Practica_5_-_F2_-_2016I-_Solucion

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UNIVERSIDAD DE PIURA 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
CURSO: FÍSICA GENERAL II 
Práctica Calificada N° 05 
Fecha: Viernes, 17 de junio de 2016. 
Sin libros, sin apuntes, sólo formularios y 
calculadora simple 
NOMBRE: ____SOLUCIÓN_______ 
Duración: 1 hora y 30 minutos 
INSTRUCCIONES: TRABAJE CON ORDEN Y LIMPIEZA. 
 
TEORÍA 
1.- Obtener la descripción matemática de onda sinusoidal que avanza en la dirección +x y –x. (2 puntos) 
Suponemos que el desplazamiento de la partícula se origina en el extremo izquierdo. (x=0) 
cos( 0, ) cos2A ty x t A ft    
Recordando: Espacio=(velocidad)(tiempo) 
x
x t t

  
 
Donde  es la velocidad de propagación de la onda. 
 , 0,actual anterior
x
y x x t t y x t t

 
      
  
Por lo tanto, si para x=0, se tenía: 
( 0, ) cosy x t A t  
Apreciamos que el desplazamiento en el instante anterior es igual al desplazamiento en el instante actual 
 , 0,
x
y x x t t y x t t

 
      
  
Entonces reemplazando se tendrá: 
( , ) cos
x
y x t A t

  
   
   
Dado que cos(-)=cos(), rescribimos la función de onda de la siguiente manera: 
( , ) s cos 2co
x
f
x
y x t A t A t 
 
    
       
    
 
Ahora si definimos el parámetro “k” llamado número de onda 
2 rad
k
m


 
  
  
2 
 
Y además, por lo visto =f 
2
2k k
  


   
    
    
k  
2 f
k





 
Expresando dicha ecuación en términos del periodo T=1/f y la longitud de onda =/f 
( , ) cos 2 cos
2
2
x
y x t A f t A x ft
f

 

    
       
     
 ( , ) cosy x t A kx t 
 
También tenemos que el desplazamiento del punto “x” en el instante t es el mismo que el del punto x=0 
en un instante posterior. 
 , 0,actual posterior
x
y x x t t y x t t

 
      
  
Onda que se desplaza en la dirección “x” negativa 
Ahora reemplazando se tendrá: 
( , ) cos
x
y x t A t

  
   
   
( , ) cos 2
x
y x t A f t

 
  
  
( , ) cos 2
x
y x t A f t

  
   
   
2
( , ) cos 2
f
y x t A x ft



 
  
  
 ( , ) cosy x t A kx t 
 
2.- Obtener la expresión de ecuación de onda. (2 puntos) 
 
 
 
2
2
2
( , ) cos
( , )
( , ) sin
( , )
( , ) cos
y
y
y x t A kx t
y x t
v x t A kx t
t
y x t
a x t A kx t
t

 
 
 

  


   
 
Onda sinusoidal que avanza en 
la dirección +x 
Onda sinusoidal que avanza en 
la dirección -x 
3 
 
 
 
 
2
2
2
( , ) cos
( , )
sin
( , )
cos
y x t A kx t
y x t
Pendiente kA kx t
x
y x t
Curvatura k A kx t
x



 

   


   
 
2
2
2
2
( , )
( , )
y x t
t
y x t
x


 


 2 sinA kx t 
  2 sink A kx t
2
2k


 
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , )y x t y x t
x v t
   
   
   
 
EJERCICIOS 
1.- Se tiene dos péndulos con las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (3M). El péndulo A es una 
esfera muy pequeña que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa y en el péndulo B se sabe 
que la tercera parte de la masa está en la varilla uniforme y el resto de masa en la esfera. Sabiendo que el 
péndulo A tiene 𝑓 = 0.75 𝐻𝑧, calcular el periodo del péndulo B. Considerar la gravedad = 9.81 𝑚 𝑠2⁄ (4 
puntos) 
Desarrollo: 
El péndulo A es considerado un péndulo simple por las características del enunciado, mientras que el 
péndulo B es considerado un péndulo físico. 
Para el péndulo A tenemos que 𝑓 = 0.75 𝐻𝑧 y usando la siguiente ecuación podemos obtener el valor de 
L 
𝜔 = 2𝜋𝑓 ⟹ 𝜔 = 2𝜋(0.75) = 4.71 𝑠−1 
𝜔 = √
𝑔
𝐿
 entonces 𝐿 =
𝑔
(4.71 𝑠−1)2
=
9.81𝑚
𝑠2⁄
(4.71 𝑠−1)2
= 0.442 𝑚 
Para el péndulo B debemos hallar la ubicación de su centro de masa, tenemos: 
𝑌𝑐𝑚 =
𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) + 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎(𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑚 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎)
𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝑌𝑐𝑚 =
𝑀𝑥
𝐿
2
+ 2𝑀𝑥𝐿
3𝑀
=
5
6
𝐿 
NOTA: Para sacar el centro de masa tomamos como referencia el extremo 
superior de la barra. 
Ahora debemos calcular el momento de inercia del péndulo, para ello tenemos: 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐼𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 + 𝐼𝑚𝑎𝑠𝑎 
L 
2M 
M 
L/
4 
 
𝐼𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑀
𝐿2
3
+ 2𝑀𝐿2 =
7
3
𝑀𝐿2 
NOTA: Para la barra usamos su momento de inercia respecto al eje en un extremo y para la esfera por ser 
una masa puntual usamos la masa multiplicada por el cuadrado de la distancia respecto al eje. 
El periodo de un péndulo físico está dado por: 
𝑇𝐵 = 2𝜋√
𝐼
𝑚𝑔𝑑
 
𝑇𝐵 = 2𝜋√
7
3
𝑀𝐿2
3𝑀𝑔 (
5
6
𝐿)
= 2𝜋√
14𝐿
15𝑔
 
𝑇𝐵 = 2𝜋√
14𝐿
15𝑔
= 2𝜋√
14(0.442 𝑚)
15(9.81 𝑚/𝑠2)
 
𝑇𝐵 = 1.288 𝑠 
2.- Se tiene una cuerda tensa en ambos extremos de masa 0.015 kg y una longitud de 0.72 m. Si se le aplica 
una fuerza de 0.5 N, esta empieza a oscilar y se obtiene la siguiente expresión que describe su movimiento: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (0.36 𝑚) 𝑠𝑒𝑛 [ (13.09
𝑟𝑎𝑑
𝑚
) 𝑥 ] 𝑠𝑒𝑛 [ ( 29.54
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 𝑡 ] 
a) Calcular la rapidez de propagación de la onda al aplicarle dicha fuerza. (1.5 puntos) 
b) Determinar la rapidez máxima. (1 punto) 
c) Determinar en qué armónico se encuentra al aplicarle dicha fuerza. (1.5 puntos) 
 
Desarrollo 
La velocidad está dada por la ecuación: 𝑣 = √
𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
𝜇
 
Calculamos la densidad lineal de la cuerda. 𝜇 =
𝑚
𝐿
=
0.015
0.72
= 0.0208 
Reemplazando tenemos: 𝑣 = √
0.5
0.0208
= 4.9 𝑚/𝑠 
Sabemos que la ecuación de una onda estacionaria en una cuerda está dada por: 
𝑦(𝑥, 𝑡) = ( 𝐴𝑠𝑤 sin 𝑘𝑥) sin 𝜔𝑡 
Sabiendo que 𝐴𝑠𝑤 = 2𝐴, entonces 𝐴 =
𝐴𝑠𝑤
2
=
0.36 𝑚
2
= 0.18 𝑚 
Además podemos identificar que 𝑘 = 13.09 𝑟𝑎𝑑/𝑚 y 𝜔 = 29.54
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
Por lo tanto, la velocidad máxima será igual a: 𝑣𝑚á𝑥 = 𝜔𝐴 ⟹ 𝑣𝑚á𝑥 = 29.54
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 (0.18 𝑚) = 5.32 𝑚/𝑠 
5 
 
Para determinar el armónico tenemos: 𝐿 = 𝑛𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜 (
𝜆
2
), además se conoce que 𝑘 = 2𝜋/𝜆 por lo tanto 
𝜆 = 2𝜋/𝑘. 
𝜆 =
2𝜋
𝑘
⟹ 𝜆 =
2𝜋
13.09
= 0.48 
Obtenemos entonces: 𝐿 = 𝑛𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜 (
𝜆
2
) ⟹ 𝑛𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑜 =
2𝐿
𝜆
=
2(0.72)
0.48
= 3 
Se encuentra en el tercer armónico. 
3.- Una cuerda de 1.1775 m y que pesa 1.65 N está atada al techo por su extremo superior, mientras que el 
extremo inferior sostiene un peso W. Cuando usted da un leve pulso a la cuerda, las ondas que viajan hacia 
arriba de ésta obedecen la ecuación. Considerar la gravedad = 9.81 𝑚 𝑠2⁄ 
𝑦(𝑥, 𝑡) = (0.08 𝑚)cos (80 𝑚−1𝑥 − 500 𝑠−1𝑡) 
a) ¿Cuánto tiempo tarda un pulso en viajar a todo lo largo de la cuerda? (1punto) 
b) ¿Cuál es el peso W? (en N) (1punto) 
c) ¿Cuántas longitudes de onda hay en la cuerda en cualquier instante? (1punto) 
d) ¿Cuál es la ecuación para las ondas que viajan hacia abajo de la cuerda? (1punto) 
Desarrollo 
Para las ondas que viajan en la dirección +x la ecuación general es 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡). 
Comparando con la ecuación dada con la ecuación general, tenemos 𝐴 = 0.08 𝑚, 𝑘 = 80 𝑟𝑎𝑑/𝑚 y 𝑤 =
500 𝑟𝑎𝑑/𝑠. La cuerda cuenta con 0.168 kg de masa y µ = 𝑚/𝐿 = 0.1427 𝑘𝑔/𝑚. 
La velocidad será igual a: 𝑣 =
𝑤
𝑘
=
500
𝑟𝑎𝑑
𝑠
80
𝑟𝑎𝑑
𝑚
= 6.25
𝑚
𝑠
, entonces: 𝑡 =
𝑑
𝑣
=
1.1775 𝑚
6.25
𝑚
𝑠
= 0.188 𝑠 
Para calcular el peso tenemos: 𝑊 = 𝐹 = µ𝑣2 = (
0.1427 𝑘𝑔
𝑚
) (
6.25 𝑚
𝑠
)
2
= 5.574 𝑁 
La longitud de onda es: 𝜆 =
2𝜋𝑟𝑎𝑑
𝑘
=
2𝜋𝑟𝑎𝑑
80 𝑟𝑎𝑑/𝑚
= 0.0785 𝑚. El número de longitudes de onda a lo largo de 
la longitud de la cuerda es 
1.1775 𝑚
0.0785 𝑚
= 15 
Para una onda que viaja en la dirección opuesta, -x, 𝑦(𝑥, 𝑡) = (0.08 𝑚)cos [ (80
𝑟𝑎𝑑
𝑚
) 𝑥 + (500
𝑟𝑎𝑑
𝑠
) 𝑡] 
4.- Ciertas ondas transversales en una cuerda tienen rapidez de 6 m/s, amplitud de 0.09 m y longitud de 
onda de 0.48 m. Las ondas viajan en la dirección –x, y en t=0 el extremo x=0 de la cuerda tienesu máximo 
desplazamiento hacia arriba. 
a) Calcule la frecuencia, el periodo y el número de onda. (1.5 puntos) 
b) Escriba una función de onda que describa la onda. (1 punto) 
c) Calcule el desplazamiento transversal de una partícula en x=0.1 m en el tiempo t=0.09 s. (1.5 puntos) 
 
Desarrollo 
a) 
/ (6 / ) / (0.48 ) 12.5
1/ 1/12.5 0.08
2 / 2 / 0.48 13.09 /
v f f v m s m Hz
T f Hz s
k rad m rad m
 
  
    
  
  
 
6 
 
b) Para una onda que viaja en la dirección -x 
( , ) cos 2 ( / / )
0 (0, ) cos 2 ( / ) (0,0)
y x t A x t T
x y t A t T y A
 

 
    
 
Sustituyendo valores numéricos 
1( , ) (0.09 )cos[(13.09 ) (78.54 / ) )]y x t m m x rad s t  
c) Para x = 0.1 m y t = 0.09 s 
1
1
( , ) (0.09 )cos[(13.09 ) (78.54 / ) ]
( , ) (0.09 )cos[(13.09 )(0.1 ) (78.54 / )(0.09 )]
( , ) (0.09 )cos(8.3776 )
( , ) (0.09 )( 0.5)
( , ) 0.045
y x t m m x rad s t
y x t m m m rad s s
y x t m rad
y x t m
y x t m


 
 

 
 