñón de paso diametral 10, con 15 dientes y gira a 1150 rpm. Determine a) la velocidad de la banda, si el engrane acoplado al rodillo de diámetro 5.5 pulg, tiene 45 dientes y b) la distancia entre centros de los engranes. Ignore el espesor de la banda.
Ejemplo 28. Una grúa se opera mediante un motor que mueve a un tornillo sinfín de 4 cuerdas que se acopla a una corona de 100 dientes. La corona está unida mediante una cuña a una flecha, la cual también contiene un piñón de 20 dientes rectos. El piñón se acopla con un engrane de 140 dientes rectos, montado en el mismo eje un tambor de enrollamiento de un cable. Calcule la velocidad de izamiento de una carga en ft/min. El motor trabaja a 600 rpm y el diámetro del tambor es de 12 pulg. 
PROBLEMAS ENGRANES PLANETARIOS Y COMPUESTOS
PE1. El sistema de engranes epicíclicos es impulsado por el brazo 5 cuya velocidad angular es de 50 rpm en el sentido del reloj; si el engrane anular 1 es fijo, determine las velocidades angulares de los engranes 4 y 3.
PE2. En el sistema de engranes planetarios de la figura, el radio de paso de los engranes A, B, C, y D es de 30 mm y el radio de paso del engrane exterior es de E es de 90 mm. Si el engrane E tiene una velocidad angular constante de 180 rpm sentido horario y el engrane central A tiene una velocidad angular constante de 240 rpm en el mismo sentido, determínense a) la velocidad angular de cada engrane planetario y b) la velocidad angular del brazo (estrella) que los conecta.
PE3. Los tres engranes A, B y C están unidos por un pasador en su centro a la barra ABC. Si el engrane A no gira; determine la velocidad angular de los engranes B y C cuando la barra ABC gira en sentido horario con una velocidad angular constante de 75 rpm.
		
		Fig. P2 						Fig. P3
PE4. En el tren de engranes compuesto mostrado en la figura, la flecha A gira a 450 rpm y la flecha B a 600 rpm en la direcciones mostradas. Calcule la velocidad de la flecha C e indique su dirección de rotación. 
PE5. En la figura se muestra un tren de engranes compuesto, si el engrane de entrada de 21 dientes gira a 200 rpm determine la velocidad de la carga W en pies/s.
PE6. Una transmisión de automóvil tiene el tren planetario de engranajes que se ve en la figura. Si el engranaje de anillo gira a rad/s y el eje s, que está fijo al engranaje sol , gira a 20 rad/s, calcule la velocidad angular de cada engranaje planetario y la velocidad angular del bastidor de conexión , que gira libremente con respecto al eje central s.
			Fig. P5 						Fig. P6
P7. En la figura del tren de engranes compuesto, la flecha A gira a 100 rpm en sentido antihorario visto desde la derecha de la figura, determine la velocidad de la flecha B y su dirección de rotación.
P8. Para el tren de engranes mostrado. La flecha A gira a 300 rpm y la flecha B a 600 rpm en las direcciones mostradas. Determine la velocidad y dirección de rotación de la flecha C.
P9. El tren de engranes epicíclico consta del engrane sol A, que engrana con el engranaje planetario B, este a su vez tiene un engrane menor C que es integral con B y engrana con el engrane anular R, fijo. El brazo DE gira a ωDE = 18 rad/s. Calcule las velocidades angulares de los engranes planetario y sol.
			Fig. P8 					 Fig. P9
P10. El engrane sol B de la figura gira a 100 rpm en sentido horario visto desde la derecha. Determine la velocidad angular y la dirección de ωG vista desde abajo.
P11. En la figura se muestra un tren de engranes epicicloidales con sus radios de paso. El engrane planetario intermedio B gira con velocidad angular de 20 rad/s en sentido horario. Si el engrane exterior D es estacionario, determine la velocidad angular del engrane solar interior A y la velocidad angular del brazo.
		Fig. P10 						Fig. P11
P12. El mecanismo que se muestra en la figura, es un tren de engranes utilizado en una transmisión de avión para convertir la velocidad del motor (ω4 = 2500 rpm horario, vista desde la derecha) en una velocidad angular de la hélice. Advierta que el engrane sol esta fijo a la tierra. Calculé la velocidad de rotación y dirección de la hélice.
P13 El sistema de engranes epicíclicos es impulsado por el brazo DE cuya velocidad angular es de ωDE = 5 rad/s. sentido horario; si el engrane anular F es fijo, determine las velocidades angulares de los engranes A, B, C.
P14. En la figura se muestra un tren de engranes epicicloidales con sus radios de paso. El engrane anular exterior D gira con una velocidad angular de 5 rad/s sentido horario. Si el engrane solar interior A es estacionario, determine la velocidad angular del engrane planetario intermedio B y la velocidad angular del brazo.
		Fig. P13								Fig. P14
P15. Para el rodamiento de bolas que se muestra en la figura, la pista interior 2 gira con una flecha a 1600 rpm y la pista exterior 4 esta fija. Si se supone rodamiento puro entre las bolas y las pistas. Determine la velocidad del retén y las bolas
 
Ancho 
de cara 
Vista frontal 
Espesor 
total 
Piñón 
Cremallera 
Línea de paso 
Velocidad de 
la cremallera 
Vista lateral 
ω
P
 
v
C 
D
P
 
B 
Línea de paso a 
la parte posterior 
de la cremallera 
Línea del centro del piñón 
a la parte posterior de la 
cremallera (B +D
P
/2) 
Parte posterior de la cremallera; se toma 
como superficie de referencia para ubicar 
la línea de pasode la cremallera 
N
C 
N
P 
d
P
s
571
.
1
=
d
c
P
P
p
=
 
 
Diámetro exterior 
Diámetro de paso 
Círculo de paso 
N
P
 
Punto de paso 
Perfil del diente 
(Involuta) 
N
G
 
ω
P
 
ω
G
 
c 
ω
P
 
ω
G
 
D
G
 
D
P
 
c 
Piñón 
Engrane 
interno 
a) Piñón y engrane exterior 
b) Piñón y engrane interno 
 
3 
(a) 
A B 
 
 
2 3 
1 1 
4 
(b)
2 
A B 
 
2 
1 
4 
 
r
p
 
r
g
 
 
Engrane 
Piñón 
2 3 
P 
1 
1 
v
P2
 = v
P3
 
ω
p 
 
ω
g
 
g
p
v
v
=
g
g
p
p
r
r
w
w
=
p
g
g
p
r
r
-
=
w
w
ent
sal
ent
sal
ent
sal
sal
ent
N
N
D
D
r
r
=
=
=
w
w
 
a) Dientes rectos 
c) Dientes doble helicoidal 
 o de espina de pescado 
b) Dientes helicoidales 
impulsores
 
engranes
 
los
 
de
 
dientes
 
de
 
numeros
 
los
 
de
 
Producto
impulsados
 
engranes
 
los
 
de
 
dientes
 
de
 
numeros
 
los
 
de
 
Producto
.
.
=
T
V
impulsores
engranes
los
de
dientes
de
numeros
los
de
producto
impulsados
engranes
los
de
dientes
de
numeros
los
de
producto
T
V
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
=
.
.
 
A
L
A
F
LA
FA
T
V
w
w
w
w
w
w
-
-
=
=
.
.
ent
sal
ent
sal
sal
ent
R
F
F
T
T
R
=
=
=
w
w
R
R
ent
sal
R
T
T
h
=
 
a) Cónicos de dientes rectos b) Cónicos de dientes en espiral 
ent
R
sal
ent
sal
T
T
w
h
w
=
l
y
N
P
L
x
=
 
a) 
b) 
c) 
D
L
p
l
=
tan
 
D 
P
x
 

α 

 
L 
πD 

α 

 
avance
L
=
axial
paso
P
x
 
=
helice
la
de
angulo
 
 
 
=
y
avance
de
angulo
 
 
=
l
 
b) a) 
c
c
c
N
D
P
p
=
L
D
D
D
N
N
c
s
s
c
c
s
c
c
s
p
y
y
w
w
=
=
=
cos
cos
 
 
D
w
 
P 
P 
P 
Avance 
Avance 
Avance 
λ 
λ 
λ 
(a) (c) (b) 
 
A 
B 
C 
2 
4 
3 
Motor 
1 
 
Salida 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
H 
N
A
 = 20; Pd = 16 
D
B
 = 2.875 in 
D
C
 = 1.125 in 
N
C
 = 38, Pd = 16 
N
E 
= 18, Pd = 12 
D
F
 = 2.25 in 
N
G
 = 18, Pd =12 
N
H
 = 30 
Entrada 
 
ω
2
 = 1200 rpm 
33D 
44D 
18D 
3
B 
2 
5 
4 
15D 
36D 
48D 
6 
7 
8 
16D 
 
a) 
b) d) 
c) 
Tornillo 
sinfín 
Rueda 
 
18D 
36D 
8D- ψ = 45° 
20D 
24D 
42D 
2 
3 
4 
5 
7 
6 
 
A 
Tornillo sinfín 
de triple cuerda 
B-90D 
C-40D 
D 
E 
30” 
Cadena 
Cable 
ω
A 
= 600 rpm 
 
A-18D 
Tornillo sinfín 
de doble cuerda 
B-36D 
E-32D 
D-40D 
C 
F-56D 
 
A-12D 
D
TF.
 
B-60D 
C-18D 
D-72D 
Carga 
Fuerza 
requerida 
D
TC
 
 
 
ω
A
 = 180 rev/min 
D
1
 = 150 mm, D
2 
= 185 mm 
D
3 
= 220 mm, D
4 
= 225 mm 
Z
1
 = 25, Z
2 
= 50, Z
3
 = 25, Z
4
 = 50 
ω
D
 
D
4
 
D
1
 
D
2
 
D
3
 
D
3
 
D
4
 
D
2
 
D
1
 
B 
A 
C 
D 
Z
4
 
Z
1
 
Z
2
 
Z
3
 
 
Tornillo sinfín 
de dos hilos 
Corona 
180D 
Tambor 
Fuerza 
de entrada 
Polea 
D
P
 
Carga 
D
T
 
 
Polea B 
Polea C 
Polea D 
ω
A 
ω
D
 
Polea A 
 
3 
130T 
15T 
30T 
 
2 
4 
1 
5 
40T 
 
A 
B 
C 
r
A
 = 120 mm 
r
B
 = 60 mm 
r
C
 = 45 mm 
R
2
=
R
v
S
P
D
 
21T 
30T 
18T 
48T 
45T 
60T 
37T 
40T 
Brazo 
6” 
W 
200 rpm 
 
3-20D 
4-30D 
7-50D 
6-40D 
8-20D 
5-10D 
9-70D 
2-20D 
A 
B 
 
3 in 
A 
B 
C 
1.5 in 
D 
3 in 
brazo 
4 DIENTES 
 
4 DIENTES 
4 DIENTES 
 
4 DIENTES 
DIAMETRO 
PRIMITIVO 
O DE PASO 
DIAMETRO 
EXTERIOR 
1” 
1” 
1” 
1” 
1” 
1” 
N = 24 DIENTES 
D = 6” 
P = N/D = 24/6 = 4 dtes/pulg 
D = 6” 
 
 
30 mm 
40 mm 
50 mm 
 
1.58 pulg 
2.06 pulg 
2 
4 
5 
3 
 
3 mm 
3 mm 
3 mm 
1 
2 
9 DIENTES 
DIAMETRO 
PRIMITIVO 
O DE PASO 
DIAMETRO 
EXTERIOR 
17 
18 3 mm 
8 
16 
10 
N = 18 DIENTES 
D =54 mm 
m = D/N = 54/18 = 3 mm/dte. 
D = 54 mm 
3 
4 
5 
6 
7 
11 
12 
13 
14 
15 
3 mm 
3 mm 
 
g
p
g
p
r
r
D
D
C
+
=
+
=
2
d
g
p
P
N
N
C
2
+
=
g
g
p
p
c
N
D
N
D
N
D
P
circular
Paso
p
p
p
=
=
=
=
 
g
g
p
p
d
D
N
D
N
D
N
P
diametral
Paso
=
=
=
=
 
p
g
p
c
g
c
p
g
T
N
N
N
P
N
P
D
D
R
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
p
p
(
)
(
)
T
p
c
p
g
p
c
g
p
c
R
N
P
N
N
N
P
N
N
P
C
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
+
=
1
2
1
2
2
p
p
p
d
c
P
P
p
=
p
p
g
g
N
D
N
D
m
=
=
m
P
c
 
p
=
d
P
m
1
=
 
θ = ángulo 
de presión 
θ 
θ 
r
1
 
r
2
 
R
2
 
R
1
 
Línea de 
centros 
Círculos 
de paso 
Línea de presión 
o acción 
Círculos 
base 
ext
d
D
N
P
2
+
=
°
=
20
f
m
N
D
×
=
m
a
=
m
d
6
7
=
b
a
h
t
+
=
d
D
Di
2
-
=
m
N
De
×
+
=
)
2
(
m
m
L
12
8
-
=
2
m
s
×
=
p
2
g
p
D
D
c
+
=
m
P
c
×
=
p
f
cos
×
=
D
D
B
[
]
f
2
2
.)
.
/
1
(
2
.)
.
/
1
(
1
1
.)
.
/
1
(
2
sen
V
R
V
R
V
R
Z
p
×
+
+
+
-
=
f
d
P
D
p
=
d
P
D
p
=
d
P
a
000
.
1
=
 
Punto de 
paso 
Línea de 
centros 
 
Normal 
Círculos 
de paso 
2 
3 
P 
1 
1 
d
P
a
000
.
1
=
d
P
d
250
.
1
=
002
.
0
200
.
1
+
=
d
P
d
d
t
P
h
250
.
2
=
002
.
0
200
.
2
+
=
d
t
P
h
 
a) Engranaje de acción directa 
Eje del piñón 
Eje del engrane 
N
2
 
N
1
 
b) Engranaje de acción indirecta 
Conductora o 
impulsora 
Conducida o impulsora 
Cadena 
ω
1
 
ω
2
 
N
1
 
N
2
 
c 
d
P
N
De
1
)
2
(
×
+
=
d
P
F
12
=
d
P
F
12
=