OLIMPÍADA INTERNACIONAL DE MATEMÁTICA (IMO) 2007_spa

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Primer d́ıa
25 de julio de 2007
Problema 1. Sean a1, a2, . . . , an números reales. Para cada i (1 ≤ i ≤ n) se define
di = max{aj : 1 ≤ j ≤ i} − min{aj : i ≤ j ≤ n}
y sea
d = max{di : 1 ≤ i ≤ n}.
(a) Demostrar que para cualesquiera números reales x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn,
max{|xi − ai| : 1 ≤ i ≤ n} ≥
d
2
. (∗)
(b) Demostrar que existen números reales x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn para los cuales se cumple
la igualdad en (∗).
Problema 2. Se consideran cinco puntos A, B, C,D y E tales que ABCD es un parale-
logramo y BCED es un cuadrilátero ćıclico y convexo. Sea ` una recta que pasa por A.
Supongamos que ` corta al segmento DC en un punto interior F y a la recta BC en G.
Supongamos también que EF = EG = EC.
Demostrar que ` es la bisectriz del ángulo DAB.
Problema 3. En una competencia de matemáticas algunos participantes son amigos.
La amistad es siempre rećıproca. Decimos que un grupo de participantes es una clique si
dos cualesquiera de ellos son amigos. (En particular, cualquier grupo con menos de dos
participantes es una clique). Al número de elementos de una clique se le llama tamaño.
Se sabe que en esta competencia el mayor de los tamaños de las cliques es par.
Demostrar que los participantes pueden distribuirse en dos aulas, de manera que el mayor
de los tamaños de las cliques contenidas en un aula sea igual al mayor de los tamaños de
las cliques contenidas en la otra.
Problema 4. En un triángulo ABC la bisectriz del ángulo BCA corta a la circunfe-
rencia circunscrita en R (R 6= C), a la mediatriz de BC en P y a la mediatriz de AC en
Q. El punto medio de BC es K y el punto medio de AC es L.
Demostrar que los triángulos RPK y RQL tienen áreas iguales.
Problema 5. Sean a y b enteros positivos tales que 4ab− 1 divide a (4a2 − 1)2.
Demostrar que a = b.
Problema 6. Sea n un entero positivo. Se considera
S = {(x, y, z) : x, y, z ∈ {0, 1, . . . , n}, x + y + z > 0}
como un conjunto de (n + 1)3 − 1 puntos en el espacio tridimensional.
Determinar el menor número posible de planos cuya unión contiene todos los puntos de
S pero no incluye a (0, 0, 0).
Tiempo : 4 horas 30 minutos
Cada problema vale 7 puntos